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专题20 电学计算题-（2018-2022）五年高考物理真题模拟题分类练（全国卷专用）
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这是一份专题20 电学计算题-（2018-2022）五年高考物理真题模拟题分类练（全国卷专用），文件包含专题20电学计算题解析版docx、专题20电学计算题原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共61页， 欢迎下载使用。
【考纲定位】
【知识重现】
知识点一：带电粒子在电场中的运动
1．带电粒子（体）在电场中的加速
（1）匀强电场中，v0与E平行时，优先用功能关系求解，若不行，则用牛顿第二定律和运动学公式；
（2）非匀强电场中，只能用功能关系求解；
2．带电粒子（体）在匀强电场中的偏转（v0垂直于E的方向），如图所示
处理方法：应用运动的合成与分解；
（1）沿初速度方向做匀速直线运动，离开电场时，运动时间：t＝；
（2）沿电场方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度：a＝＝＝；
（3）离开电场时的偏移量：y＝at2＝；
（4）速度偏向角：tanφ＝＝；tanφ＝；
位移偏向角：tanθ＝＝；tanθ＝
3.带电粒子（体）在电场中运动问题的分析思路
（1）首先分析带电粒子（体）的运动规律，确定带电粒子（体）在电场中做直线运动还是曲线运动；
（2）当带电粒子（体）从一个电场区域进入另一个电场区域时，要注意分析带电粒子（体）运动规律的变化及两区域电场交界处的有关联的物理量，这些关联量往往是解决问题的突破口；
知识点二：带电粒子在磁场中的运动
1.带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的思想方法和理论依据：一般说来，要把握好“一找圆心，二定半径，三画轨迹，四求时间”的分析方法。在具体问题中，要依据题目条件和情景而定。解题的理论依据主要是由牛顿第二定律列式：qvB＝m，求半径r＝及运动周期T＝＝；
2.常用解题知识
（1）几何知识：三角函数、勾股定理、偏向角与圆心角关系。根据几何知识可以由已知长度、角度计算粒子运动的轨迹半径，或根据粒子运动的轨迹半径计算未知长度、角度。
（2）半径公式、周期公式：R＝、T＝。根据两个公式可由q、m、v、B计算粒子运动的半径、周期，也可根据粒子运动的半径或周期计算磁感应强度、粒子的电荷量、质量等。
（3）运动时间计算式：计算粒子的运动时间或已知粒子的运动时间计算圆心角或周期时，常用到t＝T。
知识点三：带电粒子在组合场中运动的解题思路
带电粒子在电场和磁场组合场中运动，实际上是将粒子在电场中的加速和偏转，与在磁场中偏转两种运动有效组合在一起，有效区别电偏转和磁偏转，寻找两种运动的联系和几何关系是解题的关键。当带电粒子连续通过几个不同的场区时，粒子的受力情况和运动情况也发生相应的变化，其运动过程则由几种不同的运动阶段组成。
知识点四：带电粒子在叠加场的运动
1．三种场的比较
2．“三步”解决问题
知识点五：电磁感应现象中的综合问题
1.电磁感应中动力学问题的分析思路
抓住力学对象和电学对象间的桥梁——感应电流I、切割速度v，“四步法”分析电磁感应中的动力学问题。
2.解决电磁感应中的能量问题的一般步骤
（1）确定研究对象（导体棒或回路）。
（2）弄清电磁感应过程中，哪些力做功，哪些形式的能量相互转化。
（3）根据功能关系或能量守恒定律列式求解。在利用能量守恒定律解决电磁感应问题时，要注意分析安培力做功的情况，因为安培力做功是电能和其他形式的能之间相互转化的“桥梁”。
3.用“三大观点”解决电磁感应相关问题的对比。
【真题汇编】
1. （2022·全国甲卷·T25）光点式检流计是一种可以测量微小电流的仪器，其简化的工作原理示意图如图所示。图中A为轻质绝缘弹簧，C为位于纸面上的线圈，虚线框内有与纸面垂直的匀强磁场；M为置于平台上的轻质小平面反射镜，轻质刚性细杆D的一端与M固连且与镜面垂直、另一端与弹簧下端相连，为圆弧形的、带有均匀刻度的透明读数条，的圆心位于M的中心。使用前需调零:使线圈内没有电流通过时，M竖直且与纸面垂直；入射细光束沿水平方向经上的O点射到M上后沿原路反射。线圈通入电流后弹簧长度改变，使M发生倾斜，入射光束在M上的入射点仍近似处于的圆心，通过读取反射光射到上的位置，可以测得电流的大小。已知弹簧的劲度系数为k，磁场磁感应强度大小为B，线圈C的匝数为N。沿水平方向的长度为l，细杆D的长度为d，圆弧的半径为r﹐，d远大于弹簧长度改变量的绝对值。
（1）若在线圈中通入的微小电流为I，求平衡后弹簧长度改变量的绝对值及上反射光点与O点间的弧长s；
（2）某同学用此装置测一微小电流，测量前未调零，将电流通入线圈后，上反射光点出现在O点上方，与O点间的弧长为、保持其它条件不变，只将该电流反向接入，则反射光点出现在О点下方，与O点间的弧长为。求待测电流的大小。
【答案】（1），；（2）
【解析】
（1）由题意当线圈中通入微小电流I时，线圈中的安培力为
F = NBIl
根据胡克定律有
F = NBIl = k│x│
如图所示
设此时细杆转过的弧度为θ，则可知反射光线转过的弧度为2θ，又因为
d >> x，r >> d
则
sinθ ≈ θ，sin2θ ≈ 2θ
所以有
x = dθ
s = r2θ
联立可得
（2）因为测量前未调零，设没有通电流时偏移的弧长为s′，当初始时反射光点在O点上方，通电流I′后根据前面的结论可知有
当电流反向后有
联立可得
同理可得初始时反射光点在O点下方结果也相同，故待测电流的大小为
2. （2022·全国乙卷·T24）如图，一不可伸长的细绳的上端固定，下端系在边长为的正方形金属框的一个顶点上。金属框的一条对角线水平，其下方有方向垂直于金属框所在平面的匀强磁场。已知构成金属框的导线单位长度的阻值为；在到时间内，磁感应强度大小随时间t的变化关系为。求:
（1）时金属框所受安培力的大小；
（2）在到时间内金属框产生的焦耳热。
【答案】（1）；（2）0.016J
【解析】
（1）金属框的总电阻为
金属框中产生的感应电动势为
金属框中的电流为
t=2.0s时磁感应强度为
金属框处于磁场中的有效长度为
此时金属框所受安培力大小为
（2）内金属框产生的焦耳热为
3. （2021·全国甲卷·T25）如图，长度均为l的两块挡板竖直相对放置，间距也为l，两挡板上边缘P和M处于同一水平线上，在该水平线的上方区域有方向竖直向下的匀强电场，电场强度大小为E；两挡板间有垂直纸面向外、磁感应强度大小可调节的匀强磁场。一质量为m，电荷量为q（q>0）的粒子自电场中某处以大小为v0的速度水平向右发射，恰好从P点处射入磁场，从两挡板下边缘Q和N之间射出磁场，运动过程中粒子未与挡板碰撞。已知粒子射入磁场时的速度方向与PQ的夹角为60°，不计重力。
（1）求粒子发射位置到P点的距离；
（2）求磁感应强度大小的取值范围；
（3）若粒子正好从QN的中点射出磁场，求粒子在磁场中的轨迹与挡板MN的最近距离。
【答案】（1） ；（2） ；（3）粒子运动轨迹见解析，
【解析】
（1）带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，由类平抛运动规律可知
①
②
粒子射入磁场时的速度方向与PQ的夹角为60°，有
③
粒子发射位置到P点的距离
④
由①②③④式得
⑤
（2）带电粒子在磁场运动在速度
⑥
带电粒子在磁场中运动两个临界轨迹（分别从Q、N点射出）如图所示
由几何关系可知，最小半径
⑦
最大半径
⑧
带电粒子在磁场中做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，由向心力公式可知
