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2023届高考人教B版数学一轮复习课件（适用于新高考新教材） 第二章 函数 2.8 函数与方程
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这是一份2023届高考人教B版数学一轮复习课件（适用于新高考新教材） 第二章 函数 2.8 函数与方程，共39页。PPT课件主要包含了内容索引，必备知识预案自诊，关键能力学案突破，知识梳理，实数α，fα0，连续不断的，至少有一个零点，常用结论，考点自诊等内容，欢迎下载使用。
1.函数的零点(1)定义:一般地,如果函数y=f(x)在 处的函数值等于零,即 ,则称 为函数y=f(x)的零点. (2)函数零点的等价关系方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图像与 有交点⇔函数y=f(x)有 . (3)α是函数f(x)零点的充分必要条件是 是函数图像与x轴的公共点.
2.二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系一般地,由一元二次方程解集的情况可知,对于二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0):(1)当Δ=b2-4ac>0时,方程ax2+bx+c=0的解集中有两个元素x1,x2,且x1,x2是f(x)的两个零点,f(x)的图像与x轴有两个公共点(x1,0),(x2,0);(2)当Δ=b2-4ac=0时,方程ax2+bx+c=0的解集中只有一个元素x0,且x0是f(x)唯一的零点,f(x)的图像与x轴有一个公共点;(3)当Δ=b2-4ac<0时,方程ax2+bx+c=0没有实数根,此时f(x)无零点,f(x)的图像与x轴没有公共点.
3.函数零点存在定理如果函数y=f(x)在区间(a,b)上的图像是 ,并且 (即在区间两个端点处的函数值异号),则函数y=f(x)在区间(a,b)中 ,即∃x0∈(a,b),f(x0)=0.
f(a)f(b)<0
4.用二分法求函数零点近似值的步骤在函数零点存在定理的条件满足时(即f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的,且f(a)f(b)<0),给定近似的精确度ε,用二分法求零点x0的近似值x1,使得|x1-x0|<ε的一般步骤如下:
1.f(a)f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件.2.若函数f(x)在[a,b]上是单调函数,且f(x)的图像连续不断,则f(a)f(b)<0⇒函数f(x)在区间[a,b]上有且只有一个零点.
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)函数f(x)=x2-1的零点是(-1,0)和(1,0).( )(2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0时没有零点.( )(3)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值.( )(4)已知函数f(x)在(a,b)内图像连续且单调,若f(a)·f(b)<0,则函数f(x)在[a,b]上有且只有一个零点.( )(5)函数y=2sin x-1的零点有无数多个.( )
2.函数y=x2-2x+m无零点,则m的取值范围为( )A.(-∞,1)B.(-∞,-1)C.(1,+∞)D.(-1,+∞)
答案 C 解析 由Δ=(-2)2-4m<0,得m>1,故选C.
3.(2020山东济南二模,2)函数f(x)=x3+x-4的零点所在的区间为( )A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)
答案 C 解析 易知函数f(x)=x3+x-4在R上单调递增,因f(0)=-4<0,f(1)=-2<0,f(2)=6>0,故函数在(1,2)上有唯一零点.故选C.
4.方程2x+3x=k的解都在[1,2)内,则k的取值范围为( )A.[5,10)B.(5,10]C.[5,10]D.(5,10)
答案 A 解析 令函数f(x)=2x+3x-k,则f(x)在R上是增函数.当方程2x+3x=k的解在(1,2)内时,f(1)f(2)<0,即(5-k)(10-k)<0,解得5
答案 2 解析∵函数f(x)=ln x+x-4在定义域(0,+∞)上单调递增,且其图像是连续不断的,f(e)=1+e-4<0,f(3)=ln 3-1>0,∴函数的零点所在的区间为(e,3),g(x0)=[x0]=2.
