吉林省吉林市2023届高三数学第四次调研考试试题（Word版附答案）

绝密★启用前

吉林市普通中学2022-2023学年度高三毕业年级第四次调研考试

数学

本试卷共22小题，共150分，共6页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回.

一､单项选择题：本大题共8小题，脢小题5分，其40分.在海小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求.

1.已知集合，若，则实数（    ）

A.或1    B.0或1    C.1    D.

2.中，，则边上的高所在的直线方程是（    ）

A.    B.

C.    D.

3.已知是两个不同的平面，则下列命题错误的是（    ）

A.若且，则

B.若是平面内不共线三点，，则

C.若直线，直线，则与为异面直线

D.若且，则直线

4.下列说法错误的是（    ）

A.若随机变量，则

B.若随机变量服从两点分布，且，则

C.若随机变量的分布列为，则

D.若随机变量，则的分布列中最大的只有

5.设，则（    ）

A.    B.

C.    D.

6.点是的重心，，则（    ）

A.32    B.30    C.16    D.14

7.在我国古代，杨辉三角（如图1）是解决很多数学问题的有力工具，从图1中可以归纳出等式：､类比上述结论，借助杨辉三角解决下述问题：如图2，该“刍童垛”共2021层，底层如图3，一边2023个圆球，另一边2022个圆球，向上逐层每边减少个圆球，顶层堆6个圆球，则此“刍童垛”中圆球的总数为（    ）

A.    B.    C.    D.

8.已知点是抛物线的焦点，过点作两条互相垂直的直线分别与拋物线交于点和，且，则四边形面积的最小值为（    ）

A.4    B.8    C.16    D.32

二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知实数满足，则下列不等式一定成立的是（    ）

A.    B.

C.    D.

10.如图所示，正三棱台中，与平面所成的角为，则（    ）

A.该三棱台的体积是

B.该三棱台的体积是

C.该三棱台外接球的表面积是

D.该三棱台外接球的表面积是

11.人均消费支出是社会需求的主体，是拉动经济增长们直接因素，是体现居民生活水平和质量的重要指标.2022年一季度和2023年一季度我囯居民人均消费支出分别为6393元和6738元，图1､图2分别为2022年一季度和2023年一季度居民人均消费支出构成分布图，则（    ）

A.2022年一季度和2023年一季度居民食品烟酒人均消费支出均超过人均总消费支出的

B.2023年一季度居民食品烟酒､衣着､居住各项人均消费支出占比较上年同期均有所降低

C.2023年一季度居民人均交通通信支出低于上年同期人均交通通信支出

D.2023年一季度居民人均消费支出比上年同期增长约

12.已知函数其中，给出下列四个结论：

甲：有两个不等实根

乙：有一个极小值是-1

丙：的所有零点的积为0

的所有零点的和为

若上述结论有且只有一个是错误的，则上述结论正确的是（    ）

A.甲    B.乙    C.丙    D.丁

第II卷（共90分）

三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.其中第16题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分.

13.已知复数是关于的方程的一个根，则__________.

14.已知是函数的两个零点，且，则__________.

15.已知椭圆的左焦点为，上顶点为，直线过和，且与圆交于两点，若，则椭圆的离心率为__________.

16.在三棱锥中，，直线与平面所成角为，直线与平面所成角为，则点在所在平面内的射影的轨迹长为__________；三棱锥体积的取值范围是__________.

三､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

中，角的对边分别为，且.

（1）求角；

（2）若的外接圆半径为，求的周长的最大值.

18.（本小题满分12分）

随着消费者对环保､低碳和健康生活的追求不断加强，新能源汽车的市场需求也在不断增加.新能源汽车主要有混合动力汽车､纯电动汽车､燃料电池汽车等类型.某汽车企业生产的型汽车，有混合动力和纯电动两种类型，总日产量达120台，其中有30台混合动力汽车，90台纯电动汽车.

（1）若从中随机抽检2台汽车，用表示抽检混合动力汽车的台数，分别就有放回抽检与不放回抽检，求的分布列及数学期望；

（2）若从每日生产的120台型汽车中随机地抽取10台样本，用表示样本中混合动力汽车台数，分别就有放回抽取和不放回抽取，用样本中的混合动力汽车台数的比例估计总体中混合动力汽车台数的比例，求误差不超过0.15的概率，并比较在相同的误差限制下，采用哪种抽取估计的结果更可靠.

参考数据：（概率值精确到0.00001）

19.（本小题满分12分）

如图1，在等腰梯形中，.沿将折成，如图2所示，连接，得到四棱锥.

（1）若平面平面，求证：l；

（2）若点是的中点，求点到直线的距离的取值范围.

20.（本小题满分12分）

已知数列的前项和为，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列满足，求的前项和.

21.（本小题满分12分）

已知双曲线的左､右顶点分别为，动直线过点，当直线与双曲线有且仅有一个公共点时，点到直线的距离为

（1）求双曲线的标准方程；

（2）当直线与双曲线交于异于的两点时，记直线的斜率为，直线的斜率为.

（i）是否存在实数，使得成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；

（ii）求直线和交点的轨迹方程.

22.（本小题满分12分）

已知函数，且.

（1）求实数的取值范围；

（2）设为整数，且对任意正整数，不等式恒成立，求的最小值；

（3）证明：.