⑨
由⑥⑦⑧⑨解得，磁感应强度大小的取值范围
（3）若粒子正好从QN的中点射出磁场时，带电粒子运动轨迹如图所示。
由几何关系可知
⑩
带电粒子的运动半径为
⑪
粒子在磁场中的轨迹与挡板MN的最近距离
⑫
由⑩⑪⑫式解得
⑬
4. （2021·全国乙卷·T25）如图，一倾角为的光滑固定斜面的顶端放有质量的U型导体框，导体框的电阻忽略不计；一电阻的金属棒的两端置于导体框上，与导体框构成矩形回路；与斜面底边平行，长度。初始时与相距，金属棒与导体框同时由静止开始下滑，金属棒下滑距离后进入一方向垂直于斜面的匀强磁场区域，磁场边界（图中虚线）与斜面底边平行；金属棒在磁场中做匀速运动，直至离开磁场区域。当金属棒离开磁场的瞬间，导体框的边正好进入磁场，并在匀速运动一段距离后开始加速。已知金属棒与导体框之间始终接触良好，磁场的磁感应强度大小，重力加速度大小取。求：
（1）金属棒在磁场中运动时所受安培力的大小；
（2）金属棒的质量以及金属棒与导体框之间的动摩擦因数；
（3）导体框匀速运动的距离。
【答案】（1）；（2），；（3）
【解析】
（1）根据题意可得金属棒和导体框在没有进入磁场时一起做匀加速直线运动，由动能定理可得
代入数据解得
金属棒在磁场中切割磁场产生感应电动势，由法拉第电磁感应定律可得
由闭合回路的欧姆定律可得
则导体棒刚进入磁场时受到的安培力为
（2）金属棒进入磁场以后因为瞬间受到安培力的作用，根据楞次定律可知金属棒的安培力沿斜面向上，之后金属棒相对导体框向上运动，因此金属棒受到导体框给的沿斜面向下的滑动摩擦力，因匀速运动，可有
此时导体框向下做匀加速运动，根据牛顿第二定律可得
设磁场区域的宽度为x，则金属棒在磁场中运动的时间为
则此时导体框的速度为
则导体框的位移
因此导体框和金属棒的相对位移为
由题意当金属棒离开磁场时金属框的上端EF刚好进入线框，则有位移关系
金属框进入磁场时匀速运动，此时的电动势为
，
导体框受到向上的安培力和滑动摩擦力，因此可得
联立以上可得
，，，
（3）金属棒出磁场以后，速度小于导体框的速度，因此受到向下的摩擦力，做加速运动，则有
金属棒向下加速，导体框匀速，当共速时导体框不再匀速，则有
导体框匀速运动的距离为
代入数据解得
5. （2020·全国Ⅰ卷·T25）在一柱形区域内有匀强电场，柱的横截面积是以O为圆心，半径为R的圆，AB为圆的直径，如图所示。质量为m，电荷量为q（q>0）的带电粒子在纸面内自A点先后以不同的速度进入电场，速度方向与电场的方向垂直。已知刚进入电场时速度为零的粒子，自圆周上的C点以速率v0穿出电场，AC与AB的夹角θ=60°。运动中粒子仅受电场力作用。
（1）求电场强度的大小；
（2）为使粒子穿过电场后的动能增量最大，该粒子进入电场时的速度应为多大？
（3）为使粒子穿过电场前后动量变化量的大小为mv0，该粒子进入电场时的速度应为多大？
【答案】(1) ；(2)；(3)0或
【解析】
（1）由题意知在A点速度为零的粒子会沿着电场线方向运动，由于q>0，故电场线由A指向C，根据几何关系可知：
所以根据动能定理有：
解得：
；
（2）根据题意可知要使粒子动能增量最大则沿电场线方向移动距离最多，做AC垂线并且与圆相切，切点为D，即粒子要从D点射出时沿电场线方向移动距离最多，粒子在电场中做类平抛运动，根据几何关系有
而电场力提供加速度有
联立各式解得粒子进入电场时的速度：
；
（3）因为粒子在电场中做类平抛运动，粒子穿过电场前后动量变化量大小为mv0，即在电场方向上速度变化为v0 ，过C点做AC垂线会与圆周交于B点，故由题意可知粒子会从C点或B点射出。当从B点射出时由几何关系有
电场力提供加速度有
联立解得；当粒子从C点射出时初速度为0。
另解：
由题意知，初速度为0时，动量增量的大小为，此即问题的一个解。自A点以不同的速率垂直于电场方向射入电场的粒子，动量变化都相同，自B点射出电场的粒子，其动量变化量也恒为，由几何关系及运动学规律可得，此时入射速率为
6. （2020·全国Ⅱ卷·T24）如图，在0≤x≤h，区域中存在方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度B的大小可调，方向不变。一质量为m，电荷量为q（q>0）的粒子以速度v0从磁场区域左侧沿x轴进入磁场，不计重力。
（1）若粒子经磁场偏转后穿过y轴正半轴离开磁场，分析说明磁场的方向，并求在这种情况下磁感应强度的最小值Bm；
（2）如果磁感应强度大小为，粒子将通过虚线所示边界上的一点离开磁场。求粒子在该点的运动方向与x轴正方向的夹角及该点到x轴的距离。
【答案】（1）磁场方向垂直于纸面向里；；（2）；
【解析】
（1）由题意，粒子刚进入磁场时应受到方向向上的洛伦兹力，因此磁场方向垂直于纸面向里。设粒子进入磁场中做圆周运动的半径为R，根据洛伦兹力公式和圆周运动规律，有
①
由此可得
②
粒子穿过y轴正半轴离开磁场，其在磁场中做圆周运动的圆心在y轴正半轴上，半径应满足
③
由②可得，当磁感应强度大小最小时，设为Bm，粒子的运动半径最大，由此得
④
（2）若磁感应强度大小为，粒子做圆周运动的圆心仍在y轴正半轴上，由②④式可得，此时圆弧半径为
⑤
粒子会穿过图中P点离开磁场，运动轨迹如图所示。设粒子在P点的运动方向与x轴正方向的夹角为α，
由几何关系
⑥
即⑦
由几何关系可得，P点与x轴的距离为
⑧
联立⑦⑧式得
⑨
7. （2020·全国Ⅲ卷·T24）如图，一边长为l0的正方形金属框abcd固定在水平面内，空间存在方向垂直于水平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一长度大于的均匀导体棒以速率v自左向右在金属框上匀速滑过，滑动过程中导体棒始终与ac垂直且中点位于ac上，导体棒与金属框接触良好。已知导体棒单位长度的电阻为r，金属框电阻可忽略。将导体棒与a点之间的距离记为x，求导体棒所受安培力的大小随x（）变化的关系式。
【答案】
【解析】
当导体棒与金属框接触的两点间棒的长度为l时，由法第电磁感应定律可知导体棒上感应电动势的大小为
由欧姆定律可知流过导体棒的感应电流为
式中R为这一段导体棒的电阻。按题意有
此时导体棒所受安培力大小为
由题设和几何关系有
联立各式得
8. （2019·全国Ⅰ卷·T24）如图，在直角三角形OPN区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外．一带正电的粒子从静止开始经电压U加速后，沿平行于x轴的方向射入磁场；一段时间后，该粒子在OP边上某点以垂直于x轴的方向射出．已知O点为坐标原点，N点在y轴上，OP与x轴的夹角为30°，粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为d，不计重力．求
（1）带电粒子的比荷；
（2）带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间．
【答案】（1） （2）
【解析】
（1）粒子从静止被加速的过程，根据动能定理得：，解得：
根据题意，下图为粒子的运动轨迹，由几何关系可知，该粒子在磁场中运动的轨迹半径为：
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，即：
联立方程得：
（2）根据题意，粒子在磁场中运动的轨迹为四分之一圆周，长度
粒子射出磁场后到运动至轴，运动的轨迹长度
粒子从射入磁场到运动至轴过程中，一直匀速率运动，则
解得：
或
9.（2019·全国Ⅱ卷·T24）如图，两金属板P、Q水平放置，间距为d。两金属板正中间有一水平放置的金属网G，PQG的尺寸相同。G接地，P、Q的电势均为（>0）。质量为m，电荷量为q（q>0）的粒子自G的左端上方距离G为h的位置，以速度v0平行于纸面水平射入电场，重力忽略不计。