【例1】 (1)(2020陕西西安中学八模,理4)根据表格中的数据,可以判定方程ex-x-2=0的一个根所在的区间为(k,k+1)(k∈N),则k的值为( )A.-1B.0C.1D.2(2)设定义域为(0,+∞)内的单调函数f(x),对任意的x∈(0,+∞),都有f[f(x)-ln x]=e+1,若x0是方程f(x)-f'(x)=e的一个解,则x0可能存在的区间是( )A.(0,1)B.(e-1,1) C.(0,e-1)D.(1,e)
答案 (1)C (2)D 解析 (1)令f(x)=ex-x-2,由表格知f(1)<0,f(2)>0,所以方程ex-x-2=0的一个零点所在的区间是(1,2),所以k=1,故选C.
解题心得判断函数y=f(x)在某个区间上是否存在零点,常用以下方法:(1)解方程:当对应方程易解时,可通过解方程,观察方程是否有根落在给定区间上.(2)利用函数零点存在定理进行判断:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是否连续,然后看是否有f(a)f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点,若没有,则不一定有零点.(3)通过画函数图像,观察图像与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
对点训练1(1)(2020辽宁沈阳二中五模,文6)函数f(x)=ln(x+1)- 的一个零点所在的区间是( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)(2)如图是二次函数f(x)=x2-bx+a的部分图像,则g(x)=ex+f'(x)的零点所在的大致区间是( )A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)
答案 (1)B (2)B 解析 (1)∵f(1)=ln 2-2<0,f(2)=ln 3-1>ln e-1=0,即f(1)f(2)<0,∴函数f(x)的零点在区间(1,2)上.故选B.(2)由图像知 <1,得10,所以g(0)g(1)<0,则g(x)的零点在区间(0,1)上,故选B.
【例2】 (1)函数f(x)=2x|lg0.5x|-1的零点个数为( )A.1B.2C.3D.4(2)(2020广东肇庆二模,理11)已知函数f(x)为定义域为R的偶函数,且满足f(1+x)=f(1-x),当x∈[-1,0]时,f(x)=-x,则函数F(x)=f(x)+ 在区间[-9,10]上零点的个数为( )A.10B.12C.18D.20
答案 (1)B (2)A
解题心得判断函数零点个数的方法(1)解方程法:若对应方程f(x)=0可解时,通过解方程,有几个解就有几个零点.(2)零点存在定理法:利用定理不仅要判断函数的图像在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)f(b)<0,还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点.(3)数形结合法:转化为两个函数的图像的交点个数问题.先画出两个函数的图像,再看其交点的个数,其中交点的个数就是函数零点的个数.
对点训练2(1)(2020山东青岛二模,8)已知图像连续不断的函数f(x)的定义域为R,且f(x)是周期为2的奇函数,y=|f(x)|在区间[-1,1]上恰有5个零点,则f(x)在区间[0,2 020]上的零点个数为( )A.5 050B.4 041C.4 040D.2 020(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且对于任意的x∈[0,+∞),满足f(x+2)=f(x),若当x∈[0,2)时,f(x)=|x2-x-1|,则函数y=f(x)-1在区间[-2,4]上的零点个数为 .
答案 (1)B (2)7 解析 (1)由f(x)是定义域为R的奇函数,得f(0)=0,由f(x)的周期为2,得f(0)=f(2)=…=f(2 020)=0,由y=|f(x)|是偶函数,得其图像关于y轴对称,由y=|f(x)|在[-1,1]上恰有5个零点,则y=|f(x)|在[-1,0)和(0,1]上各有两个零点,因f(x)的周期为2,所以y=|f(x)|的周期为1,所以y=|f(x)|在(1,2]上也有两个零点,同理在(2,3],…,(2 019,2 020]上各有两个零点.因为函数|f(x)|的图像是由f(x)的图像关于x轴对称到x轴上面,故两个函数的零点个数相等,则f(x)在区间[0,2 020]上的零点个数为1+2 020×2=4 041.(2)由题意作出y=f(x)在区间[-2,4]上的图像,如图所示,可知与直线y=1的交点共有7个,故函数y=f(x)-1在区间[-2,4]上的零点个数为7.
考向1 已知函数零点所在区间求参数
解题心得对于已知函数零点所在区间求参数的问题:若已知函数在所给区间上连续且单调,则由零点存在定理列出含参数的不等式,求出参数的范围;若已知函数在所给区间上不单调,则要作出函数的图像利用数形结合法求参数的范围.
