2022中考数学三角形专题——内心题目汇编

这是一份2022中考数学三角形专题——内心题目汇编，共47页。试卷主要包含了下列命题是真命题的是，如图，点是的内心，若，则等于，如图，为的直径，点为半圆上一点等内容，欢迎下载使用。
三角形内心的题目汇编-2022.6
一．选择题（共8小题）
1．（2022•平江县一模）下列命题是真命题的是　　
A．菱形的对角线相等
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．圆内接四边形对角相等
D．三角形的内心是三角形三条边的垂直平分线的交点
2．（2022•莱州市一模）如图，点是的内心，若，则等于　　

A． B． C． D．
3．（2022•海曙区校级开学）如图所示，已知是的内切圆，点是内心，若，则等于　　

A． B． C． D．
4．如图，为的直径，点为半圆上一点（不与，重合），点为的内心，连接并延长交于点，于．下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）．其中正确的结论有　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2022•张家口一模）如图，在的正方形网格中，的顶点均在格点上，边，分别与网格线交于点，，连接，交于点，则点为的　　

A．内心 B．外心 C．重心 D．中心
6．（2022•邯郸一模）如图，在正方形中，点是的内心，连接并延长交于点，则的度数是　　

A． B． C． D．
7．如图，是的外接图，是的直径，为的内心，的延长线交于，若，则的值为　　

A． B． C． D．
二．填空题（共5小题）
8．如图，半径为2，圆心角为的扇形的弧上有一运动的点，从点向半径引垂线，交于点，设的内心为，当点在弧上从点运动到点时，线段的最小值为 　　．

9．（2022•红花岗区二模）如图，剪一个边长为2的等边三角形，让它沿直线在桌面上向右滚动，当等边三角形第9次落在直线上时，等边三角形的内心运动过的路程长为 　　．

10．（2022•福建模拟）如图，四边形为的内接四边形，是的内心，点与点关于直线对称，则的度数是 　　．

11．（2022•景县校级模拟）如图，在正方形中，是对角线（点与点，不重合）上的一个动点，过点作于点，于点，连接．
（1）当，时，　　；
（2）若，则当矩形的面积最大时，的内心到边的距离是 　　．

12．（2022•邗江区校级一模）如图，点是的内心，、是上的点，且，，若，则　　．

三．解答题（共9小题）
13．如图，点、分别在轴、轴上，且，为动点，且．
（1）如图①，在第一象限时，求的度数；
（2）如图②，在第四象限时，求的度数；
（3）在（2）的条件下，如图③，过作于，判断线段、、之间的数量关系，写出你的结论并证明．

14．（2022•巢湖市二模）如图，是的外接圆，点是的内心，延长交于点，连接、．
（1）求证：；
（2）若的半径为，，求的面积．

15．（2022•江北区开学）如图1，在中，，是的外按圆，过作，交于，连接交于点，延长至点，使，连接．
（1）求证：；
（2）如图2，，若点是的内心，求的长；
（3）在（2）的条件下，设，，求与之间的函数关系式．

16．（2022•长沙一模）如图1，半径为4的中，弦，点是优弧上的一个动点，点是的内心，连接交于点，交圆于点．
（1）求的度数；
（2）当时，求的长；
（3）当点在上从点出发顺时针运动一周时，求的内心点所经过的路径围成图形的面积．

17．（2022•平泉市一模）如图，在中，，，，于点，为边上的点（不与、重合），且于，，与相交于点．
（1）　　；　　；
（2）当时，求证；
（3）求面积的最小值；
（4）当的内心在的外部时，直接写出的取值范围．

18．（2022春•长沙期中）已知顶点为的抛物线经过点，且与轴交于，两点（点在点的右边）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若，、，是抛物线上的两点，当，时，均有，求的取值范围；
（3）若在第一象限的抛物线的下方有一个动点，满足，过作轴于点，设的内心为，试求的最小值．


19．（2022•临沭县一模）如图，钝角中，，为的外接圆，点为优弧上一点（不与，重合），连接，，交于点，的内心恰好落在上．
（1）求证：；
（2）连接，求证：；
（3）若，，求的长．

20．（2022春•开福区校级期中）如图，已知，是的平分线，是射线上一点，．动点从点出发，以的速度沿方向匀速运动，同时，动点从点出发，也以的速度沿方向匀速运动．连接，交于点．经过、、三点作圆，交于点，连接、．设运动时间为，其中．
（1）若，求的值；
（2）当为等腰三角形时，求的值；
（3）若的内心为点，求线段长度的最小值．