（1）求粒子第一次穿过G时的动能，以及它从射入电场至此时在水平方向上的位移大小；
（2）若粒子恰好从G的下方距离G也为h的位置离开电场，则金属板的长度最短应为多少？
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）PG、QG间场强大小相等，均为E，粒子在PG间所受电场力F的方向竖直向下，设粒子的加速度大小为a，有
①
F=qE=ma②
设粒子第一次到达G时动能为Ek，由动能定理有
③
设粒子第一次到达G时所用时间为t，粒子在水平方向的位移为l，则有
④
l=v0t⑤
联立①②③④⑤式解得
⑥
⑦
（2）设粒子穿过G一次就从电场的右侧飞出，则金属板的长度最短，由对称性知，此时金属板的长度L为⑧
10.（2018·全国Ⅰ卷·T25）如图，在y>0的区域存在方向沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E，在y<0的区域存在方向垂直于xOy平面向外的匀强磁场．一个氕核11H和一个氘核21H先后从y轴上y=h点以相同的动能射出，速度方向沿x轴正方向．已知11H进入磁场时，速度方向与x轴正方向的夹角为60°，并从坐标原点O处第一次射出磁场．11H的质量为m，电荷量为q不计重力．求
（1）11H第一次进入磁场的位置到原点O的距离
（2）磁场的磁感应强度大小
（3）12H第一次离开磁场的位置到原点O的距离
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
（1）在电场中做类平抛运动，在磁场中做圆周运动，运动轨迹如图所示．设在电场中的加速度大小为，初速度大小为，它在电场中的运动时间为，第一次进入磁场的位置到原点Ｏ的距离为．由运动学公式有
①
②
由题给条件，进入磁场时速度的方向与x轴正方向夹角．进入磁场时速度的y分量的大小为
③
联立以上各式得
④
（2）在电场中运动时，由牛顿第二定律有
⑤
设进入磁场时速度的大小为，由速度合成法则有
⑥
设磁感应强度大小为B，在磁场中运动的圆轨道半径为，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有
⑦
由几何关系得
⑧
联立以上各式得
⑨
（3）设在电场中沿x轴正方向射出的速度大小为，在电场中的加速度大小为，由题给条件得
⑩
由牛顿第二定律有
⑪
设第一次射入磁场时的速度大小为，速度的方向与x轴正方向夹角为，入射点到原点的距离为，在电场中运动的时间为．由运动学公式有
⑫
⑬
⑭
⑮
联立以上各式得
，， ⑯
设在磁场中做圆周运动的半径为，由⑦⑯式及粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径公式得
⑰
所以出射点在原点左侧．设进入磁场的入射点到第一次离开磁场的出射点的距离为，由几何关系有
⑱
联立④⑧⑯⑰⑱式得，第一次离开磁场时的位置到原点O的距离为
⑲
11.（2018·全国Ⅱ卷·T25）一足够长的条状区域内存在匀强电场和匀强磁场，其在xOy平面内的截面如图所示：中间是磁场区域，其边界与y轴垂直，宽度为l，磁感应强度的大小为B，方向垂直于xOy平面；磁场的上、下两侧为电场区域，宽度均为l´，电场强度的大小均为E，方向均沿x轴正方向；M、N为条状区域边界上的两点，它们的连线与y轴平行，一带正电的粒子以某一速度从M点沿y轴正方向射入电场，经过一段时间后恰好以从M点入射的速度从N点沿y轴正方向射出，不计重力。
（1）定性画出该粒子在电磁场中运动的轨迹；
（2）求该粒子从M点入射时速度的大小；
（3）若该粒子进入磁场时的速度方向恰好与x轴正方向的夹角为，求该粒子的比荷及其从M点运动到N点的时间。
【答案】（1）轨迹如图所示：
（2）
（3）；
【解析】
（1）粒子运动的轨迹如图所示。（粒子在电场中的轨迹为抛物线，在磁场中为圆弧，上下对称）
（2）粒子从电场下边界入射后在电场中做类平抛运动。设粒子从M点射入时速度的大小为v0，在下侧电场中运动的时间为t，加速度的大小为a；粒子进入磁场的速度大小为v，方向与电场方向的夹角为如图所示，速度沿电场方向的分量为v1，根据牛顿第二定律有
式中q和m分别为粒子的电荷量和质量，由运动学公式有
粒子在磁场中做匀速圆周运动，设其运动轨道半径为R，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得
由几何关系得
联立以上公式可得
（3）由运动学公式和题给数据得
联立得
设粒子由M点运动到N点所用的时间为，则
式中T是粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期
则从M点运动到N点的时间
12.（2018·全国Ⅲ卷·T24）如图，从离子源产生的甲、乙两种离子，由静止经加速电压U加速后在纸面内水平向右运动，自M点垂直于磁场边界射入匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场左边界竖直。已知甲种离子射入磁场的速度大小为v1，并在磁场边界的N点射出；乙种离子在MN的中点射出；MN长为l。不计重力影响和离子间的相互作用。求：
（1）磁场的磁感应强度大小；
（2）甲、乙两种离子的比荷之比。
【答案】（1）；（2）1∶4
【解析】
（1）设甲种离子所带电荷量为q1、质量为m1，在磁场中做匀速圆周运动的半径为R1，磁场的磁感应强度大小为B，由动能定理有
由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有
由几何关系知
解得，磁场的磁感应强度大小为
（2）设乙种离子所带电荷量为q2、质量为m2，射入磁场的速度为v2，在磁场中做匀速圆周运动的半径为R2.同理有
，
由几何关系知
解得，甲、乙两种离子的比荷之比为
【突破练习】
1.（2022·天津市实验中学高三下学期第三次阶段测试）如图所示，高h=0.8m的绝缘水平桌面上方的区域Ⅰ中存在匀强电场，场强E的方向与区域的某一边界平行，区域Ⅱ中存在垂直于纸面的匀强磁场B。现有一质量m=0.01kg，带电荷量q=+10-5C的小球从A点以v0=4m/s的初速度水平向右运动，匀速通过区域Ⅱ后落在水平地面上的B点，已知小球与水平桌面间的动摩擦因数，L=1m，h=0.8m，x=0.8m，取g=10m/s2。试求：
（1）小球在区域Ⅱ中的速度；
（2）区域Ⅱ中磁感应强度B的大小及方向；
（3）区域Ⅰ中电场强度E的大小及方向。
【答案】（1）2m/s；（2），垂直纸面向里；（3）①，水平向左，②，竖直向下
【解析】
(1)小球离开磁场后做平抛运动，设小球在磁场中匀速运动的速度为v，据位移公式有
联立解得
(2)由于小球在磁场中匀速运动，只能受重力和洛仑兹力作用，故满足
解得
根据左手定则可判断磁感应强度B的方向垂直纸面向里。
(3)由于v解得
故电场方向有两种可能：
①电场方向水平向左，由动能定理可得
解得
②电场方向竖直向下，由动能定理可得
解得
2.（2022·重庆市普通高中高三下学期二模）如图所示，直角坐标系xOy处于垂直坐标平面向里的磁场中，y<0区域匀强磁场的磁感应强度大小为B，y>0区域匀强磁场的磁感应强度大小为2B。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从坐标原点O沿y轴正方向以速度v运动，不计粒子重力。求：
（1）粒子从O点出发第一次到达x轴所经过的时间；
（2）粒子第一次到达y轴的位置到O点的距离。
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）设粒子在区域做匀速圆周运动的半径为r，则有
解得
粒子从O点出发第一次到达x轴所经过的时间为
