山东省烟台市龙口市2022年中考一模数学试题及答案

 中考一模数学试题

一、单选题

1．－5的相反数是(　　)

A． B． C．5 D．-5

2．如图所示，几何体的俯视图为（　　）

A． B． C． D．

3．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　）

A．a＞-2 B．b-a＜0 C．a＜b D．a+b＞0

4．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4 000多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案既不是轴对称图形又不是中心对称的是（　　）

A． B．

C． D．

5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BA⊥CA，垂足为A，若∠B=40°，则∠DAC等于（　　）

A．40° B．45° C．50° D．55°

6．若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin36 18＇，按键顺序正确的是（　　） 

A．

B．

C．

D．

7．“埃”是晶体学、原子物理、超显微结构等常用的长度单位，1长度单位“埃”，等于一亿分之一厘米．一亿分之一用科学记数法表示为（　　）

A． B． C． D．

8．某班篮球兴趣小组10名队员进行定点投篮练习，每人投篮10次，将他们投中的次数进行统计，如下表：则关于这10名队员投中次数组成的数据，下列说法错误的是（　　）

A．平均数为5 B．中位数为5 C．众数为5 D．方差为2.7

9．如图，在直角坐标系xOy中，矩形EFGO的两边OE，OG在坐标轴上，以y轴上的某一点P为位似中心，作矩形ABCD，使其与矩形EFGO位似，若点B，F的坐标分别为（4，4），（-2，1），则位似中心P的坐标为（　　）

A．（0，1.5） B．（0，2） C．（0，2.5） D．（0，3）

10．二次函数的图象如图所示，则下列结论中错误的是（　　）

A． B．函数的最大值为

C．当时， D．

二、填空题

11．计算：=　     　．

12．如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率是　     　.
 

13．已知关于x的一元二次方程x2-4mx+3m2=0，若m＞0，且该方程较大的实数根为1，则m的值为　     　．

14．如图，在 中， ， ， .进行如下操作： 

①以点C为圆心，以 的长为半径画弧交 于点D；

②以点A为圆心，以 的长为半径画弧交 于点E.

则点E是线段 的黄金分割点.

根据以上操作， 的长为　     　.

15．如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算，输出的是-4，…，则第2022次输出的结果是　     　．  

16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，以A为圆心，AD为半径作圆交AB于点E，F为的中点，过F作CD的平行线，交AD于点G，交BC于点H，则阴影部分的面积为　     　．

三、解答题

17．先化简，再求代数式的值，其中．

18．为了加快推进我国全民新冠病毒疫苗接种，在全国范围内构筑最大免疫屏障，各级政府积极开展接种新冠病毒疫苗的宣传工作．某社区印刷了若干套宣传海报（每套海报有A、B、C、D共四张），内容分别是志愿者小明和小亮利用休息时间到某小区张贴海报．

（1）小明从一套海报中随机抽取一张，抽到B海报的概率是　     　．

（2）小明和小亮从同一套海报中各随机抽取一张，用列表法或画树状图法，求他们两个人中有一个人抽到D海报的概率．

19．促进青少年健康成长是实施“健康中国”战略的重要内容．为了引导学生积极参与体育运动，某校举办了一分钟跳绳比赛，随机抽取了40名学生一分钟跳绳的次数进行调查统计，并根据调查统计结果绘制了如下表格和统计图：

请结合上述信息完成下列问题：

（1）a＝　     　，b＝　     　；

（2）请补全频数分布直方图；

（3）在扇形统计图中，“良好”等级对应的圆心角的度数是　     　；

（4）若该校有2000名学生，根据抽样调查结果，请估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数．

20．如图，一次函数y1=kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数y2=（m＞0）的图象交于点C（1，2），D（2，n）．

（1）分别求出两个函数的表达式；

（2）连接OD，求△BOD的面积．

21．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款衬衫进行直播销售，销售信息如下：小王用1400元恰好购买了若干件此款衬衫，求小王购买该衬衫的件数．

