2021天津河东区高一下学期期末数学试题含答案

河东区2020~2021学年度第二学期期末质量检测

高一数学

一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，满分32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确结论的代号填在下表内.

1.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为100、200、300、400件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丁种型号的产品中抽取（    ）件.

A.24   B.18   C.12   D.6

2.下列事件中，随机事件的个数是（    ）

①2022年8月18日，北京市不下雨；②在标准大气压下，水在4℃时结冰；③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；④，则的值不小于0.

A.1   B.2   C.3   D.4

3.已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是（    ）

A，若，垂直于同一平面，则与平行

B.若，平行于同一平面，则与平行

C.若，不平行，则与不可能垂直于同一平面

D.若，不平行，则在内不存在与平行的直线

4.如图，在三棱锥中，平面，，则二面角的平面角是（    ）

A.90°   B.60°   C.45°   D.30°

5.在5盒酸奶中，有2盒已经过了保质期，从中任取2盒，取到的酸奶中有已过保质期的概率为（    ）

A.   B.   C.   D.

6.如图是某公司2018年1月至12月空调销售任务及完成情况的统计图，如10月份销售任务是400台，完成率为90%，下列叙述不正确的是（    ）

A.2018年3月的销售任务是400台   B.2018年月销售任务的平均值不超过600台

C.2018年总销售量为4870台    D.2018年月销售量最大的是6月份

7.在空间四边形中，若，，E为对角线AC的中点，下列判断正确的是（    ）

A.平面平面BDC   B.平面平面ABD

C.平面平面ADC   D.平面平面BED

8.三棱锥中，底面ABC，，，D为AB的中点，，则点D到面的距离等于（    ）

A.   B.   C.   D.

二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，满分24分.请将答案填在题中横线上.

9.某次能力测试中，10人的成绩统计如表，则这10人成绩的20%分位数为________.

10.掷两颗骰子，出现点数之和等于8的概率等于__________.

11.如图，，，，，则CD与EF的位置关系为___________.

12.A，B，C，D四名学生按任意次序站成一排，则A或B在边上的概率为___________.

13.为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额（单位：元）”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为，，，则它们的大小关系为___________.（用“>”连接）.

14.如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，，且，现有下列结论：①；②平面与平面的交线平行于直线；③异面直线，所成的角为定值；④三棱锥的体积为定值，其中错误结论的是___________.

三、解答题：本大题共5小题，满分44分。解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程.

15.如图，在三棱柱中，底面，，，，点D是AB的中点.

（1）求证：；

（2）求证：平面；

16.据平安保险公司统计，某地车主购买车损险的概率为0.5，购买第三者人身安全险的概率为0.6.购买两种保险相互独立，各车主间相互独立.

①求一位车主同时购买车损险与第三者人身安全险保险的概率.

②求一位车主购买第三者人身安全险但不购买车损险的概率.

17.某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100）作为样本（样本容量）进行统计，按照、、、，的分组作出频率分布直方图，已知得分在、的频数分别为8.2.

（1）求样本容量和频率分布直方图中的、的值；

（2）估计本次竞赛学生成绩的众数、中位数、平均数。

18.某市规定，高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格.某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段，，，，（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示

（Ⅰ）求抽取的20人中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数；

（Ⅱ）从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率.

19.如图，在四棱锥中，平面PDC，，，，，，

（Ⅰ）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；

（Ⅱ）求证：平面PBC；

（Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.

河东区2020—2021学年度第二学期高一期末质量检测

数学试题参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，满分32分.

二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，满分24分.

9.1    10.    11.    12.    13.    14.③

三、解答题：本大题共5小题，满分4分，解答应写出文字说明。演算步骤或推理过程.

15.（1）证明：因为，所以，，又底面，所以，，所以平面.

因为平面，

所以.

（2）证明：连接交于点，连接.

因为四边形为矩形，所以点为的中点.

又因为点D为AB的中点，所以.

因为平面，平面，

所以平面.

每问4分，可酌情给出步骤分

16.记表示事件“购买车损险”，表示事件“购买第三者人身安全险”，则由题意，得与，与，与，与都是相互独立事件，且，.

（1）记表示事件“同时购买两种保险”，则，所以.

（2）记表示事件“购买第三者人身安全险但不购买车损险”，则，所以.

17.（1）由题意可知，样本容量为，，；

（2）由频率分布直方图可知，本次竞赛学生成绩的众数为75，

设中位数为，∵，则，

由题意可得，解得，即本次竞赛学生成绩的中位数为71.

由频率分布直方图可知，本次竞赛学生成绩的平均数为.

18.解：（Ⅰ）由题意可知，

参加社区服务在时间段的学生人数为（人），

参加社区服务在时间段的学生人数为（人）.

所以参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为（人）.

（Ⅱ）设所选学生的服务时间在同一时间段内为事件A.

由（Ⅰ）可知，

参加社区服务在时间段的学生有4人，记为a，b，c，d；

参加社区服务在时间段的学生有2人，记为A，B.

从这6人中任意选取2人有ab，ac，ad，aA，aB，bc，bd，bA，bB，cd，cA，cB，dA，dB，AB

共15种情况.

事件A包括ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况.

所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率.

19.（Ⅰ）解：如图，由已知，故或其补角即为异面直线与所成的角.因为平面，所以.在中，由已知，得，故.所以，异面直线与所成角的余弦值为.

（Ⅱ）证明：因为平面PDC，直线平面PDC，所以.又因为，所以，又，所以平面PBC.

（Ⅲ）解：过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.

因为平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以为直线DF和平面PBC所成的角.

由于，，故，由已知，得.又，故，在中，可得，在中，可得.

所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.