联立解得
（2）设粒子在区域做匀速圆周运动的半径为R，有
解得
则有
则可知粒子第一次到达y轴的位置到O点的距离为。
3.（2022·浙江杭州市高三下学期二模）某种质谱仪由偏转电场和偏转磁场组成，其示意图如图所示，整个装置处于真空中。偏转电场的极板水平放置，极板长度和间距均为。在偏转电场右侧适当位置有一夹角为的足够大扇形区域，区域内分布着方向垂直于纸面的匀强磁场，区域的边与偏转极板中心轴线垂直，扇形圆心点与轴线的距离为d。现有大量正离子（单个离子质量为、电荷量为）连续不断地以速度沿轴线射入偏转电场。当偏转电压为0时，离子均能垂直扇形区域的边射出磁场；若在两极板间加峰值为的正弦式电压，则所有离子经过磁场偏转后都能经过磁场外同一点（图中末画出）。若仅考虑极板间的电场，离子在电场中运动的时间远小于两极板间所加交变电压的周期，不计离子的重力和离子间的相互作用，求：（可能用到的数学公式：）
（1）偏转磁场的磁感应强度；
（2）离子在通过偏转电场的过程中动量变化量的最大值；
（3）离子在偏转磁场中运动的最长时间与最短时间的差值；
（4）扇形区域的边与极板右端的距离。
【答案】（1），方向垂直纸面向外；（2）；（3）；（4）
【解析】
（1）不加偏转电压时，离子束能垂直磁场的边界出磁场，所以硑场中离子做圆周运动的半径为
又
所以
方向垂直纸面向外；
（2）当偏转电压最大时，动量变化量最大为
离子在电场中的偏转过程有
（其中）
解得
，
（3）如图，进入磁场的离子速度方向反向延长都汇于，最后该束粒子都能汇聚于一点，故离子在磁场中的圆周运动圆心均在的角平分线上。
离子在磁场中的运动周期与离子的速度无关，所以
当偏转电压正向最大时，圆周运动轨迹为，所对应圆心角最大，大小为：，运动的时间为
当偏转电压负向最大时，圆周运动轨迹为，所对应圆心角最小，大小为：，运动时间为
由（1）解可知
可得
以上式子联立可得
（4）设边与极板右端的距离为x，由离子在电场中偏转可求得
在磁场中做圆周运动时有
其中
解得
在中，根据正弦定理知
联立方程组解得扇形区域的边与极板右端的距离为
4.（2022·四川德阳市高三下学期二模）为了研究行星的磁场对宇宙高能粒子及行星生态环境的作用，研究小组建立了以下模型，如图所示，在圆心为O1半径为R的接地的金属圆柱外，有一个匀强磁场均匀的分布在半径为R、2R的两边界1、II之间的圆环区域内，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B（未知）．在磁场左侧有一长为4R的带状粒子源，中点为O2，可以放出速度大小为v。、方向平行O1O2连线的带正电粒子，带电粒子沿线均匀分布，每单位时间放出的粒子数为n0已知带电粒子的比荷为，不计重力及任何阻力。求：
（1）若从O2点放出的粒子，恰好能被金属圆柱接收到，则磁感应强度B的大小；
（2）若，则圆柱在单位时间内接收到的粒子数n1；
（3）若某粒子在磁场中轨迹恰好与金属圆柱内切时，则该粒子进入磁场的位置与O1O2连线间的距离。
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
（1）设点放出的粒子在磁场中做圆周运动的半径为r1，轨迹如图所示
轨迹刚好与圆柱相切，由勾股定理得
得
因此由
得
（2）当，根据
粒子运动半径
由几何关系知，刚好与圆柱相切的粒子的轨迹圆的圆心在边界Ⅱ上粒子入射的位置在连线以下处，而且沿最下方与磁场相切进入的粒子容易被圆柱接收到，故粒子入射的位置在连线以下处，圆柱在单位时间内接收到的粒子数
（3）在时，根据
粒子的轨迹圆半径为
粒子的轨迹圆与圆柱体内切，如图所示
是一个两邻边为的等腰三角形，其面积
由图可知
解得
对
粒子进人磁场的位置与0102连线间的距离。
5.（2022·河北石家庄市高三下学期二模）如图，两根间距为d的光滑平行导轨处于同一水平面内，同种材料制成的长度均为d，质量分别为2m、m的金属棒a、b静止在导轨上，金属棒b刚好处在方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场的左边界处。现使金属棒a以速度向右运动，两金属棒发生弹性碰撞后进入磁场区域，经过一段时间后，两金属棒的运动状态达到稳定，此时对金属棒b施加水平向右的恒力F，又经过时间t，两金属棒中的电流刚好达到最大值且之后保持恒定。已知金属棒a的电阻为R，两棒碰撞时间极短，两棒始终与导轨垂直且接触良好，不计金属导轨的电阻。求：
（1）金属棒a刚进入磁场瞬间回路中电流的大小；
（2）从两棒碰撞结束到施加力F之前的过程中，金属棒b上产生的焦耳热；
（3）施加力F后金属棒中的电流刚好达到最大值时，金属棒b的速度大小。
【答案】（1）；（2）；（3）或
【解析】
（1）由动量守恒定律可知
根据能量守恒定律可知
解得
根据法拉第电磁感应定律可得
依题意可得两棒材料相同，质量关系2:1，长度相等，则截面积之比2:1,则电阻之比1:2,则金属棒b的电阻为2R，由闭合电路的欧姆定律可知
解得
（2）金属棒ab在磁场中运动时，由动量守恒定律
解得
由能量守恒定律可知
解得
（3）当金属棒中的电流刚好达到恒定值时两棒具有相同的加速度，对b棒
对a棒
根据法拉第电磁感应定律
由闭合电路的欧姆定律可知
对金属棒b由动量定理
对金属棒a由动量定理
解得
或者
6.（2022·福建福州市高三下学期三月质检）如图所示，在相距为h的两水平虚线之间存在磁感应强度为B、方向垂直竖直平面向里的匀强磁场，在该竖直平面内有一质量m、电阻为R的正方形线框abcd。现用竖直向上的恒力向上提线框，从位置I静止开始向上运动一段距离，匀速穿过整个磁场区域；到达位置II（此时ab边与磁场上边界重合）时，撤去向上恒力，然后线框继续向上运动一段时间后落回，又匀速穿过整个磁场。线框运动过程中，cd边始终与磁场上下边界平行，不计空气阻力，重力加速度为g。求：
（1）ab边向下进入磁场时，线框中电流方向和线框速度大小v；
（2）在I位置时cd边离磁场下边界的距离H。
【答案】（1）逆时针方向，；（2）
【解析】
（1）ab边向下进入磁场时,由楞次定律线框中电流方向为逆时针方向，即a→b→c→d→a
线框匀速进入磁场。
设：线框中电流为I电动势为E.线框边长为L由平衡条件
由法拉第电磁感应定律
由闭合电路欧姆定律
正方形线框从进入磁场、在磁场中和出磁场的整个过程均做匀速直线运动。说明整个过程受到安培力作用，可得正方形线框边长
联立解得
（2）线框出磁场上边界后做竖直上抛运动，由竖直上抛运动规律得线框向上出磁场速度与线框向下进入磁场速度大小均为v，依题意得线框上下穿过整个磁场过程中速度大小也为v，线框从下方进入磁场时，平衡条件
线框从1位置开始运动到刚要进入磁场过程，动能定理
由上述方程解得
近5年考情分析
考点要求
等级要求
考题统计
2022
2021
2020
2019
2018
带电粒子在电场运动
Ⅱ
Ⅰ卷·T25
Ⅱ卷·T24
带电粒子在磁场运动
Ⅱ
甲卷·T25
Ⅱ卷·T24
Ⅰ卷·T24
带电粒子在复合场运动
Ⅱ
甲卷·T25
Ⅰ卷·T25
Ⅱ卷·T25
Ⅲ卷·T24
电磁感应
Ⅱ
乙卷·T24
乙卷·T25
Ⅲ卷·T24
力的特点
功和能的特点
重力场
大小：G＝mg
方向：竖直向下
重力做功与路径无关
重力做功改变物体的重力势能
电场
大小：F＝qE
方向：正电荷受力方向与场强方向相同，负电荷受力方向与场强方向相反
电场力做功与路径无关，W＝qU＝qEd
电场力做功改变电势能
磁场
大小：F＝qvB（v⊥B）
方向：可用左手定则判断
洛伦兹力不做功，不改变带电粒子的动能
动力学观点
通常情况下一个金属杆做加速度逐渐减小的加速运动，而另一个金属杆做加速度逐渐减小的减速运动，最终两金属杆以共同的速度匀速运动
能量观点
其中一个金属杆机械能的减少量等于另一个金属杆机械能的增加量与回路中产生的焦耳热之和
