2023年新高考数学一轮复习课时4.6《正弦定理与余弦定理》达标练习（2份打包，答案版+教师版）

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2023年新高考数学一轮复习课时4.6《正弦定理与余弦定理》达标练习一 、选择题1.在△ABC中，∠C=60°，AC=2，BC=3，那么AB=(　　)A.          B.        C.          D.2【答案解析】答案为：C；解析：由余弦定理得AB2=22＋32－2×2×3×cos 60°=7，∴AB=，故选C.2.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b=，c=4，cos B=，则△ABC的面积为(　　)A.3          B.        C.9          D.【答案解析】答案为：B；解析：由余弦定理b2=c2＋a2－2accos B，得7=16＋a2－6a，解得a=3，∵cos B=，∴sin B=，∴S△ABC=casin B=×4×3×=.故选B.3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋b2－c2=ab=，则△ABC的面积为(　　)A.          B.             C.           D.【答案解析】答案为：B；解析：依题意得cos C==，C=60°，因此△ABC的面积等于absin C=××=.4.在△ABC中，A=，b2 sin C=4sin B，则△ABC的面积为(　　)A.1          B.2         C.3          D.4【答案解析】答案为：B解析：因为b2sin C=4sin B，所以b2c=4b，即bc=4，故S△ABC=bcsin A=2.5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b2＋c2－a2=bc，且b=a，则下列关系一定不成立的是(　　)A.a=c　         B.b=c        C.2a=c          D.a2＋b2=c2【答案解析】答案为：B解析：由余弦定理，得cos A===，则A=30°.又b=a，由正弦定理得sin B=sin A=sin 30°=，所以B=60°或120°.当B=60°时，△ABC为直角三角形，且2a=c，可知C，D成立；当B=120°时，C=30°，所以A=C，即a=c，可知A成立.故选B.6.在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A=，a=3，S△ABC=2，则b的值为(　　)A.6          B.3        C.2          D.2或3【答案解析】答案为：D解析：因为S△ABC=2=bcsin A，所以bc=6，又因为sin A=，所以cos A=，又a=3，由余弦定理得9=b2＋c2－2bccos A=b2＋c2－4，b2＋c2=13，可得b=2或b=3.7.△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，c=2a，bsin B－asin A=asin C，则sin B的值为(　　)A.          B.           C.          D.【答案解析】答案为：C；解析：由正弦定理，得b2－a2=ac，又c=2a，所以b2=2a2，所以cos B==，所以sin B=.8.若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2bsin 2A=asin B，且c=2b，则=(　　)A.2          B.3         C.          D.【答案解析】答案为：A；解析：由2bsin 2A=asin B，得4bsin A·cos A=asin B，由正弦定理得4sin B·sin A·cos A=sin A·sin B，∵sin A≠0，且sin B≠0，∴cos A=，由余弦定理得a2=b2＋4b2－b2，∴a2=4b2，∴=2.故选A.9.在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则sin A=(　　)A.        B.        C.        D.【答案解析】答案为：D.解析：过A作AD⊥BC于D，设BC=a，由已知得AD=.∵B=，∴AD=BD，∴BD=AD=，DC=a，∴AC=a，在△ABC中，由正弦定理得=，∴sin ∠BAC=，故选D.]10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＋sin A－=0，则的值是(　　)A.1          B.           C.          D.2【答案解析】答案为：B；解析：因为cos A＋sin A－=0，所以(cos A＋sin A)(cos B＋sin B)=2，所以cos Acos B＋sin Asin B＋sin Acos B＋cos Asin B=2，即cos(A－B)＋sin(A＋B)=2，所以cos(A－B)=1，sin(A＋B)=1，又A，B分别为三角形的内角，所以A=B，A＋B=，所以a=b，C=，所以==，故选B.11.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asin Bcos C＋csin Bcos A=b，且a>b，则B=(　　)A.          B.        C.          D.【答案解析】答案为：A；解析：∵asin Bcos C＋csin Bcos A=b，∴根据正弦定理可得sin Asin Bcos C＋sin Csin Bcos A=sin B，即sin B(sin Acos C＋sin Ccos A)=sin B.∵sin B≠0，∴sin(A＋C)=，即sin B=.∵a>b，∴A>B，即B为锐角，∴B=，故选A.12.在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sin Bsin C，则A的取值范围是(　　)A.      B.     C.      D.【答案解析】答案为：C；解析：由正弦定理及sin2A≤sin2B＋sin2C－sin Bsin C可得a2≤b2＋c2－bc，即b2＋c2－a2≥bc，由余弦定理可得cos A=≥=，又0＜A＜π，所以0＜A≤.故A的取值范围是.故选C.二 、填空题13.在△ABC中，角A，B，C的对边a，b，c成等差数列，且A－C＝90°，则cosB＝_____.【答案解析】答案为：解析：∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.∴2sinB＝sinA＋sinC.∵A－C＝90°，∴2sinB＝sin(90°＋C)＋sinC.∴2sinB＝cosC＋sinC.∴2sinB＝sin(C＋45°).①∵A＋B＋C＝180°且A－C＝90°，∴C＝45°－，代入①式中，2sinB＝sin(90°－).∴2sinB＝cos.∴4sincos＝cos.∴sin＝.∴cosB＝1－2sin2＝1－＝.14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，btanB＋btanA=2ctanB，且a=5，△ABC的面积为2，则b＋c的值为       .【答案解析】答案为：7.解析：由正弦定理及btanB＋btanA=2ctanB，得sinB·＋sinB·=2sinC·，即cosAsinB＋sinAcosB=2sinCcosA，亦即sin(A＋B)=2sinCcosA，故sinC=2sinCcosA.因为sinC≠0，所以cosA=，所以A=.由面积公式，知S△ABC=bcsinA=2，所以bc=8.由余弦定理，知a2=b2＋c2－2bccosA=(b＋c)2－3bc，代入可得b＋c=7.15.在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，AC=5 ，CD=5，BD=2AD，则AD的长为________.【答案解析】答案为：5.解析：如图，在△ABC中，BD=2AD，设AD=x(x＞0)，则BD=2x.在△BCD中，因为CD⊥BC，CD=5，BD=2x，所以cos∠CDB==.在△ACD中，AD=x，CD=5，AC=5 ，则cos∠ADC==.因为∠CDB＋∠ADC=π，所以cos∠ADC=－cos∠CDB，即=－，解得x=5，所以AD的长为5.16.在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，a＋c=4，(2－cos A)tan =sin A，则△ABC的面积的最大值为__________.【答案解析】答案为：解析：(2－cos A)tan =sin A⇒=tan ===⇒sin A＋sin Acos B=2sin B－sin Bcos A⇒(sin Acos B＋sin Bcos A)＋sin A=2sin B⇒sin(A＋B)＋sin A=2sin B⇒sin C＋sin A=2sin B⇒a＋c=2b=4，所以b=2，所以cos B====，又ac≤=4(a=c时取等号)，所以S=acsin B=ac=ac·==≤×2=.