2020-2021学年山东省菏泽市高一（下）期末数学试卷（b卷）

这是一份2020-2021学年山东省菏泽市高一（下）期末数学试卷（b卷），共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年山东省菏泽市高一（下）期末数学试卷（B卷）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）（2020•潍坊模拟）设复数，若，则　　
A． B． C． D．
2．（5分）（2021春•菏泽期末）已知一组数据1，3，2，5，4，那么这组数据的方差为　　
A． B． C．2 D．3
3．（5分）（2021春•菏泽期末）数据1，2，3，4，5，6，7，8，9的第60百分位数为　　
A．5 B．6 C．5.4 D．5.5
4．（5分）（2021春•菏泽期末）在如图所示一组数据的茎叶图中，有一个数字被污染后模糊不清，但曾计算得该组数据的极差与中位数之和为61，则被污染的数字为　　

A．6 B．5 C．4 D．3
5．（5分）（2021春•菏泽期末）自然对数的底数是指无理数．是一个奇妙有趣的无理数，它取自数学家欧拉的英文字头．某教师为帮助同学们了解“”，让同学们从小数点后的3位数字7，1，8随机选取两位数字，整数部分2不变，那么得到的数字小于2.71的概率为　　
A． B． C． D．
6．（5分）（2016•商丘二模）设向量，，，且，则向量与的夹角为　　
A． B． C． D．
7．（5分）（2021春•菏泽期末）某居民小区有两个相互独立的安全防范系统和，系统和系统在任意时刻发生故障的概率分别为和，若在任意时刻恰有一个系统发生故障的概率为，则　　
A． B． C． D．
8．（5分）（2021春•菏泽期末）一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．先从袋中随机取一个球，该球的编号为，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为，则的概率为　　
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的的0分．
9．（5分）（2021春•菏泽期末）下列说法中，正确的是　　
A．概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值
B．做次随机试验，事件发生次，则事件发生的频率就是事件的概率
C．频率是不能脱离次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值
D．任意事件发生的概率（A）总满足（A）
10．（5分）（2021春•菏泽期末）甲、乙两位学生的五次数学成绩统计如表所示，则下列判断不正确的是　　
学生
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
甲
40
50
60
70
80
乙
50
50
50
60
90
A．甲的成绩的平均数大于乙的成绩的平均数
B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
11．（5分）（2021春•菏泽期末）容量为100的样本数据分布在，中，分组列表后得到如下频率分布直方图．对于下列说法，正确的选项有　　

A．样本数据分布在，的频率为0.32
B．样本数据分布在，的频数为40
C．估计总体数据大约有分布在，
D．样本数据分布在，的频数为40
12．（5分）（2021春•菏泽期末）如图，矩形中，为的中点，，将沿直线翻折成，连结，为的中点，则在翻折过程中，下列说法中正确的是　　

A．存在某个位置，使得
B．
C．异面直线与所成的角的余弦值为
D．当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积是
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）（2021春•菏泽期末）某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：9，8，8，9，7，8，9，10，7，5，估计该学员射击一次命中环数为 　　．
14．（5分）（2021春•菏泽期末）在边长为2的菱形中，，为的中点，则　 　．
15．（5分）（2021春•菏泽期末）在直四棱柱中，当底面四边形满足条件 　　时，有（注填上你认为正确的一种情况即可）．
16．（5分）（2021春•菏泽期末）如图所示，用，，三个不同的元件连接成一个系统．当正常工作且，至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知，，正常工作的概率依次为0.9，0.8，0.5，则系统正常工作的概率为 　　．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）（2021春•菏泽期末）一研究所为帮助某地脱贫致富，引进一种新的水果进行种植．该研究所随机抽取了高度在，（单位：的50棵水果进行研究，得到其高度的频率分布直方图（如图所示）．
（1）求的值；
（2）经研究，水果高度在，的经济效益最好，若已知该地种植该水果约为10万棵，试根据直方图信息估计高度在，的植物数量．