动量观点
对于两导体棒在平直的光滑导轨上运动的情况，如果两棒所受的外力之和为零，则考虑应用动量守恒定律处理问题
由BIL·Δt=m·Δv、q=I·Δt可知，当题目中涉及电荷量或平均电流时，可应用动量定理来解决问题
【考纲定位】
【知识重现】
知识点一：带电粒子在电场中的运动
1．带电粒子（体）在电场中的加速
（1）匀强电场中，v0与E平行时，优先用功能关系求解，若不行，则用牛顿第二定律和运动学公式；
（2）非匀强电场中，只能用功能关系求解；
2．带电粒子（体）在匀强电场中的偏转（v0垂直于E的方向），如图所示
处理方法：应用运动的合成与分解；
（1）沿初速度方向做匀速直线运动，离开电场时，运动时间：t＝；
（2）沿电场方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度：a＝＝＝；
（3）离开电场时的偏移量：y＝at2＝；
（4）速度偏向角：tanφ＝＝；tanφ＝；
位移偏向角：tanθ＝＝；tanθ＝
3.带电粒子（体）在电场中运动问题的分析思路
（1）首先分析带电粒子（体）的运动规律，确定带电粒子（体）在电场中做直线运动还是曲线运动；
（2）当带电粒子（体）从一个电场区域进入另一个电场区域时，要注意分析带电粒子（体）运动规律的变化及两区域电场交界处的有关联的物理量，这些关联量往往是解决问题的突破口；
知识点二：带电粒子在磁场中的运动
1.带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的思想方法和理论依据：一般说来，要把握好“一找圆心，二定半径，三画轨迹，四求时间”的分析方法。在具体问题中，要依据题目条件和情景而定。解题的理论依据主要是由牛顿第二定律列式：qvB＝m，求半径r＝及运动周期T＝＝；
2.常用解题知识
（1）几何知识：三角函数、勾股定理、偏向角与圆心角关系。根据几何知识可以由已知长度、角度计算粒子运动的轨迹半径，或根据粒子运动的轨迹半径计算未知长度、角度。
（2）半径公式、周期公式：R＝、T＝。根据两个公式可由q、m、v、B计算粒子运动的半径、周期，也可根据粒子运动的半径或周期计算磁感应强度、粒子的电荷量、质量等。
（3）运动时间计算式：计算粒子的运动时间或已知粒子的运动时间计算圆心角或周期时，常用到t＝T。
知识点三：带电粒子在组合场中运动的解题思路
带电粒子在电场和磁场组合场中运动，实际上是将粒子在电场中的加速和偏转，与在磁场中偏转两种运动有效组合在一起，有效区别电偏转和磁偏转，寻找两种运动的联系和几何关系是解题的关键。当带电粒子连续通过几个不同的场区时，粒子的受力情况和运动情况也发生相应的变化，其运动过程则由几种不同的运动阶段组成。
知识点四：带电粒子在叠加场的运动
1．三种场的比较
2．“三步”解决问题
知识点五：电磁感应现象中的综合问题
1.电磁感应中动力学问题的分析思路
抓住力学对象和电学对象间的桥梁——感应电流I、切割速度v，“四步法”分析电磁感应中的动力学问题。
2.解决电磁感应中的能量问题的一般步骤
（1）确定研究对象（导体棒或回路）。
（2）弄清电磁感应过程中，哪些力做功，哪些形式的能量相互转化。
（3）根据功能关系或能量守恒定律列式求解。在利用能量守恒定律解决电磁感应问题时，要注意分析安培力做功的情况，因为安培力做功是电能和其他形式的能之间相互转化的“桥梁”。
3.用“三大观点”解决电磁感应相关问题的对比。
【真题汇编】
1. （2022·全国甲卷·T25）光点式检流计是一种可以测量微小电流的仪器，其简化的工作原理示意图如图所示。图中A为轻质绝缘弹簧，C为位于纸面上的线圈，虚线框内有与纸面垂直的匀强磁场；M为置于平台上的轻质小平面反射镜，轻质刚性细杆D的一端与M固连且与镜面垂直、另一端与弹簧下端相连，为圆弧形的、带有均匀刻度的透明读数条，的圆心位于M的中心。使用前需调零:使线圈内没有电流通过时，M竖直且与纸面垂直；入射细光束沿水平方向经上的O点射到M上后沿原路反射。线圈通入电流后弹簧长度改变，使M发生倾斜，入射光束在M上的入射点仍近似处于的圆心，通过读取反射光射到上的位置，可以测得电流的大小。已知弹簧的劲度系数为k，磁场磁感应强度大小为B，线圈C的匝数为N。沿水平方向的长度为l，细杆D的长度为d，圆弧的半径为r﹐，d远大于弹簧长度改变量的绝对值。
（1）若在线圈中通入的微小电流为I，求平衡后弹簧长度改变量的绝对值及上反射光点与O点间的弧长s；
（2）某同学用此装置测一微小电流，测量前未调零，将电流通入线圈后，上反射光点出现在O点上方，与O点间的弧长为、保持其它条件不变，只将该电流反向接入，则反射光点出现在О点下方，与O点间的弧长为。求待测电流的大小。
【答案】（1），；（2）
【解析】
（1）由题意当线圈中通入微小电流I时，线圈中的安培力为
F = NBIl
根据胡克定律有
F = NBIl = k│x│
如图所示
设此时细杆转过的弧度为θ，则可知反射光线转过的弧度为2θ，又因为
d >> x，r >> d
则
sinθ ≈ θ，sin2θ ≈ 2θ
所以有
x = dθ
s = r2θ
联立可得
（2）因为测量前未调零，设没有通电流时偏移的弧长为s′，当初始时反射光点在O点上方，通电流I′后根据前面的结论可知有
当电流反向后有
联立可得
同理可得初始时反射光点在O点下方结果也相同，故待测电流的大小为
2. （2022·全国乙卷·T24）如图，一不可伸长的细绳的上端固定，下端系在边长为的正方形金属框的一个顶点上。金属框的一条对角线水平，其下方有方向垂直于金属框所在平面的匀强磁场。已知构成金属框的导线单位长度的阻值为；在到时间内，磁感应强度大小随时间t的变化关系为。求:
（1）时金属框所受安培力的大小；
（2）在到时间内金属框产生的焦耳热。
【答案】（1）；（2）0.016J
【解析】
（1）金属框的总电阻为
金属框中产生的感应电动势为
金属框中的电流为
t=2.0s时磁感应强度为
金属框处于磁场中的有效长度为
此时金属框所受安培力大小为
（2）内金属框产生的焦耳热为
3. （2021·全国甲卷·T25）如图，长度均为l的两块挡板竖直相对放置，间距也为l，两挡板上边缘P和M处于同一水平线上，在该水平线的上方区域有方向竖直向下的匀强电场，电场强度大小为E；两挡板间有垂直纸面向外、磁感应强度大小可调节的匀强磁场。一质量为m，电荷量为q（q>0）的粒子自电场中某处以大小为v0的速度水平向右发射，恰好从P点处射入磁场，从两挡板下边缘Q和N之间射出磁场，运动过程中粒子未与挡板碰撞。已知粒子射入磁场时的速度方向与PQ的夹角为60°，不计重力。
（1）求粒子发射位置到P点的距离；
（2）求磁感应强度大小的取值范围；
（3）若粒子正好从QN的中点射出磁场，求粒子在磁场中的轨迹与挡板MN的最近距离。
【答案】（1） ；（2） ；（3）粒子运动轨迹见解析，
【解析】
（1）带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，由类平抛运动规律可知
①
②
粒子射入磁场时的速度方向与PQ的夹角为60°，有
③
粒子发射位置到P点的距离
④
由①②③④式得
⑤
（2）带电粒子在磁场运动在速度
⑥
带电粒子在磁场中运动两个临界轨迹（分别从Q、N点射出）如图所示
由几何关系可知，最小半径
⑦
最大半径
⑧
带电粒子在磁场中做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，由向心力公式可知
⑨
由⑥⑦⑧⑨解得，磁感应强度大小的取值范围
（3）若粒子正好从QN的中点射出磁场时，带电粒子运动轨迹如图所示。
由几何关系可知
⑩
带电粒子的运动半径为
⑪
粒子在磁场中的轨迹与挡板MN的最近距离
⑫
由⑩⑪⑫式解得
⑬