22．汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．如图，△ABC、△FED分别为汽车两侧盲区的示意图，已知视线PB与地面BE的夹角∠PBE=43°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB=20°，点A，F分别为PB，PE与车窗底部的交点，AF∥BE，AC，FD垂直地面BE，A点到B点的距离AB=1.6m，求盲区中DE的长度．（参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4）

23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，延长CA到点D，以AD为直径作⊙O，交BA的延长线于点E，延长BC到点F，使BF=EF．

（1）求证：EF是⊙O的切线；

（2）若AC=2，CD=7，cos∠DAE=，求EF的长．

24．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在边BC上，BC=3BD，将线段DB绕点D顺时针旋转至DE，记旋转角为α（0°＜α＜180°），连接BE，CE，以CE为斜边在其一侧作等腰直角三角形CEF，连接AF．

（1）如图1，求证：△CAF∽△CBE，并求出的值；

（2）如图2，当B，E，F三点共线时，连接AE，请判断四边形AECF的形状，并说明理由．

25．如图1，在直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x，y轴分别交于点A，B，C，已知点A的坐标是（4，0），OA=4OB，动点P在此抛物线上．

（1）求抛物线的表达式；

（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；

（3）如图2，若动点P在第一象限内（图1中的其它条件不变），过点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，以线段EF的中点G为圆心，以EF为直径作⊙G，当⊙G最小时，求出点P的坐标．