18．（12分）（2021春•菏泽期末）某机械厂三个车间共有工人1000名，各车间男、女工人数如表：

第一车间
第二车间
第三车间
女工
170
120

男工
180


已知在全厂工人中随机抽取1名，抽到第二车间男工的可能性是0.13，其中第三车间的男女比例为．
（1）求，，的值；
（2）现用分层抽样的方法在全厂男工人中抽取55名工人进行技术比武，则在第三车间抽取多少名男工人？
19．（12分）（2021春•菏泽期末）从①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．
问题：在中，．
（1）求；
（2）若，且 _____，求的周长．
20．（12分）（2021春•菏泽期末）某市举行职业院校学生技能比赛活动，甲校派出2男1女共3名学生，乙校派出2男2女共4名学生．
（1）若从甲校和乙校学生中各任选1名进行比赛，求选出的2名学生性别不相同的概率；
（2）若从甲校和乙校报名的这7名学生中任选2名进行比赛，求选出的这2名学生来自同一学校的概率．
21．（12分）（2021春•菏泽期末）如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，，，为正三角形，为的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）若棱锥的体积为，求平面与平面所成角的正弦值．

22．（12分）（2021春•菏泽期末）某班级体育课进行一次篮球定点投篮测试，规定每人最多投3次，每次投篮的结果相互独立．在处每投进一球得3分，在处每投进一球得2分，否则得0分．将学生得分逐次累加并用表示，如果的值高于3分就判定为通过测试，立即停止投篮，否则应继续投篮，直到投完三次为止．现有两种投篮方案：方案1：先在处投一球，以后都在处投；方案2：都在处投篮．已知甲同学在处投篮的命中率为，在处投篮的命中率为．
（1）若甲同学选择方案1，求他测试结束后所得总分的所有可能的取值以及相应的概率；
（2）你认为甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大？说明理由．

2020-2021学年山东省菏泽市高一（下）期末数学试卷（B卷）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）（2020•潍坊模拟）设复数，若，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
，
．
故选：．
2．（5分）（2021春•菏泽期末）已知一组数据1，3，2，5，4，那么这组数据的方差为　　
A． B． C．2 D．3
【解答】解：一组数据1，3，2，5，4，
这组数据的平均数为：
，
这组数据的方差为：
．
故选：．
3．（5分）（2021春•菏泽期末）数据1，2，3，4，5，6，7，8，9的第60百分位数为　　
A．5 B．6 C．5.4 D．5.5
【解答】解：因为，
故数据1，2，3，4，5，6，7，8，9的第60百分位数为6，
故选：．
4．（5分）（2021春•菏泽期末）在如图所示一组数据的茎叶图中，有一个数字被污染后模糊不清，但曾计算得该组数据的极差与中位数之和为61，则被污染的数字为　　

A．6 B．5 C．4 D．3
【解答】解：根据茎叶图可得极差为，
所以中位数为，
设被污染的数字为，则中位数为，解得，
故选：．
5．（5分）（2021春•菏泽期末）自然对数的底数是指无理数．是一个奇妙有趣的无理数，它取自数学家欧拉的英文字头．某教师为帮助同学们了解“”，让同学们从小数点后的3位数字7，1，8随机选取两位数字，整数部分2不变，那么得到的数字小于2.71的概率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可得，基本事件总数，
让同学们从小数点后的3位数字7，1，8随机选取两位数字，整数部分2不变，那么得到的数字小于2.71的基本事件有，，即，，共有个，
那么得到的数字小于2.71的概率．
故选：．
6．（5分）（2016•商丘二模）设向量，，，且，则向量与的夹角为　　
A． B． C． D．
【解答】解：向量，，，且，
，
解得，
，，，，
，，，
设向量与的夹角为，
，
，
．
故选：．
7．（5分）（2021春•菏泽期末）某居民小区有两个相互独立的安全防范系统和，系统和系统在任意时刻发生故障的概率分别为和，若在任意时刻恰有一个系统发生故障的概率为，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，系统和相互独立，且两个系统在任意时刻发生故障的概率分别为和，
若在任意时刻恰有一个系统发生故障的概率为，则有，
，
故选：．
8．（5分）（2021春•菏泽期末）一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．先从袋中随机取一个球，该球的编号为，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为，则的概率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可得，基本事件总数，
从袋中随机取一个球，该球的编号为，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为，
包含的基本事件有，，，，，，总数6个，
的概率．
故选：．
二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的的0分．
9．（5分）（2021春•菏泽期末）下列说法中，正确的是　　
A．概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值
B．做次随机试验，事件发生次，则事件发生的频率就是事件的概率
C．频率是不能脱离次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值
D．任意事件发生的概率（A）总满足（A）
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于，由概率与频率的关系，正确；
对于，概率是频率的稳定值，错误，
对于，由概率与频率的关系，正确，
对于，任意事件发生的概率（A）总满足（A），错误；
故选：．
10．（5分）（2021春•菏泽期末）甲、乙两位学生的五次数学成绩统计如表所示，则下列判断不正确的是　　
学生
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
甲
40
50
60
70
80
乙
50
50
50
60
90
A．甲的成绩的平均数大于乙的成绩的平均数
B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
【解答】解：选项：甲的成绩的平均数为，
乙的成绩的平均数为，故错误，
选项：根据表格可得甲的中位数为60，乙的中位数为50，故错误，
选项：甲的成绩的方差为，
乙的成绩的方差为，故正确，
选项：甲的成绩的极差为，乙的成绩的极差为，故错误，
故选：．
11．（5分）（2021春•菏泽期末）容量为100的样本数据分布在，中，分组列表后得到如下频率分布直方图．对于下列说法，正确的选项有　　