4. （2021·全国乙卷·T25）如图，一倾角为的光滑固定斜面的顶端放有质量的U型导体框，导体框的电阻忽略不计；一电阻的金属棒的两端置于导体框上，与导体框构成矩形回路；与斜面底边平行，长度。初始时与相距，金属棒与导体框同时由静止开始下滑，金属棒下滑距离后进入一方向垂直于斜面的匀强磁场区域，磁场边界（图中虚线）与斜面底边平行；金属棒在磁场中做匀速运动，直至离开磁场区域。当金属棒离开磁场的瞬间，导体框的边正好进入磁场，并在匀速运动一段距离后开始加速。已知金属棒与导体框之间始终接触良好，磁场的磁感应强度大小，重力加速度大小取。求：
（1）金属棒在磁场中运动时所受安培力的大小；
（2）金属棒的质量以及金属棒与导体框之间的动摩擦因数；
（3）导体框匀速运动的距离。
【答案】（1）；（2），；（3）
【解析】
（1）根据题意可得金属棒和导体框在没有进入磁场时一起做匀加速直线运动，由动能定理可得
代入数据解得
金属棒在磁场中切割磁场产生感应电动势，由法拉第电磁感应定律可得
由闭合回路的欧姆定律可得
则导体棒刚进入磁场时受到的安培力为
（2）金属棒进入磁场以后因为瞬间受到安培力的作用，根据楞次定律可知金属棒的安培力沿斜面向上，之后金属棒相对导体框向上运动，因此金属棒受到导体框给的沿斜面向下的滑动摩擦力，因匀速运动，可有
此时导体框向下做匀加速运动，根据牛顿第二定律可得
设磁场区域的宽度为x，则金属棒在磁场中运动的时间为
则此时导体框的速度为
则导体框的位移
因此导体框和金属棒的相对位移为
由题意当金属棒离开磁场时金属框的上端EF刚好进入线框，则有位移关系
金属框进入磁场时匀速运动，此时的电动势为
，
导体框受到向上的安培力和滑动摩擦力，因此可得
联立以上可得
，，，
（3）金属棒出磁场以后，速度小于导体框的速度，因此受到向下的摩擦力，做加速运动，则有
金属棒向下加速，导体框匀速，当共速时导体框不再匀速，则有
导体框匀速运动的距离为
代入数据解得
5. （2020·全国Ⅰ卷·T25）在一柱形区域内有匀强电场，柱的横截面积是以O为圆心，半径为R的圆，AB为圆的直径，如图所示。质量为m，电荷量为q（q>0）的带电粒子在纸面内自A点先后以不同的速度进入电场，速度方向与电场的方向垂直。已知刚进入电场时速度为零的粒子，自圆周上的C点以速率v0穿出电场，AC与AB的夹角θ=60°。运动中粒子仅受电场力作用。
（1）求电场强度的大小；
（2）为使粒子穿过电场后的动能增量最大，该粒子进入电场时的速度应为多大？
（3）为使粒子穿过电场前后动量变化量的大小为mv0，该粒子进入电场时的速度应为多大？
【答案】(1) ；(2)；(3)0或
【解析】
（1）由题意知在A点速度为零的粒子会沿着电场线方向运动，由于q>0，故电场线由A指向C，根据几何关系可知：
所以根据动能定理有：
解得：
；
（2）根据题意可知要使粒子动能增量最大则沿电场线方向移动距离最多，做AC垂线并且与圆相切，切点为D，即粒子要从D点射出时沿电场线方向移动距离最多，粒子在电场中做类平抛运动，根据几何关系有
而电场力提供加速度有
联立各式解得粒子进入电场时的速度：
；
（3）因为粒子在电场中做类平抛运动，粒子穿过电场前后动量变化量大小为mv0，即在电场方向上速度变化为v0 ，过C点做AC垂线会与圆周交于B点，故由题意可知粒子会从C点或B点射出。当从B点射出时由几何关系有
电场力提供加速度有
联立解得；当粒子从C点射出时初速度为0。
另解：
由题意知，初速度为0时，动量增量的大小为，此即问题的一个解。自A点以不同的速率垂直于电场方向射入电场的粒子，动量变化都相同，自B点射出电场的粒子，其动量变化量也恒为，由几何关系及运动学规律可得，此时入射速率为
6. （2020·全国Ⅱ卷·T24）如图，在0≤x≤h，区域中存在方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度B的大小可调，方向不变。一质量为m，电荷量为q（q>0）的粒子以速度v0从磁场区域左侧沿x轴进入磁场，不计重力。
（1）若粒子经磁场偏转后穿过y轴正半轴离开磁场，分析说明磁场的方向，并求在这种情况下磁感应强度的最小值Bm；
（2）如果磁感应强度大小为，粒子将通过虚线所示边界上的一点离开磁场。求粒子在该点的运动方向与x轴正方向的夹角及该点到x轴的距离。
【答案】（1）磁场方向垂直于纸面向里；；（2）；
【解析】
（1）由题意，粒子刚进入磁场时应受到方向向上的洛伦兹力，因此磁场方向垂直于纸面向里。设粒子进入磁场中做圆周运动的半径为R，根据洛伦兹力公式和圆周运动规律，有
①
由此可得
②
粒子穿过y轴正半轴离开磁场，其在磁场中做圆周运动的圆心在y轴正半轴上，半径应满足
③
由②可得，当磁感应强度大小最小时，设为Bm，粒子的运动半径最大，由此得
④
（2）若磁感应强度大小为，粒子做圆周运动的圆心仍在y轴正半轴上，由②④式可得，此时圆弧半径为
⑤
粒子会穿过图中P点离开磁场，运动轨迹如图所示。设粒子在P点的运动方向与x轴正方向的夹角为α，
由几何关系
⑥
即⑦
由几何关系可得，P点与x轴的距离为
⑧
联立⑦⑧式得
⑨
7. （2020·全国Ⅲ卷·T24）如图，一边长为l0的正方形金属框abcd固定在水平面内，空间存在方向垂直于水平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一长度大于的均匀导体棒以速率v自左向右在金属框上匀速滑过，滑动过程中导体棒始终与ac垂直且中点位于ac上，导体棒与金属框接触良好。已知导体棒单位长度的电阻为r，金属框电阻可忽略。将导体棒与a点之间的距离记为x，求导体棒所受安培力的大小随x（）变化的关系式。
【答案】
【解析】
当导体棒与金属框接触的两点间棒的长度为l时，由法第电磁感应定律可知导体棒上感应电动势的大小为
由欧姆定律可知流过导体棒的感应电流为
式中R为这一段导体棒的电阻。按题意有
此时导体棒所受安培力大小为
由题设和几何关系有
联立各式得
8. （2019·全国Ⅰ卷·T24）如图，在直角三角形OPN区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外．一带正电的粒子从静止开始经电压U加速后，沿平行于x轴的方向射入磁场；一段时间后，该粒子在OP边上某点以垂直于x轴的方向射出．已知O点为坐标原点，N点在y轴上，OP与x轴的夹角为30°，粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为d，不计重力．求
（1）带电粒子的比荷；
（2）带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间．
【答案】（1） （2）
【解析】
（1）粒子从静止被加速的过程，根据动能定理得：，解得：
根据题意，下图为粒子的运动轨迹，由几何关系可知，该粒子在磁场中运动的轨迹半径为：
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，即：
联立方程得：
（2）根据题意，粒子在磁场中运动的轨迹为四分之一圆周，长度
粒子射出磁场后到运动至轴，运动的轨迹长度
粒子从射入磁场到运动至轴过程中，一直匀速率运动，则
解得：
或
9.（2019·全国Ⅱ卷·T24）如图，两金属板P、Q水平放置，间距为d。两金属板正中间有一水平放置的金属网G，PQG的尺寸相同。G接地，P、Q的电势均为（>0）。质量为m，电荷量为q（q>0）的粒子自G的左端上方距离G为h的位置，以速度v0平行于纸面水平射入电场，重力忽略不计。
（1）求粒子第一次穿过G时的动能，以及它从射入电场至此时在水平方向上的位移大小；
（2）若粒子恰好从G的下方距离G也为h的位置离开电场，则金属板的长度最短应为多少？
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）PG、QG间场强大小相等，均为E，粒子在PG间所受电场力F的方向竖直向下，设粒子的加速度大小为a，有
