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2023届高考人教B版数学一轮复习课件（适用于新高考新教材） 第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 1.3 等式、不等式的性质与均值不等式
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这是一份2023届高考人教B版数学一轮复习课件（适用于新高考新教材） 第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 1.3 等式、不等式的性质与均值不等式，共51页。PPT课件主要包含了内容索引，必备知识预案自诊，关键能力学案突破，知识梳理，不为零，不等式的性质，均值不等式，常用结论，考点自诊，答案A等内容，欢迎下载使用。
1.等式的性质(1)如果a=b,则对任意c,都有a+c=b+c;(2)如果a=b,则对任意 的c,都有ac=bc.
2.两个实数比较大小的方法
5.利用均值不等式求最值已知x>0,y>0,则
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
2.设M=x2,N=-x-1,则M与N的大小关系是( )A.M>NB.M=NC.M
答案 D 解析 因为a,b,c,d∈R,且a>b,c>d,根据不等式的同向可加性,得a+c>b+d,故选D.
4.(2020山东潍坊临朐模拟一,3)设p:a,b是正实数,q:a+b>2 ,则( )A.p是q的充分条件但不是必要条件B.p是q的必要条件但不是充分条件C.p是q的充要条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件
5.(2020山东淄博4月模拟,14)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+ 的最小值为 .
【例1】 (1)已知a,b∈(0,1),且a≠b,下列各式中最大的是( )
答案 (1)D (2)B
解题心得比较大小常用的方法有作差法、作商法、构造函数法.(1)作差法的一般步骤:①作差;②变形;③定号;④下结论.变形常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.(2)作商法一般适用于分式、指数式、对数式,作商只是思路,关键是化简变形,从而使结果能够与1比较大小.(3)构造函数法:构造函数,利用函数的单调性比较大小.
对点训练1(1)已知a>b>0,m>0,则( )(2)已知a,b是实数,且e
【例2】 (1)(2020北京海淀一模,4)已知实数a,b,c在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是( )
答案 (1)D (2)C 解析 (1)(方法1)根据数轴可得c|b|>|a|,对于A:因为cb,则c+a|b|>|a|,所以c2>b2>a2,且b2>ab,所以c2>b2>ab,即c2>ab,故B错误;对于C:因为b|a|,且c<0,所以|b|c<|a|c,故D正确.
解题心得1.已知某些量的范围,在求由这些量组成的代数式的范围时,常用不等式同向可加性、同向同正可乘性;2.不等式两边都乘以一个负数时要改变不等号的方向;3.当不等式两边异号时,两边同时平方后不等号不确定;4.当ab>0时,对不等式a>b两边取倒数,即两边同乘以
A.①②B.①③C.②③D.①②③(2)(多选)(2020山东青岛5月模拟,9)设a,b,c为实数,且a>b>0,则下列不等式中正确的是( )A.lg2(ab)>lg2b2B.ac2>bc2
答案 (1)A (2)AC
考向1 利用均值不等式证明不等式【例3】 已知a,b,c>0,且a+b+c=1,求证:
解题心得利用均值不等式证明不等式时,首先观察题中要证明的不等式的形式,若不能直接使用均值不等式,则考虑利用拆项、配凑等方法对不等式进行变形,使之达到能使用均值不等式的条件;若题目中还有已知条件,则首先观察已知条件和所证不等式之间的联系,当已知条件中含有1时,要注意1的代换.另外,解题中要时刻注意等号能否取到.
考向2 求不含等式条件的最值问题
答案 (1)B (2)(-∞,5]
解题心得1.应用均值不等式应注意:(1)在应用均值不等式求最值时,判断是否具备了应用均值不等式的条件,即“一正——各项均为正;二定——积或和为定值;三相等——等号能否取得”.2.在利用均值不等式求不含条件等式的最值时,先根据式子的特征灵活变形,配凑出积或和为常数的等式,再利用均值不等式求最值.
答案 (1)9 (2)4
考向3 求含有等式条件的最值问题
答案 (1)C (2)4
解题心得1.条件最值的求解通常有两种方法:一是消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解;二是将条件灵活变形,利用常数代换的方法构造积或和为常数的式子,然后利用均值不等式求解最值.求最值时要注意其中变量的条件,有些不能用均值不等式的问题可考虑利用函数的单调性.2.多次使用均值不等式求最值时,要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号.
(2)(2020辽宁实验中学五模,文9)已知实数x,y满足x2-xy+y2=1,则x+y的最大值为( )A.1B.2C.3D.4
答案 (1)B (2)B
(2)∵实数x,y满足x2-xy+y2=1,化为(x+y)2≤4,可得x+y≤2,当且仅当x=y=1时取等号.则x+y的最大值为2.
考向4 均值不等式的实际应用【例6】 某厂家拟定在2021年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x=3- (k为常数).如果不搞促销活动,那么该产品的年销量是1万件.已知2021年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).(1)将2021年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数;(2)该厂家2021年的促销费用投入多少万元时,厂家利润最大?