答案解析部分

1．【答案】C

2．【答案】D

3．【答案】C

4．【答案】B

5．【答案】C

6．【答案】D

7．【答案】A

8．【答案】D

9．【答案】B

10．【答案】D

11．【答案】

12．【答案】

13．【答案】

14．【答案】

15．【答案】-3

16．【答案】

17．【答案】解：原式

∵

∴原式

18．【答案】（1）

（2）解：画树状图如图所示，

∵共有12种等可能的结果，小明和小亮两个人中有一个人抽到D海报的结果有6种，

∴小明和小亮两个人中有一个人抽到D海报的概率为．

19．【答案】（1）0.1；0.35

（2）解：如图，即为补全的频数分布直方图；

（3）108°

（4）解：因为2000×＝1800，

所以估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数是1800．

20．【答案】（1）解：由y2=过点C（1，2），

可得m=12=2，

故y2=，

∴n==1，

∴D点坐标为（2，1）．

又由y1=kx+b过点C（1，2）和D（2，1），

则，

 解得，

故y1=-x+3．

（2）解：令x=0，y1=3，

∴B点坐标为（0，3），

∴OB=3．

又∵点D到y轴的距离为2，

∴S△BOD==3．

21．【答案】解：∵30×40=1200＜1400，

∴衬衫数超过了30件．

设小王购买了x件该衬衫，根据题意，得

x[40-（x-30）×0.5]=1400，

解得x1=40，x2=70，

∵x=70时，40-（70-30）×0.5=20＜30，

∴x=70不合题意，舍去．

∴x=40

答：小王购买了40件该衬衫．

22．【答案】解：∵FD⊥EB，AC⊥EB，

∴DF∥AC，

∵AF∥EB，

∴四边形ACDF是平行四边形，

∵∠ACD=90°

∴四边形ACDF是矩形，

∴DF=AC．

在Rt△ACB中，

∵∠ACB=90°，

∴AC=AB•sin43°≈1.6×0.7=1.12（m），

∴DF=AC=1.12（m），

在Rt△DEF中，

∵∠FDE=90°，

∴tanE=，

∴DE≈=2.8（m）．

答：盲区中DE的长度为2.8m．

23．【答案】（1）证明：如图，连接OE，

∵OA=OE，

∴∠OEA=∠OAE．

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，

∴∠BAC+∠B=90°．

∵BF=EF，

∴∠B=∠BEF．

∵∠OAE=∠BAC，

∴∠OEA=∠BAC，

∴∠OEF=∠OEA+∠BEF=∠BAC+∠B=90°，

∴OE⊥EF．

∵OE是⊙O的半径，

∴EF是⊙O的切线；

（2）解：如图，连接DE，

∵CD=7，AC=2

∴AD=CD-AC=5，

∵AD是⊙O的直径，

∴∠AED=90°．

在Rt△ADE中，

∵AE=ADcos∠DAE=5×=4，

∴DE=．

∵∠BAC=∠DAE，

∴cos∠BAC=cos∠DAE=，

∴在Rt△ABC中，AB=．

∴BE=AB+AE=．

∵OD=OE，

∴∠ODE=∠OED．

∵EF是⊙O的切线，

∴∠FEO=90°，

∵∠OED+∠OEA=90°，∠FEB+∠OEA=90°，

∴∠FEB=∠OED，

∴∠B=∠FEB=∠OED=∠ODE，

∴△FBE∽△ODE，

∴，

∴，

∴EF=BF=．

24．【答案】（1）证明：∵△CEF是等腰直角三角形，

∴∠ECF=45°，，

∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠BCA=45°，，

∴∠ECF=∠BCA，，

∴∠ECF-∠ACE=∠BCA-∠ACE，即∠ACF=∠BCE，

∴△CAF∽△CBE，

∴=．

（2）解：四边形AECF是平行四边形．

理由如下：∵∠CEF=45°，B，E，F三点共线，

∴∠BEC=135°．

由（1）知，∠AFC=∠BEC=135°．

∴∠AFE=∠AFC-∠CFE=45°，

∴∠CEF=∠AFE．

∴AF∥CE．

过点D作DG⊥BF于点G，

∵∠BGD=∠BFC=90°，∠DBG=∠CBF，

∴△BDG∽△BCF，

∴．

∵BD=DE，DG⊥BE，

∴BG=EG，

∴BG=EG=EF，

∵EF=CF，

∴BE=2CF．

由（1）知，=，

∴AF=．

∴AF=．

∵CE=．

∴AF=CE．

∴四边形AECF是平行四边形．

25．【答案】（1）解：由A（4，0），可知OA=4，

∵OA=4OB，

∴OB=1．

∴B（-1，0）．

设抛物线的表达式是y=ax2+bx+4，

则 解得

则抛物线的表达式是y=-x2+3x+4；

（2）解：存在．

第一种情况，如图1，当以C为直角顶点时，过点C作CP1⊥AC，交抛物线于点P1．过点P1作y轴的垂线，垂足是M．

∵∠ACP1=90°，

∴∠MCP1+∠ACO=90°．

∵∠ACO+∠OAC=90°，

∴∠MCP1=∠OAC．

∵OA=OC，

∴∠MCP1=∠OAC=45°，

∴∠MCP1=∠MP1C，

∴MC=MP1，

设P（m，-m2+3m+4），则m=-m2+3m+4-4，

解得：m1=0（舍去），m2=2．

∴-m2+3m+4=6，

即P（2，6）．

第二种情况，如图1，当点A为直角顶点时，过A作AP2，AC交抛物线于点P2，

过点P2作y轴的垂线，垂足是N，AP交y轴于点F．

∴P2N∥x轴，

由∠CAO=45°，

∴∠OAP=45°，

∴∠FP2N=45°，AO=OF．

∴P2N=NF，

设P2（n，-n2+3n+4），则n=（-n2+3n+4）+4，

解得：n1=-2，n2=4（舍去），

∴-n2+3n+4=-6，

则P2的坐标是（-2，-6）．

综上所述，P的坐标是（2，6）或（-2，-6）；

（3）解：如图2，连接OD，由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD=EF．

根据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短．

由（1）可知，在直角△AOC中，OC=OA=4，

则AC=，

根据等腰三角形的性质，D是AC的中点，

又∵DF∥OC，

∴DF=OC=2，

∴点P的纵坐标是2．

则-x2+3x+4=2，

解得x1=，x2=（不合题意，舍去）

∴当⊙G最小时，点P的坐标是（，2）