对点训练3(1)已知函数f(x)=2ax-a+3,若∃x0∈(-1,1),f(x0)=0,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,-3)∪(1,+∞)B.(-∞,-3)C.(-3,1)D.(1,+∞)(2)若函数f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零点,则实数a的取值范围是 .
解析 (1)由f(x)=2ax-a+3,若∃x0∈(-1,1),f(x0)=0,可得f(-1)f(1)<0,即(-3a+3)(a+3)<0,可得a∈(-∞,-3)∪(1,+∞).
考向2 已知函数零点个数求参数问题
(2)(2020四川成都七中三模,文16)若指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与一次函数y=x的图像恰好有两个不同的交点,则实数a的取值范围是 .
解析 (1)令f(x)=t,则t2-2at+3a=0,作出函数f(x)和直线y=t的图像如图所示,由图像可知y=t与y=f(x)最多有3个不同交点,又当x≤0时,2x+1+2>2,要使关于x的方程[f(x)]2-2af(x)+3a=0有6个不相等的实数根,则t2-2at+3a=0有两个不同的根t1,t2∈(2,4],设g(t)=t2-2at+3a由根的分布可知,
解题心得已知函数有零点(方程有根),求参数的取值范围常用的方法:(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.(2)分离参数法:先将参数分离,再转化成求函数值域问题加以解决.(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图像,再数形结合求解.
对点训练4(1)(2020天津河北区一模,9)已知函数 若函数g(x)=f(x)-x-a有3个零点,则实数a的取值范围是( )A.[0,2)B.[0,1)C.(-∞,2]D.(-∞,1](2)(2020山东济宁5月模拟,16)设f(x)是定义在R上的偶函数,∀x∈R都有f(2-x)=f(2+x),且当x∈[0,2]时,f(x)=2x-2.若函数g(x)=f(x)-lga(x+1)(a>0,a≠1)在区间(-1,9]内恰有三个不同零点,则实数a的取值范围是 .
解析 (1)函数g(x)=f(x)-x-a有3个零点,等价于方程f(x)-x-a=0有3个实数根,即方程a=f(x)-x有3个实数根,设h(x)=f(x)-x,当x≤0时,h(x)=x3-3x,h'(x)=3x2-3,由h'(x)>0得x<-1或x>1(舍去),此时h(x)单调递增.由h'(x)<0得-1
1.函数的零点(1)定义:一般地,如果函数y=f(x)在 处的函数值等于零,即 ,则称 为函数y=f(x)的零点. (2)函数零点的等价关系方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图像与 有交点⇔函数y=f(x)有 . (3)α是函数f(x)零点的充分必要条件是 是函数图像与x轴的公共点.
2.二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系一般地,由一元二次方程解集的情况可知,对于二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0):(1)当Δ=b2-4ac>0时,方程ax2+bx+c=0的解集中有两个元素x1,x2,且x1,x2是f(x)的两个零点,f(x)的图像与x轴有两个公共点(x1,0),(x2,0);(2)当Δ=b2-4ac=0时,方程ax2+bx+c=0的解集中只有一个元素x0,且x0是f(x)唯一的零点,f(x)的图像与x轴有一个公共点;(3)当Δ=b2-4ac<0时,方程ax2+bx+c=0没有实数根,此时f(x)无零点,f(x)的图像与x轴没有公共点.
3.函数零点存在定理如果函数y=f(x)在区间(a,b)上的图像是 ,并且 (即在区间两个端点处的函数值异号),则函数y=f(x)在区间(a,b)中 ,即∃x0∈(a,b),f(x0)=0.
f(a)f(b)<0
4.用二分法求函数零点近似值的步骤在函数零点存在定理的条件满足时(即f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的,且f(a)f(b)<0),给定近似的精确度ε,用二分法求零点x0的近似值x1,使得|x1-x0|<ε的一般步骤如下:
1.f(a)f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件.2.若函数f(x)在[a,b]上是单调函数,且f(x)的图像连续不断,则f(a)f(b)<0⇒函数f(x)在区间[a,b]上有且只有一个零点.