吉林市普通中学2022-2023学年度高三毕业年级第四次调研测试

数学试题参考答案

一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

二､多项选择题：本大题共4小题，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

教学提示：

4.选项，可以参考人教版选择性必修三第81~82页，探究与发现《二项分布的性质》，研读如何利用分布列的表达式研究的增减变化及最大值，并掌握当为正整数及非正整数时的取值情况.

5.①针对函数，了解函数图象的变化情况（指导学生阅读人教版选择性必修二第68页例4和第89页例4），体会极值点左侧图象“陡峭”，右侧图象“平缓”，如图所示：

②利用极值点偏移，对于函数，当且时，.

设且

则

补充：程度较好的学生熟练掌握六种经典函数图象（单调性､极值点､零点）：

7.法一：由杨辉三角中观察得可得.

推广，得到

即

由题意，2021层“刍童垛”小球的总个数为

法二：指导学生阅读人教版选择性必修二第~页，阅读与思考《中国古代数学家求数列和的方法》.可以结合人教A版选择性必修三39~42页数学探究《杨辉三角的性质与应用》，探索堆垛问题以及高阶等差数列的求和方法.

由已知顶层6个圆球，设为，向下每边依次加1个，

第层个.

利用分组求和法，得到层“刍童垛”小球的总个数为

即2021层“刍童垛”小球的总个数为.

11.统计数据来源于国家统计局网站，选项的命制主要根据网站公布数据的解释说明.为使学生深刻体会数学的实用性，结合本题的实际特点，选择恰当的统计图表对数据进行可视化描述，体会合理使用统计图表的重要性.

三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.其中第16题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分.

13.    14.1    15.    16.；

教学提示：16.过作平面垂足为，则

点轨迹是半径为3的圆（阿波罗尼斯圆），即轨迹长为

易知

四､解答题

17.【解析】

（1）由，得：

由正弦定理，得

整理得：

因为，所以.

两边平方得，消，得

解得：或（舍去）

又，所以

（也可化简为求得）

（2）法一：因为且

所以：

所以

所以，当且仅当时，取“”号

所以的周长，

即当时，的周长最大值为9.

法二：

设的外接圆半径为，

因为，

所以，

所以的周长

因为，所以

当时，的最大值1，此时的周长的最大值为9.

18.【解析】

（1）对于有放回抽检，每次抽到混合动力汽车的概率为，且各次抽检结果是独立的，

设为有放回抽检的混合动力汽车的台数，则可取，

的分布列如下：

则.

对于不放回抽检，各次抽检的结果不独立，设为不放回抽检的混合动力汽车的台数，则服从超几何分布，可取

的分布列如下：

则.

注：也可按照下面步骤作答.

的分布列为.

的分布列为.

（2）样本中混合动力汽车的比例是一个随机变量，根据参考数据，

有放回抽取：

不放回抽取：

因为，

所以，在相同的误差限制下，采用不放回抽取估计的结果更可靠.

（注：（2）问，可以参考人教版选择性必修三第79页例6，分别就放回抽样和不放回抽样，用样本中的某类品的比例估计总体中这类品的比例，定量地比较估计效果，用概率的方法解释直观常识.对用同一抽取模型，两个分布的均值相同，从两种分布的概率分布看，或者从方差的大小比较（超几何分布的方差较小），都反应超几何分布更集中于均值附近.）

19.解析：

（1）四边形是平行四边形

平面平面

平面

平面，平面平面.

（2）法一：

设

点到直线的距离.

即点到直线的距离的取值范围是.

法二：取中点，连接

是等边三角形

以为原点，所在直线为轴，轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系如图所示

设，

则

点到直线的距离

当时，；当时，

即点到直线的距离的取值范围是

法三：提示：也可设整理得

当时，；当时，

（命题意图及教学建议：关注投影向量概念及意义的教学，体会课标中“能用向量方法解决点到直线､点到平面､相互平行直线､相互平行的平面的距离问题和简单的夹角问题”的这一要求.）

20.【解析】

（1）令时

时，相减得.

.

（2）由（1）知.

令，则

相减得：

令

相减得：

21.【解析】

（1）

故当直线过与双曲线有且仅有一个公共点时，应与的渐近线平行

设直线，即，则点到直线的距离为

即双曲线的标准方程为：.

（或设，由点到直线的距离为，得）

（2）（i）由题可知，直线斜率不为0

设直线

由得：

成立

.

所以存在实数，使得成立.

（注：请老师阅卷时注意非对称问题方法不唯一）

（ii）直线，直线

联立得：

所以直线和交点的轨迹方程为：

22.【解析】

（1）法一：在上恒成立

在上恒成立

设

①当时，恒成立在上单调递增，且时，不符合题意，舍去

②当时，令，则；令，则.

在上单调递减，在上单调递增

.

设

令，则；令，则.

在上单调递增，在上单调递减

，即当时，

的取值范围是：.

法二：在上恒成立

是上最小值，也是极小值

，即

当时，

令，则；令，则

在上单调递减，在上单调递增

即，满足：在上恒成立

法三：①当时，恒成立，.

②当时，恒成立，设

设

在上单调递增，在上单调递增

当时，为“”型

由洛必达法则得

当时，，即

③当时，恒成立，设

设

在上单调递减，在上单调递增

当时，为“”型

由洛必达法则得

当时，，即

综上，的取值范围是：

（2）由（1）知，，即在上恒成立（当且仅当时取等）

令，则.

即

又且的最小值为2.

（注：重新构造新函数得出也可以）

（3）不等式在上恒成立（当且仅当时取等）

令，则，即.

令，则，即

故.