A．样本数据分布在，的频率为0.32
B．样本数据分布在，的频数为40
C．估计总体数据大约有分布在，
D．样本数据分布在，的频数为40
【解答】解：对于，样本数据分布在，的频率为：，故正确；
对于，样本数据分布在，的频数为：，故正确；
对于，估计总体数据大约有：分布在，，故错误；
对于，样本数据分布在，的频数为：，故正确．
故选：．
12．（5分）（2021春•菏泽期末）如图，矩形中，为的中点，，将沿直线翻折成，连结，为的中点，则在翻折过程中，下列说法中正确的是　　

A．存在某个位置，使得
B．
C．异面直线与所成的角的余弦值为
D．当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积是
【解答】解：根据题意，取的中点，连接、，
依次分析选项：
对于，用反证法证明：假设存在存在某个位置，使得，
而，必有面，必有，
即△为直角三角形，且为斜边，必有，
而，则，与矛盾，
故不存在某个位置，使得，错误；
对于，如图，，而，则，
则有，，，
由余弦定理可得，故，正确；
对于，，则异面直线与所成的角就是直线与所成的角，
，故异面直线与所成的角的余弦值为，正确；
对于，当平面平面时，三棱锥的体积最大，
易得的中点就是三棱锥的外接球的球心，球半径为1，表面积是．正确；
故选：．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）（2021春•菏泽期末）某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：9，8，8，9，7，8，9，10，7，5，估计该学员射击一次命中环数为 　8　．
【解答】解：该学员射击10次的平均数为，
估计该学员射击一次命中环数为8，
故答案为：8．
14．（5分）（2021春•菏泽期末）在边长为2的菱形中，，为的中点，则　1　．
【解答】解：由题意可得，且与的夹角，
由向量的运算可得，，


故答案为：1
15．（5分）（2021春•菏泽期末）在直四棱柱中，当底面四边形满足条件 　或四边形为菱形　时，有（注填上你认为正确的一种情况即可）．
【解答】解：若，由四棱柱为直四棱柱，
，易得平面，
则，
则四边形为菱形，
故答案为：或四边形为菱形．
16．（5分）（2021春•菏泽期末）如图所示，用，，三个不同的元件连接成一个系统．当正常工作且，至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知，，正常工作的概率依次为0.9，0.8，0.5，则系统正常工作的概率为 　0.81　．

【解答】解：当正常工作且，至少有一个正常工作时，系统正常工作．
，，正常工作的概率依次为0.9，0.8，0.5，
则系统正常工作的概率为：
．
故答案为：0.81．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）（2021春•菏泽期末）一研究所为帮助某地脱贫致富，引进一种新的水果进行种植．该研究所随机抽取了高度在，（单位：的50棵水果进行研究，得到其高度的频率分布直方图（如图所示）．
（1）求的值；
（2）经研究，水果高度在，的经济效益最好，若已知该地种植该水果约为10万棵，试根据直方图信息估计高度在，的植物数量．