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)函数f(x)=x2-1的零点是(-1,0)和(1,0).( )(2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0时没有零点.( )(3)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值.( )(4)已知函数f(x)在(a,b)内图像连续且单调,若f(a)·f(b)<0,则函数f(x)在[a,b]上有且只有一个零点.( )(5)函数y=2sin x-1的零点有无数多个.( )
2.函数y=x2-2x+m无零点,则m的取值范围为( )A.(-∞,1)B.(-∞,-1)C.(1,+∞)D.(-1,+∞)
答案 C 解析 由Δ=(-2)2-4m<0,得m>1,故选C.
3.(2020山东济南二模,2)函数f(x)=x3+x-4的零点所在的区间为( )A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)
答案 C 解析 易知函数f(x)=x3+x-4在R上单调递增,因f(0)=-4<0,f(1)=-2<0,f(2)=6>0,故函数在(1,2)上有唯一零点.故选C.
4.方程2x+3x=k的解都在[1,2)内,则k的取值范围为( )A.[5,10)B.(5,10]C.[5,10]D.(5,10)
答案 A 解析 令函数f(x)=2x+3x-k,则f(x)在R上是增函数.当方程2x+3x=k的解在(1,2)内时,f(1)f(2)<0,即(5-k)(10-k)<0,解得5
答案 2 解析∵函数f(x)=ln x+x-4在定义域(0,+∞)上单调递增,且其图像是连续不断的,f(e)=1+e-4<0,f(3)=ln 3-1>0,∴函数的零点所在的区间为(e,3),g(x0)=[x0]=2.
【例1】 (1)(2020陕西西安中学八模,理4)根据表格中的数据,可以判定方程ex-x-2=0的一个根所在的区间为(k,k+1)(k∈N),则k的值为( )A.-1B.0C.1D.2(2)设定义域为(0,+∞)内的单调函数f(x),对任意的x∈(0,+∞),都有f[f(x)-ln x]=e+1,若x0是方程f(x)-f'(x)=e的一个解,则x0可能存在的区间是( )A.(0,1)B.(e-1,1) C.(0,e-1)D.(1,e)
答案 (1)C (2)D 解析 (1)令f(x)=ex-x-2,由表格知f(1)<0,f(2)>0,所以方程ex-x-2=0的一个零点所在的区间是(1,2),所以k=1,故选C.
解题心得判断函数y=f(x)在某个区间上是否存在零点,常用以下方法:(1)解方程:当对应方程易解时,可通过解方程,观察方程是否有根落在给定区间上.(2)利用函数零点存在定理进行判断:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是否连续,然后看是否有f(a)f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点,若没有,则不一定有零点.(3)通过画函数图像,观察图像与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
对点训练1(1)(2020辽宁沈阳二中五模,文6)函数f(x)=ln(x+1)- 的一个零点所在的区间是( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)(2)如图是二次函数f(x)=x2-bx+a的部分图像,则g(x)=ex+f'(x)的零点所在的大致区间是( )A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)
答案 (1)B (2)B 解析 (1)∵f(1)=ln 2-2<0,f(2)=ln 3-1>ln e-1=0,即f(1)f(2)<0,∴函数f(x)的零点在区间(1,2)上.故选B.(2)由图像知 <1,得1
【例2】 (1)函数f(x)=2x|lg0.5x|-1的零点个数为( )A.1B.2C.3D.4(2)(2020广东肇庆二模,理11)已知函数f(x)为定义域为R的偶函数,且满足f(1+x)=f(1-x),当x∈[-1,0]时,f(x)=-x,则函数F(x)=f(x)+ 在区间[-9,10]上零点的个数为( )A.10B.12C.18D.20
答案 (1)B (2)A
解题心得判断函数零点个数的方法(1)解方程法:若对应方程f(x)=0可解时,通过解方程,有几个解就有几个零点.(2)零点存在定理法:利用定理不仅要判断函数的图像在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)f(b)<0,还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点.(3)数形结合法:转化为两个函数的图像的交点个数问题.先画出两个函数的图像,再看其交点的个数,其中交点的个数就是函数零点的个数.