解题心得1.利用均值不等式解决实际问题时,应先仔细阅读题目信息,理解题意,明确其中的数量关系,并引入变量,依题意列出相应的函数关系式,然后用均值不等式求解.2.在求所列函数的最值时,当用均值不等式时,若等号取不到,则可利用函数单调性求解.3.在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.
1.等式的性质(1)如果a=b,则对任意c,都有a+c=b+c;(2)如果a=b,则对任意 的c,都有ac=bc.
2.两个实数比较大小的方法
5.利用均值不等式求最值已知x>0,y>0,则
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
2.设M=x2,N=-x-1,则M与N的大小关系是( )A.M>NB.M=NC.M
答案 D 解析 因为a,b,c,d∈R,且a>b,c>d,根据不等式的同向可加性,得a+c>b+d,故选D.
4.(2020山东潍坊临朐模拟一,3)设p:a,b是正实数,q:a+b>2 ,则( )A.p是q的充分条件但不是必要条件B.p是q的必要条件但不是充分条件C.p是q的充要条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件
5.(2020山东淄博4月模拟,14)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+ 的最小值为 .
【例1】 (1)已知a,b∈(0,1),且a≠b,下列各式中最大的是( )
答案 (1)D (2)B
解题心得比较大小常用的方法有作差法、作商法、构造函数法.(1)作差法的一般步骤:①作差;②变形;③定号;④下结论.变形常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.(2)作商法一般适用于分式、指数式、对数式,作商只是思路,关键是化简变形,从而使结果能够与1比较大小.(3)构造函数法:构造函数,利用函数的单调性比较大小.
对点训练1(1)已知a>b>0,m>0,则( )(2)已知a,b是实数,且e
【例2】 (1)(2020北京海淀一模,4)已知实数a,b,c在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是( )
答案 (1)D (2)C 解析 (1)(方法1)根据数轴可得c
解题心得1.已知某些量的范围,在求由这些量组成的代数式的范围时,常用不等式同向可加性、同向同正可乘性;2.不等式两边都乘以一个负数时要改变不等号的方向;3.当不等式两边异号时,两边同时平方后不等号不确定;4.当ab>0时,对不等式a>b两边取倒数,即两边同乘以
A.①②B.①③C.②③D.①②③(2)(多选)(2020山东青岛5月模拟,9)设a,b,c为实数,且a>b>0,则下列不等式中正确的是( )A.lg2(ab)>lg2b2B.ac2>bc2
答案 (1)A (2)AC
考向1 利用均值不等式证明不等式【例3】 已知a,b,c>0,且a+b+c=1,求证:
解题心得利用均值不等式证明不等式时,首先观察题中要证明的不等式的形式,若不能直接使用均值不等式,则考虑利用拆项、配凑等方法对不等式进行变形,使之达到能使用均值不等式的条件;若题目中还有已知条件,则首先观察已知条件和所证不等式之间的联系,当已知条件中含有1时,要注意1的代换.另外,解题中要时刻注意等号能否取到.
考向2 求不含等式条件的最值问题
答案 (1)B (2)(-∞,5]
解题心得1.应用均值不等式应注意:(1)在应用均值不等式求最值时,判断是否具备了应用均值不等式的条件,即“一正——各项均为正;二定——积或和为定值;三相等——等号能否取得”.2.在利用均值不等式求不含条件等式的最值时,先根据式子的特征灵活变形,配凑出积或和为常数的等式,再利用均值不等式求最值.
答案 (1)9 (2)4
考向3 求含有等式条件的最值问题
答案 (1)C (2)4
解题心得1.条件最值的求解通常有两种方法:一是消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解;二是将条件灵活变形,利用常数代换的方法构造积或和为常数的式子,然后利用均值不等式求解最值.求最值时要注意其中变量的条件,有些不能用均值不等式的问题可考虑利用函数的单调性.2.多次使用均值不等式求最值时,要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号.
(2)(2020辽宁实验中学五模,文9)已知实数x,y满足x2-xy+y2=1,则x+y的最大值为( )A.1B.2C.3D.4
答案 (1)B (2)B
(2)∵实数x,y满足x2-xy+y2=1,化为(x+y)2≤4,可得x+y≤2,当且仅当x=y=1时取等号.则x+y的最大值为2.
考向4 均值不等式的实际应用【例6】 某厂家拟定在2021年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x=3- (k为常数).如果不搞促销活动,那么该产品的年销量是1万件.已知2021年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).(1)将2021年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数;(2)该厂家2021年的促销费用投入多少万元时,厂家利润最大?
解题心得1.利用均值不等式解决实际问题时,应先仔细阅读题目信息,理解题意,明确其中的数量关系,并引入变量,依题意列出相应的函数关系式,然后用均值不等式求解.2.在求所列函数的最值时,当用均值不等式时,若等号取不到,则可利用函数单调性求解.3.在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.
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