【解答】解：（1）由频率分布直方图的性质得：
，
解得．
（2）高度落在，的植物的频率为：，
高度在，的植物数量为棵．
18．（12分）（2021春•菏泽期末）某机械厂三个车间共有工人1000名，各车间男、女工人数如表：

第一车间
第二车间
第三车间
女工
170
120

男工
180


已知在全厂工人中随机抽取1名，抽到第二车间男工的可能性是0.13，其中第三车间的男女比例为．
（1）求，，的值；
（2）现用分层抽样的方法在全厂男工人中抽取55名工人进行技术比武，则在第三车间抽取多少名男工人？
【解答】解：（1）由题意知，，解得．
因为第一车间的工人数是，
第二车间的工人数是，
所以第三车间的工人数是．
所以，．
（2）设应从第三车间抽取名工人，
共有男工人，
则由，解得，
所以应在第三车间抽取24名男工人．
19．（12分）（2021春•菏泽期末）从①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．
问题：在中，．
（1）求；
（2）若，且 _____，求的周长．
【解答】解：（1）因为，，
所以，
因为，所以，
即，
因为，．
（2）若选①，，
则在中，由余弦定理，
得，解得或（舍去），
所以，
所以三角形的周长为；
若选②，，
所以，
因为在中，，
所以，所以，
则，
所以，
所以三角形周长为；
若选③，，由余弦定理，
得，，解得或（舍去），
所以，得，
所以三角形周长为．
20．（12分）（2021春•菏泽期末）某市举行职业院校学生技能比赛活动，甲校派出2男1女共3名学生，乙校派出2男2女共4名学生．
（1）若从甲校和乙校学生中各任选1名进行比赛，求选出的2名学生性别不相同的概率；
（2）若从甲校和乙校报名的这7名学生中任选2名进行比赛，求选出的这2名学生来自同一学校的概率．
【解答】解：记甲校派出的2名男学生为，，1名女学生为，
乙校派出的2名男学生为，，2名女学生为，，
（1）从甲校和乙校报名的学生中各任选1名，不同的结果有：
，，，，，，，，，，，，
，，，，，，，，共12种，
其中选出的2名学生性别不相同的选法有：
，，，，，，，，，，共6种，
故选出的2名学生性别不相同的概率．
（2）若从甲校和乙校报名的这7名学生中任选2名，不同的结果有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21种，
其中选出的2名学生来自同一学校的选法有，，，，，，，，，，，，，，，，，，共9种，
故选出的2名学生来自同一学校的概率为．
21．（12分）（2021春•菏泽期末）如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，，，为正三角形，为的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）若棱锥的体积为，求平面与平面所成角的正弦值．

【解答】（1）证明：因为，为中点，所以，
又为等边三角形，，
所以，，
所以平面，平面，
所以平面平面．
（2）解：由（1）设该三棱锥的体积为，，，
得，
因为，所以平面，
所以，
又，所以平面，
过点做于点，连接，
得即为平面与平面所成二面角的平面角，
因为，，
得，
所以，
所以平面与平面所成角的正弦值．

22．（12分）（2021春•菏泽期末）某班级体育课进行一次篮球定点投篮测试，规定每人最多投3次，每次投篮的结果相互独立．在处每投进一球得3分，在处每投进一球得2分，否则得0分．将学生得分逐次累加并用表示，如果的值高于3分就判定为通过测试，立即停止投篮，否则应继续投篮，直到投完三次为止．现有两种投篮方案：方案1：先在处投一球，以后都在处投；方案2：都在处投篮．已知甲同学在处投篮的命中率为，在处投篮的命中率为．
（1）若甲同学选择方案1，求他测试结束后所得总分的所有可能的取值以及相应的概率；
（2）你认为甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大？说明理由．
【解答】解：（1）设甲同学在处投中为事件，在处第次投中为事件，
由已知，，，，
的取值为0，2，3，4，5，
则，
，
，
，
．
（2）甲同学选择方案1通过测试的概率为，
选择方案2通过测试的概率为，
则，
，
因为，所以甲同学选择方案2通过测试的可能性更大．
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