对点训练2(1)(2020山东青岛二模,8)已知图像连续不断的函数f(x)的定义域为R,且f(x)是周期为2的奇函数,y=|f(x)|在区间[-1,1]上恰有5个零点,则f(x)在区间[0,2 020]上的零点个数为( )A.5 050B.4 041C.4 040D.2 020(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且对于任意的x∈[0,+∞),满足f(x+2)=f(x),若当x∈[0,2)时,f(x)=|x2-x-1|,则函数y=f(x)-1在区间[-2,4]上的零点个数为 .
答案 (1)B (2)7 解析 (1)由f(x)是定义域为R的奇函数,得f(0)=0,由f(x)的周期为2,得f(0)=f(2)=…=f(2 020)=0,由y=|f(x)|是偶函数,得其图像关于y轴对称,由y=|f(x)|在[-1,1]上恰有5个零点,则y=|f(x)|在[-1,0)和(0,1]上各有两个零点,因f(x)的周期为2,所以y=|f(x)|的周期为1,所以y=|f(x)|在(1,2]上也有两个零点,同理在(2,3],…,(2 019,2 020]上各有两个零点.因为函数|f(x)|的图像是由f(x)的图像关于x轴对称到x轴上面,故两个函数的零点个数相等,则f(x)在区间[0,2 020]上的零点个数为1+2 020×2=4 041.(2)由题意作出y=f(x)在区间[-2,4]上的图像,如图所示,可知与直线y=1的交点共有7个,故函数y=f(x)-1在区间[-2,4]上的零点个数为7.
考向1 已知函数零点所在区间求参数
解题心得对于已知函数零点所在区间求参数的问题:若已知函数在所给区间上连续且单调,则由零点存在定理列出含参数的不等式,求出参数的范围;若已知函数在所给区间上不单调,则要作出函数的图像利用数形结合法求参数的范围.
对点训练3(1)已知函数f(x)=2ax-a+3,若∃x0∈(-1,1),f(x0)=0,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,-3)∪(1,+∞)B.(-∞,-3)C.(-3,1)D.(1,+∞)(2)若函数f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零点,则实数a的取值范围是 .
解析 (1)由f(x)=2ax-a+3,若∃x0∈(-1,1),f(x0)=0,可得f(-1)f(1)<0,即(-3a+3)(a+3)<0,可得a∈(-∞,-3)∪(1,+∞).
考向2 已知函数零点个数求参数问题
(2)(2020四川成都七中三模,文16)若指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与一次函数y=x的图像恰好有两个不同的交点,则实数a的取值范围是 .
解析 (1)令f(x)=t,则t2-2at+3a=0,作出函数f(x)和直线y=t的图像如图所示,由图像可知y=t与y=f(x)最多有3个不同交点,又当x≤0时,2x+1+2>2,要使关于x的方程[f(x)]2-2af(x)+3a=0有6个不相等的实数根,则t2-2at+3a=0有两个不同的根t1,t2∈(2,4],设g(t)=t2-2at+3a由根的分布可知,
解题心得已知函数有零点(方程有根),求参数的取值范围常用的方法:(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.(2)分离参数法:先将参数分离,再转化成求函数值域问题加以解决.(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图像,再数形结合求解.
对点训练4(1)(2020天津河北区一模,9)已知函数 若函数g(x)=f(x)-x-a有3个零点,则实数a的取值范围是( )A.[0,2)B.[0,1)C.(-∞,2]D.(-∞,1](2)(2020山东济宁5月模拟,16)设f(x)是定义在R上的偶函数,∀x∈R都有f(2-x)=f(2+x),且当x∈[0,2]时,f(x)=2x-2.若函数g(x)=f(x)-lga(x+1)(a>0,a≠1)在区间(-1,9]内恰有三个不同零点,则实数a的取值范围是 .
解析 (1)函数g(x)=f(x)-x-a有3个零点,等价于方程f(x)-x-a=0有3个实数根,即方程a=f(x)-x有3个实数根,设h(x)=f(x)-x,当x≤0时,h(x)=x3-3x,h'(x)=3x2-3,由h'(x)>0得x<-1或x>1(舍去),此时h(x)单调递增.由h'(x)<0得-1
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