①
F=qE=ma②
设粒子第一次到达G时动能为Ek，由动能定理有
③
设粒子第一次到达G时所用时间为t，粒子在水平方向的位移为l，则有
④
l=v0t⑤
联立①②③④⑤式解得
⑥
⑦
（2）设粒子穿过G一次就从电场的右侧飞出，则金属板的长度最短，由对称性知，此时金属板的长度L为⑧
10.（2018·全国Ⅰ卷·T25）如图，在y>0的区域存在方向沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E，在y<0的区域存在方向垂直于xOy平面向外的匀强磁场．一个氕核11H和一个氘核21H先后从y轴上y=h点以相同的动能射出，速度方向沿x轴正方向．已知11H进入磁场时，速度方向与x轴正方向的夹角为60°，并从坐标原点O处第一次射出磁场．11H的质量为m，电荷量为q不计重力．求
（1）11H第一次进入磁场的位置到原点O的距离
（2）磁场的磁感应强度大小
（3）12H第一次离开磁场的位置到原点O的距离
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
（1）在电场中做类平抛运动，在磁场中做圆周运动，运动轨迹如图所示．设在电场中的加速度大小为，初速度大小为，它在电场中的运动时间为，第一次进入磁场的位置到原点Ｏ的距离为．由运动学公式有
①
②
由题给条件，进入磁场时速度的方向与x轴正方向夹角．进入磁场时速度的y分量的大小为
③
联立以上各式得
④
（2）在电场中运动时，由牛顿第二定律有
⑤
设进入磁场时速度的大小为，由速度合成法则有
⑥
设磁感应强度大小为B，在磁场中运动的圆轨道半径为，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有
⑦
由几何关系得
⑧
联立以上各式得
⑨
（3）设在电场中沿x轴正方向射出的速度大小为，在电场中的加速度大小为，由题给条件得
⑩
由牛顿第二定律有
⑪
设第一次射入磁场时的速度大小为，速度的方向与x轴正方向夹角为，入射点到原点的距离为，在电场中运动的时间为．由运动学公式有
⑫
⑬
⑭
⑮
联立以上各式得
，， ⑯
设在磁场中做圆周运动的半径为，由⑦⑯式及粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径公式得
⑰
所以出射点在原点左侧．设进入磁场的入射点到第一次离开磁场的出射点的距离为，由几何关系有
⑱
联立④⑧⑯⑰⑱式得，第一次离开磁场时的位置到原点O的距离为
⑲
11.（2018·全国Ⅱ卷·T25）一足够长的条状区域内存在匀强电场和匀强磁场，其在xOy平面内的截面如图所示：中间是磁场区域，其边界与y轴垂直，宽度为l，磁感应强度的大小为B，方向垂直于xOy平面；磁场的上、下两侧为电场区域，宽度均为l´，电场强度的大小均为E，方向均沿x轴正方向；M、N为条状区域边界上的两点，它们的连线与y轴平行，一带正电的粒子以某一速度从M点沿y轴正方向射入电场，经过一段时间后恰好以从M点入射的速度从N点沿y轴正方向射出，不计重力。
（1）定性画出该粒子在电磁场中运动的轨迹；
（2）求该粒子从M点入射时速度的大小；
（3）若该粒子进入磁场时的速度方向恰好与x轴正方向的夹角为，求该粒子的比荷及其从M点运动到N点的时间。
【答案】（1）轨迹如图所示：
（2）
（3）；
【解析】
（1）粒子运动的轨迹如图所示。（粒子在电场中的轨迹为抛物线，在磁场中为圆弧，上下对称）
（2）粒子从电场下边界入射后在电场中做类平抛运动。设粒子从M点射入时速度的大小为v0，在下侧电场中运动的时间为t，加速度的大小为a；粒子进入磁场的速度大小为v，方向与电场方向的夹角为如图所示，速度沿电场方向的分量为v1，根据牛顿第二定律有
式中q和m分别为粒子的电荷量和质量，由运动学公式有
粒子在磁场中做匀速圆周运动，设其运动轨道半径为R，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得
由几何关系得
联立以上公式可得
（3）由运动学公式和题给数据得
联立得
设粒子由M点运动到N点所用的时间为，则
式中T是粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期
则从M点运动到N点的时间
12.（2018·全国Ⅲ卷·T24）如图，从离子源产生的甲、乙两种离子，由静止经加速电压U加速后在纸面内水平向右运动，自M点垂直于磁场边界射入匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场左边界竖直。已知甲种离子射入磁场的速度大小为v1，并在磁场边界的N点射出；乙种离子在MN的中点射出；MN长为l。不计重力影响和离子间的相互作用。求：
（1）磁场的磁感应强度大小；
（2）甲、乙两种离子的比荷之比。
【答案】（1）；（2）1∶4
【解析】
（1）设甲种离子所带电荷量为q1、质量为m1，在磁场中做匀速圆周运动的半径为R1，磁场的磁感应强度大小为B，由动能定理有
由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有
由几何关系知
解得，磁场的磁感应强度大小为
（2）设乙种离子所带电荷量为q2、质量为m2，射入磁场的速度为v2，在磁场中做匀速圆周运动的半径为R2.同理有
，
由几何关系知
解得，甲、乙两种离子的比荷之比为
【突破练习】
1.（2022·天津市实验中学高三下学期第三次阶段测试）如图所示，高h=0.8m的绝缘水平桌面上方的区域Ⅰ中存在匀强电场，场强E的方向与区域的某一边界平行，区域Ⅱ中存在垂直于纸面的匀强磁场B。现有一质量m=0.01kg，带电荷量q=+10-5C的小球从A点以v0=4m/s的初速度水平向右运动，匀速通过区域Ⅱ后落在水平地面上的B点，已知小球与水平桌面间的动摩擦因数，L=1m，h=0.8m，x=0.8m，取g=10m/s2。试求：
（1）小球在区域Ⅱ中的速度；
（2）区域Ⅱ中磁感应强度B的大小及方向；
（3）区域Ⅰ中电场强度E的大小及方向。
【答案】（1）2m/s；（2），垂直纸面向里；（3）①，水平向左，②，竖直向下
【解析】
(1)小球离开磁场后做平抛运动，设小球在磁场中匀速运动的速度为v，据位移公式有
联立解得
(2)由于小球在磁场中匀速运动，只能受重力和洛仑兹力作用，故满足
解得
根据左手定则可判断磁感应强度B的方向垂直纸面向里。
(3)由于v
故电场方向有两种可能：
①电场方向水平向左，由动能定理可得
解得
②电场方向竖直向下，由动能定理可得
解得
2.（2022·重庆市普通高中高三下学期二模）如图所示，直角坐标系xOy处于垂直坐标平面向里的磁场中，y<0区域匀强磁场的磁感应强度大小为B，y>0区域匀强磁场的磁感应强度大小为2B。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从坐标原点O沿y轴正方向以速度v运动，不计粒子重力。求：
（1）粒子从O点出发第一次到达x轴所经过的时间；
（2）粒子第一次到达y轴的位置到O点的距离。
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）设粒子在区域做匀速圆周运动的半径为r，则有
解得
粒子从O点出发第一次到达x轴所经过的时间为
联立解得
（2）设粒子在区域做匀速圆周运动的半径为R，有
解得
则有
则可知粒子第一次到达y轴的位置到O点的距离为。
