专题07 平面向量-2022年高考真题和模拟题数学分项汇编(解析版)+（原卷版）

专题07  平面向量

1．【2022年全国乙卷】已知向量，则（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】D

【解析】

【分析】

先求得，然后求得.

【详解】

因为，所以.

故选：D

2．【2022年全国乙卷】已知向量满足，则（       ）

A． B． C．1 D．2

【答案】C

【解析】

【分析】

根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.

【详解】

解：∵，

又∵

∴9，

∴

故选：C.

3．【2022年新高考1卷】在中，点D在边AB上，．记，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．

【详解】

因为点D在边AB上，，所以，即，

所以 ．

故选：B．

4．【2022年新高考2卷】已知向量，若，则（       ）

A． B． C．5 D．6

【答案】C

【解析】

【分析】

利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得

【详解】

解：,,即,解得,

故选：C

5．【2022年北京】在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；

【详解】

解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，

因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，

设，，

所以，，

所以

，其中，，

因为，所以，即；

故选：D

6．【2022年全国甲卷】已知向量．若，则______________．

【答案】##

【解析】

【分析】

直接由向量垂直的坐标表示求解即可.

【详解】

由题意知：，解得.

故答案为：.

7．【2022年全国甲卷】设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．

【答案】

【解析】

【分析】

设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得．

【详解】

解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，

又，，所以，

所以．

故答案为：．

8．【2022年浙江】设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是_______．

【答案】

【解析】

【分析】

根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设，再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到，然后利用即可解出．

【详解】

以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：

则,，设,于是，

因为，所以，故的取值范围是.

故答案为：．

1．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））在直角坐标系xOy中的三点，，，若向量与在向量方向上的投影相等，则m与n的关系为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据向量在向量上的投影的定义列式可求出结果.

【详解】

,,,

向量在向量方向上的投影为，

向量在向量方向上的投影为，

由题意可得，即.

故选：A.

2．（2022·山东潍坊·三模）已知，是平面内两个不共线的向量，，，，，则，，三点共线的充要条件是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

利用向量共线的充要条件有且，即可得答案.

【详解】

由，，三点共线的充要条件是且，

所以，故.

故选：C

3．（2022·江苏苏州·模拟预测）在中，，点D在线段上，点E在线段上，且满足，交于F，设，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据平面共线向量的性质，结合平面向量数量积的运算性质、平面向量数量积的定义、平面向量的加法的几何意义进行求解即可.

【详解】

设，，因为

所以有，

因此，

因为，，，

所以，

故选：B

4．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心三模（文））若，，下列正确的是（       ）

A． B．

C．方向上的投影是 D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据向量平行的坐标表示判断A，根据向量垂直的坐标表示判断BC，根据向量的投影的定义判断C.

【详解】

由已知，，

所以，，

因为，所以不平行，A错，

因为，所以不垂直，B错，

因为方向上的投影为，C对，

因为，所以不垂直，D错，

故选：C.

5．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））若向量，满足，，，则与的夹角为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据数量积的运算律得到，再根据计算可得；

【详解】

解：因为，，，所以，

即，所以，设与的夹角为，

则，因为，所以；

故选：B

6．（2022·北京·潞河中学三模）已知菱形的边长为，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

将分别用表示，再根据数量积的运算律即可得出答案.

【详解】

解：，

则.

故选：A.

7．（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）已知向量，，若与反向共线，则的值为（       ）

A．0 B．48 C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

由向量反向共线求得，再应用向量线性运算及模长的表示求.

【详解】

由题意，得，

又与反向共线，故，此时，

故.

故选：C.

8．（2022·山东淄博·三模）如图在中，，为中点，，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

建立平面直角坐标系，利用坐标法求出平面向量的数量积；

【详解】

解：建立如图所示的平面直角坐标系，

则，，，，

又，，，

则，

即，即，

则，

则，，

则；

故选：C．

9．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）数学家欧拉于年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点分别为任意的外心､重心､垂心，则下列各式一定正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据三点共线和长度关系可知AB正误；利用向量的线性运算可表示出，知CD正误.

【详解】

依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，，，，A错误，B错误；

，C错误；

，D正确.

故选：D.

10．（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）已知均为单位向量，且满足，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

通过向量的线性运算进行化简求值即可.

【详解】

，同理

．

故选：B.

11．（2022·辽宁沈阳·三模）已知椭圆的两个焦点分别为，点P是椭圆上一点，若的最小值为，则的最大值为（       ）

A．4 B．2 C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

设，求出焦点坐标，利用向量的坐标运算得出，再根据椭圆的范围利用二次函数求最值即可得解.

【详解】

设，由可知，，

，，

，

，时，的最小值为，解得.

当时，的最大值为.

故选：D

12．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（理））非零向量满足，则与的夹角为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据给定条件，求出，再利用向量夹角公式计算作答.

【详解】

由得：，即，解得，

因此，，而，解得，

所以与的夹角为.

故选：B

13．（2022·浙江省江山中学模拟预测）在中，E，F分别为的中点，点D是线段（不含端点）内的任意一点，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据向量的线性运算的定义和平面向量基本定理确定的关系和范围.

【详解】

因为点D是线段（不含端点）内的任意一点，

所以可设，

因为E，F分别为的中点，

所以，

所以，又，

所以，，，，

所以A，B，D错误，C正确，

故选：C.

14．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））已知向量，，向量与垂直，则实数的值为（       ）

A． B．2 C． D．1

【答案】C

【解析】

【分析】

由题得化简即得解.

【详解】

因为与垂直，

所以，

所以.

故选：C.

15．（2022·海南华侨中学模拟预测）已知不共线的平面向量两两所成的角相等，且，则（       ）

A． B．2 C．3 D．2或3

【答案】D

【解析】

【分析】

先求出，转化，列方程即可求出.

【详解】

由不共线的平面向量，，两两所成的角相等，可设为θ，则.设||=m.

因为，所以，

即，

所以

即，解得：或3.

所以||=2或3

故选：D

16．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））已知，，，且，则______．

【答案】

【解析】

【分析】

由向量垂直的坐标表示计算可得．

【详解】

由题意，又，则，故．

故答案为：．

17．（2022·河北·沧县中学模拟预测）已知向量的夹角为，，，则___________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据求解即可.

【详解】

，

则，

则．

故答案为：

18．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））已知向量，向量，且，则向量的夹角为___________.

【答案】##

【解析】

【分析】

由两边平方，结合数量积的定义和性质化简可求向量的夹角

【详解】

因为，所以

因为，

所以，又，

所以，所以，

向量的夹角为,则

所以，则.

故答案为：.

19．（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））已知在平行四边形中，，则值为__________．

【答案】##2.25

【解析】

【分析】

由向量加法的几何意义及数量积运算律有，再由结合数量积运算律，即可得结果.

【详解】

由题设可得如下图：，而，

所以，

又，

所以，则，

故，可得，即.

故答案为：

20．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）设为不共线的向量，满足，且，若，则的最大值为________．

【答案】324

【解析】

【分析】

采用建系法，令，将各个点用坐标表示，然后表达出面积的最大值，进而求得的最大值；

【详解】

令，又因为，

即，

则点C为的外心，因为，

设，不妨取

则点在圆上，

由，代入坐标，，

解得，

联立和，

解得，故

，

当且仅当即时取“=”.

故，于是

.

故答案为：324

【点睛】

求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．