2021-2022学年高一下学期期末数学模拟测试卷09

2020-2021学年高一数学下学期期末考前冲刺刷题卷（人教版必修5+必修2）

期末刷题卷01

一、选择题

1．已知中，，，，则等于 (　　)

A． B． C． D．

2．已知数列的前项和，则的通项公式 (　　)

A． B． C． D．

3．已知平面，，直线，，下列命题中假命题是 (　　)

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，，则

4．设长方体的长、宽、高分别为、、，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 (　　)

A． B． C． D．

5．一个圆锥的侧面展开图是一个的圆面，则这个圆锥的表面积和侧面积的比是 (　　)

A． B． C． D．

6．过点且与直线垂直的直线方程是 (　　)

A． B．

C． D．

7．已知点是圆上任意一点，则的取值范围是 (　　)

A． B．

C． D．

8．过点且平行于直线的直线方程为 (　　)

A． B． C． D．

9．设，且，则下列判断一定正确的是 (　　)

A． B． C． D．

10．若直线与直线相交，且交点在第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是 (　　)

A． B． C． D．

11．若圆与圆相切，则等于 (　　)

A．16 B．7 C．-4或16 D．7或16

12．二面角的大小为，是棱上的两点，分别在半平面内，，，，，，则的长度为 (　　)

A． B． C． D．

二、填空题

13．直线被圆所截得的弦长为__________．

14．已知为正项等比数列，且是方程的两个实数根，则_________．

15．矩形中， ， ，沿将折起到使平面平面， 是线段的中点， 是线段上的一点，给出下列结论：

①存在点，使得平面；②存在点，使得平面；

③存在点，使得平面；④存在点，使得平面．

其中正确结论的序号是__________．

16．如图，在三棱锥中，侧棱平面， ，底面是边长为2的正三角形，则此三棱锥的表面积为__________．

三、解答题

17．在中，，，的对边分别为，，，若，

(1)求的大小；(2)若，，求，的值．

18．已知为等差数列，且，.

(1)求的通项公式；

(2)若等比数列满足，，求的前项和公式.

19．某租赁公司，购买了一辆小型挖掘机进行租赁．据市场分析，该小型挖掘机的租赁利润(单位：万元)与租赁年数的关系为．

(1)该挖掘机租赁到哪几年时，租赁的利润超过万元？

(2)该挖掘机租赁到哪一年时，租赁的年平均利润最大？

20．如图,在四棱锥中,底面是矩形,平面平面, ,点在棱上, ,点是棱的中点,求证：

(1) 平面;

(2) 平面．

21．已知圆的圆心为，直线与圆相切．

(1)求圆的标准方程；

(2)若直线过点，且被圆所截得弦长为，求直线的方程．

22．如图(1)在等腰中，，，分别是，和边的中点，，现将沿翻折成直二面角.(如图(2))

(I)试判断直线与平面的位置关系，并说明理由；

(II)求二面角的余弦值；

(III)在线段是否存在一点，但？证明你的结论.

参考答案

一、选择题

1．D

解析：由正弦定理可知，即，所以，因为，所以，所以，解得．故选D．

2．B

解析：令，得， ，当时， ，所以，所以，所以数列是以1为首项， 为公比的等比数列，所以，故选B．

3．D

解析：中， ， ，故正确，

中 ， ， ，由平行线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面可知， 正确；

中 ， ，由面面垂直判定定理可知，故正确；

故选

点睛：根据直线与平面垂直的性质和直线与平面所成角的定义，得到正确；根据直线与平面垂直的定义，结合平面与平面平行的判定定理，得到正确， 根据直线与平面垂直的性质定理和平面与平面垂直的判定定理，得到正确；根据直线与平面平行的性质定理的大前提，可知错误，，由此得到正确的答案。

4．B

解析：依题意可得，该球是长方体的外接球，其直径等于长方体的体对角线，所以该球的表面积，故选B

5．A

解析：设该圆锥体的底面半径为，母线长为，根据题意得；

所以这个圆锥的侧面积与表面积的比是

故答案为A

6．C

解析：与直线垂直的直线的斜率为，有过点，

∴所求直线方程为：

即

故选：C

7．C

解析：设，即直线和圆有公共点，则，即，解得．故选C．

8．A

解析：由题意可设所求的直线方程为x−2y+c=0

∵过点(−1,3)

代入可得−1−6+c=0则c=7

∴x−2y+7=0

故选A．

9．A

解析：对于A :函数在R上单调递增，当时，有，故A对；

对于B：当时，有但，故B错；

对于C：当时，有但，故C错；

对于D：当时， 但，故D错；

故选A．

10．C

解析：联立方程 得交点 ，由交点在第一象限知： 解得 ，即是锐角，故 ，选C．

11．C

解析：整理圆的方程为标准型即： ，

圆心距为： ，两圆半径为： ，

当两圆外切时： ，

当两圆内切时，由于，故有： ，

综上可得： 等于-4或16．

本题选择C选项．

点睛：两圆相切包括内切和外切两种情况，注意分类讨论．判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．

12．B

解析：

选B

二、填空题

13．

解析：由题意可知：

弦长为

14．

解析：是方程的两个实数根， ， ，

故答案为．

15．①④

解析：①存在中点，则，利用线面平行的判定定理可得平面，故正确；

若平面，则平面平面，显然不成了，故错误；

因为 是矩形， ， ，所以， 在上的射影不是同一点，所以不存在点， 平面，故错误；

，利用面面垂直的性质，可得平面，故正确；

综上所述，①④是正确的。

点睛：本题是一道空间位置关系的综合题，解题的关键是掌握面面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理；在说明一个命题是错误时只要能找出一个反例即可。

16．

解析：

所以表面积为

三、解答题

17．（1）（2），或，

解：（1）由已知得[来源:学科网]

∴

∵

∴

∵

∴，

（2）∵

即

∴

∴

∵

∴，或，

18．解：（1）设等差数列的公差

因为

所以

解得

所以

（2）设等比数列的公比为

因为，

所以即

所以的前项和公式为

19．解：（1）由题意，得，

整理，得，

解得，

所以该挖掘机租赁到第，，年时，租赁的利润超过万元．

（2）租赁的年平均利润为．

因为，

所以当且仅当时，即时，，

所以该挖掘机租赁到第年时，租赁的年平均利润最大．

20．证明(1)因为在中, ，

所以点是棱的中点．

又点是棱的中点,

所以是的中位线,

所以．

因为底面是矩形,

以,

所以．

又平面, 平面,所以平面．

(2)因为平面平面, 平面，

平面平面，

所以平面．

又平面,所以．

因为,, ,平面,平面,

所以平面．

21．（1）圆心直线的距离．

所以，圆心，半径，圆的标准方程：．

（2）①当直线的斜率存在时，设直线

即：，，又，所以，解得

②当的斜率不存在时，满足条件．

故的方程为：或．

22．解：（I）如图1在中，由，分别是，中点，得，

又平面，平面，∴平面.

（II）∵，,∴是二面角的平面角，∴，

∴平面，

取的点，使，∴平面，

过作于点，连接，则，

∴是二面角的平面角.

设，则，，

在中，设底边上的高为

由中，，，∴

从而

（III）在线段上不存在点，使，

证明如下：在图2中，作，交于交于 由已知得，

于是点在的延长线上，从而在的延长线上，过作交于，

∴平面，∴，∴平面，∴.

但在的延长线上.

图1

图2