3.（2022·浙江杭州市高三下学期二模）某种质谱仪由偏转电场和偏转磁场组成，其示意图如图所示，整个装置处于真空中。偏转电场的极板水平放置，极板长度和间距均为。在偏转电场右侧适当位置有一夹角为的足够大扇形区域，区域内分布着方向垂直于纸面的匀强磁场，区域的边与偏转极板中心轴线垂直，扇形圆心点与轴线的距离为d。现有大量正离子（单个离子质量为、电荷量为）连续不断地以速度沿轴线射入偏转电场。当偏转电压为0时，离子均能垂直扇形区域的边射出磁场；若在两极板间加峰值为的正弦式电压，则所有离子经过磁场偏转后都能经过磁场外同一点（图中末画出）。若仅考虑极板间的电场，离子在电场中运动的时间远小于两极板间所加交变电压的周期，不计离子的重力和离子间的相互作用，求：（可能用到的数学公式：）
（1）偏转磁场的磁感应强度；
（2）离子在通过偏转电场的过程中动量变化量的最大值；
（3）离子在偏转磁场中运动的最长时间与最短时间的差值；
（4）扇形区域的边与极板右端的距离。
【答案】（1），方向垂直纸面向外；（2）；（3）；（4）
【解析】
（1）不加偏转电压时，离子束能垂直磁场的边界出磁场，所以硑场中离子做圆周运动的半径为
又
所以
方向垂直纸面向外；
（2）当偏转电压最大时，动量变化量最大为
离子在电场中的偏转过程有
（其中）
解得
，
（3）如图，进入磁场的离子速度方向反向延长都汇于，最后该束粒子都能汇聚于一点，故离子在磁场中的圆周运动圆心均在的角平分线上。
离子在磁场中的运动周期与离子的速度无关，所以
当偏转电压正向最大时，圆周运动轨迹为，所对应圆心角最大，大小为：，运动的时间为
当偏转电压负向最大时，圆周运动轨迹为，所对应圆心角最小，大小为：，运动时间为
由（1）解可知
可得
以上式子联立可得
（4）设边与极板右端的距离为x，由离子在电场中偏转可求得
在磁场中做圆周运动时有
其中
解得
在中，根据正弦定理知
联立方程组解得扇形区域的边与极板右端的距离为
4.（2022·四川德阳市高三下学期二模）为了研究行星的磁场对宇宙高能粒子及行星生态环境的作用，研究小组建立了以下模型，如图所示，在圆心为O1半径为R的接地的金属圆柱外，有一个匀强磁场均匀的分布在半径为R、2R的两边界1、II之间的圆环区域内，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B（未知）．在磁场左侧有一长为4R的带状粒子源，中点为O2，可以放出速度大小为v。、方向平行O1O2连线的带正电粒子，带电粒子沿线均匀分布，每单位时间放出的粒子数为n0已知带电粒子的比荷为，不计重力及任何阻力。求：
（1）若从O2点放出的粒子，恰好能被金属圆柱接收到，则磁感应强度B的大小；
（2）若，则圆柱在单位时间内接收到的粒子数n1；
（3）若某粒子在磁场中轨迹恰好与金属圆柱内切时，则该粒子进入磁场的位置与O1O2连线间的距离。
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
（1）设点放出的粒子在磁场中做圆周运动的半径为r1，轨迹如图所示
轨迹刚好与圆柱相切，由勾股定理得
得
因此由
得
（2）当，根据
粒子运动半径
由几何关系知，刚好与圆柱相切的粒子的轨迹圆的圆心在边界Ⅱ上粒子入射的位置在连线以下处，而且沿最下方与磁场相切进入的粒子容易被圆柱接收到，故粒子入射的位置在连线以下处，圆柱在单位时间内接收到的粒子数
（3）在时，根据
粒子的轨迹圆半径为
粒子的轨迹圆与圆柱体内切，如图所示
是一个两邻边为的等腰三角形，其面积
由图可知
解得
对
粒子进人磁场的位置与0102连线间的距离。
5.（2022·河北石家庄市高三下学期二模）如图，两根间距为d的光滑平行导轨处于同一水平面内，同种材料制成的长度均为d，质量分别为2m、m的金属棒a、b静止在导轨上，金属棒b刚好处在方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场的左边界处。现使金属棒a以速度向右运动，两金属棒发生弹性碰撞后进入磁场区域，经过一段时间后，两金属棒的运动状态达到稳定，此时对金属棒b施加水平向右的恒力F，又经过时间t，两金属棒中的电流刚好达到最大值且之后保持恒定。已知金属棒a的电阻为R，两棒碰撞时间极短，两棒始终与导轨垂直且接触良好，不计金属导轨的电阻。求：
（1）金属棒a刚进入磁场瞬间回路中电流的大小；
（2）从两棒碰撞结束到施加力F之前的过程中，金属棒b上产生的焦耳热；
（3）施加力F后金属棒中的电流刚好达到最大值时，金属棒b的速度大小。
【答案】（1）；（2）；（3）或
【解析】
（1）由动量守恒定律可知
根据能量守恒定律可知
解得
根据法拉第电磁感应定律可得
依题意可得两棒材料相同，质量关系2:1，长度相等，则截面积之比2:1,则电阻之比1:2,则金属棒b的电阻为2R，由闭合电路的欧姆定律可知
解得
（2）金属棒ab在磁场中运动时，由动量守恒定律
解得
由能量守恒定律可知
解得
（3）当金属棒中的电流刚好达到恒定值时两棒具有相同的加速度，对b棒
对a棒
根据法拉第电磁感应定律
由闭合电路的欧姆定律可知
对金属棒b由动量定理
对金属棒a由动量定理
解得
或者
6.（2022·福建福州市高三下学期三月质检）如图所示，在相距为h的两水平虚线之间存在磁感应强度为B、方向垂直竖直平面向里的匀强磁场，在该竖直平面内有一质量m、电阻为R的正方形线框abcd。现用竖直向上的恒力向上提线框，从位置I静止开始向上运动一段距离，匀速穿过整个磁场区域；到达位置II（此时ab边与磁场上边界重合）时，撤去向上恒力，然后线框继续向上运动一段时间后落回，又匀速穿过整个磁场。线框运动过程中，cd边始终与磁场上下边界平行，不计空气阻力，重力加速度为g。求：
（1）ab边向下进入磁场时，线框中电流方向和线框速度大小v；
（2）在I位置时cd边离磁场下边界的距离H。
【答案】（1）逆时针方向，；（2）
【解析】
（1）ab边向下进入磁场时,由楞次定律线框中电流方向为逆时针方向，即a→b→c→d→a
线框匀速进入磁场。
设：线框中电流为I电动势为E.线框边长为L由平衡条件
由法拉第电磁感应定律
由闭合电路欧姆定律
正方形线框从进入磁场、在磁场中和出磁场的整个过程均做匀速直线运动。说明整个过程受到安培力作用，可得正方形线框边长
联立解得
（2）线框出磁场上边界后做竖直上抛运动，由竖直上抛运动规律得线框向上出磁场速度与线框向下进入磁场速度大小均为v，依题意得线框上下穿过整个磁场过程中速度大小也为v，线框从下方进入磁场时，平衡条件
线框从1位置开始运动到刚要进入磁场过程，动能定理
由上述方程解得
近5年考情分析
考点要求
等级要求
考题统计
2022
2021
2020
2019
2018
带电粒子在电场运动
Ⅱ
Ⅰ卷·T25
Ⅱ卷·T24
带电粒子在磁场运动
Ⅱ
甲卷·T25
Ⅱ卷·T24
Ⅰ卷·T24
带电粒子在复合场运动
Ⅱ
甲卷·T25
Ⅰ卷·T25
Ⅱ卷·T25
Ⅲ卷·T24
电磁感应
Ⅱ
乙卷·T24
乙卷·T25
Ⅲ卷·T24
力的特点
功和能的特点
重力场
大小：G＝mg
方向：竖直向下
重力做功与路径无关
重力做功改变物体的重力势能
电场
大小：F＝qE
方向：正电荷受力方向与场强方向相同，负电荷受力方向与场强方向相反
电场力做功与路径无关，W＝qU＝qEd
电场力做功改变电势能
磁场
大小：F＝qvB（v⊥B）
方向：可用左手定则判断
洛伦兹力不做功，不改变带电粒子的动能
动力学观点
通常情况下一个金属杆做加速度逐渐减小的加速运动，而另一个金属杆做加速度逐渐减小的减速运动，最终两金属杆以共同的速度匀速运动
能量观点
其中一个金属杆机械能的减少量等于另一个金属杆机械能的增加量与回路中产生的焦耳热之和
动量观点
对于两导体棒在平直的光滑导轨上运动的情况，如果两棒所受的外力之和为零，则考虑应用动量守恒定律处理问题
由BIL·Δt=m·Δv、q=I·Δt可知，当题目中涉及电荷量或平均电流时，可应用动量定理来解决问题
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