新高考数学一轮复习讲义4.6《正弦定理和余弦定理》(2份打包，解析版+原卷版)

§4.6　正弦定理和余弦定理

1．正弦定理、余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则

2．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况

3.三角形常用面积公式

(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；

(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；

(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．

概念方法微思考

1．在△ABC中，∠A>∠B是否可推出sin A>sin B?

2．如图，在△ABC中，有如下结论：bcos C＋ccos B＝a.试类比写出另外两个式子．

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(　 　)

(2)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC为锐角三角形．(　 　)

(3)在△ABC中，＝.(　 　)

(4)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．(　 　)

题组二　教材改编

2．在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为        ．

3．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积为        ．

题组三　易错自纠

4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c<bcos A，则△ABC为(　　)

A．钝角三角形   B．直角三角形

C．锐角三角形   D．等边三角形

5．(2018·大连质检)在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是(　　)

A．有一解   B．有两解

C．无解   D．有解但解的个数不确定

6．(2018·包头模拟)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则C＝        .

题型一　利用正弦、余弦定理解三角形

例1 (2018·天津)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin A＝acos.

(1)求角B的大小；

(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．

跟踪训练1 (1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A等于(　　)

A.  B.  C.  D.

(2)如图所示，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sin C的值为        ．

题型二　和三角形面积有关的问题

例2 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acos B.

(1)证明：A＝2B；

(2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小．

跟踪训练2 (1)(2018·沈阳质检)若AB＝2，AC＝BC，则S△ABC的最大值为(　　)

A．2  B.  C.  D．3

(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是        ．

题型三　正弦定理、余弦定理的应用

命题点1　判断三角形的形状

例3 (1)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝2bcos C，则此三角形一定是(　　)

A．等腰直角三角形

B．直角三角形

C．等腰三角形

D．等腰三角形或直角三角形

(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)

A．锐角三角形   B．直角三角形

C．钝角三角形   D．不确定

引申探究

1．本例(2)中，若将条件变为2sin Acos B＝sin C，判断△ABC的形状．

2．本例(2)中，若将条件变为a2＋b2－c2＝ab，且2cos Asin B＝sin C，判断△ABC的形状．

命题点2　求解几何计算问题

例4 如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝，AD∶AB＝2∶3，BD＝，AB⊥BC.

(1)求sin∠ABD的值；

(2)若∠BCD＝，求CD的长．

跟踪训练3　(1)在△ABC中，cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(　　)

A．等边三角形   B．直角三角形

C．等腰三角形或直角三角形   D．等腰直角三角形

(2)(2018·铁岭统考)在△ABC中，B＝30°，AC＝2，D是AB边上的一点，CD＝2，若∠ACD为锐角，△ACD的面积为4，则BC＝        .

1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝3，A＝60°，则边c等于(　　)

A．1  B．2  C．4  D．6

2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝2，b＝2，C＝30°，则B等于(　　)

A．30°   B．60°

C．30°或60°   D．60°或120°

3．(2018·丹东模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos 2A＝sin A，bc＝2，则△ABC的面积为(　　)

A.  B.  C．1  D．2

4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知三个向量m＝，n＝，p＝共线，则△ABC的形状为(　　)

A．等边三角形   B．等腰三角形

C．直角三角形   D．等腰直角三角形

5．(2018·本溪质检)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos C＝，bcos A＋acos B＝2，则△ABC的外接圆面积为(　　)

A．4π  B．8π  C．9π  D．36π

6．(2018·乌海模拟)在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若S△ABC＝2，a＋b＝6，＝2cos C，则c等于(　　)

A．2  B．4  C．2  D．3

7．(2018·通辽模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则角B的值为      ．

8．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sin B＝，C＝，则b＝        .

9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为        ．

10．(2018·锦州质检)若E，F是等腰直角三角形ABC斜边AB上的三等分点，则tan∠ECF＝        .

11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a－c＝b，sin B＝sin C.

(1)求cos A的值；

(2)求cos的值．

12．(2018·北京)在△ABC中，a＝7，b＝8，cos B＝－.

(1)求∠A；

(2)求AC边上的高．

13．在△ABC中，a2＋b2＋c2＝2absin C，则△ABC的形状是(　　)

A．不等腰的直角三角形

B．等腰直角三角形

C．钝角三角形

D．正三角形

14．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，a＝3，则△ABC的周长的最大值为(　　)

A．2  B．6  C.  D．9

15．在△ABC中，C＝60°，且＝2，则△ABC面积S的最大值为        ．

16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2－(b－c)2＝(2－)bc，且sin B＝1＋cos C，BC边上的中线AM的长为.

(1)求角A和角B的大小；

(2)求△ABC的面积．