21．在学习“角平分线的性质定理”的知识点时，刘老师编写了本书的导学案，请按要求完成以下任务：
已知：如图1，是的平分线，点是上的任意一点，，，垂足分别为点和点，求证：．
（1）任务一：请写出证明过程
小明的证明过程如下：
证明：是的角平分线，，
于，于，，
在与中，


，；
请回答：①小明得出的依据是 　　（填序号）．
．
．
．
．
．
②根据证明，可得出角平分线的性质定理为 　　；
（2）任务二：根据定理初步应用
如图2，已知中，，平分，且．若，求出点到边的距离；
（3）任务三：拓展研究
如图3，在中，，，，点是的内心，点、分别在边、上，且，连接，则的周长为 　　．



三角形内心的题目汇编-2022.6
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2022•平江县一模）下列命题是真命题的是　　
A．菱形的对角线相等
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．圆内接四边形对角相等
D．三角形的内心是三角形三条边的垂直平分线的交点
【分析】对各个命题逐一判断后找到正确的即可确定真命题．
【解答】解：、菱形的对角线垂直，原命题是假命题；
、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是真命题；
、圆内接四边形对角互补，原命题是假命题；
、三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，原命题是假命题；
故选：．
【点评】此题主要考查了命题与定理，熟练利用相关定理以及性质进而判定举出反例即可判定出命题正确性．
2．（2022•莱州市一模）如图，点是的内心，若，则等于　　

A． B． C． D．
【分析】根据三角形内角和定理得到，根据内心的概念得到，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：，
，
点是的内心，
，，
，
，
故选：．
【点评】本题考查的是三角形的内切圆与内心，掌握三角形的内心是三角形三条角平分线的交点是解题的关键．
3．（2022•海曙区校级开学）如图所示，已知是的内切圆，点是内心，若，则等于　　

A． B． C． D．
【分析】先利用三角形内角和定理求出，再利用点是的内心可得平分，平分，从而可求出，最后再利用三角形内角和定理进行计算即可解答．
【解答】解：，
，
是的内切圆，点是内心，
平分，平分，
，，


，


，
故选：．
【点评】本题考查了三角形内切圆与内心，圆周角定理，熟练掌握三角形内心的意义是解题的关键．
4．如图，为的直径，点为半圆上一点（不与，重合），点为的内心，连接并延长交于点，于．下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）．其中正确的结论有　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】对于（1），连接，根据“同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”得到判断；对于（2），连接、，根据三角形的外角定理、三角形的内心的定义证得的两边；根据勾股定理求得，从而得到判断；对于（3），利用反证法得到判断；对于（4），根据直角三角形内切圆半径公式、圆的半径与直径是数量关系求得，然后借助内切圆半径公式得到判断，从而得到答案．
【解答】解：（1）如图，连接．

点是半圆的中点，
．
又，
；
故本选项正确；
（2）连接、．
点是半圆的中点，
，
．
设，则，
．
；
故本选项正确；
（3）设．
点为的内心，
、分别是、的角平分线，
．
若，则有，
．
点是圆上一动点，
不能保证；
与不一定相等．
故本选项错误；
（4）根据直角三角形内切圆半径公式知，，则，
求和得，，
；
故本选项正确；
综上所述，正确的结论有3个．
故选：．
【点评】本题考查了圆的性质的综合运用，熟练掌握圆的有关性质是解决本题的关键．
5．（2022•张家口一模）如图，在的正方形网格中，的顶点均在格点上，边，分别与网格线交于点，，连接，交于点，则点为的　　

A．内心 B．外心 C．重心 D．中心
【分析】三角形的重心是三角形三条中线的交点．依据重心的定义进行判断即可．
【解答】解：由图看出，，分别是，的中点，
，都是中线，
点为的重心．
故选．
【点评】本题主要考查了三角形的重心，三角形的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．
6．（2022•邯郸一模）如图，在正方形中，点是的内心，连接并延长交于点，则的度数是　　

A． B． C． D．
【分析】由正方形的性质可求得，由点是的内心，可得，根据三角形的内角和定理即可求出的度数．
【解答】解：四边形是正方形，
，，
，
点是的内心，
是的平分线，
，
．
故选：．
【点评】本题主要考查了三角形内切圆与内心，正方形的性质，三角形内角和定理，根据正方形的性质求得及熟记三角形内心的定义是解决问题的关键．
7．如图，是的外接图，是的直径，为的内心，的延长线交于，若，则的值为　　

A． B． C． D．
【分析】连接，延长交圆于点，连接，根据内心性质可得，所以，设，则，然后根据勾股定理可得，然后利用锐角三角函数即可解决问题．
【解答】解：如图，连接，延长交圆于点，连接，

为的内心，
，，
，
，
，，
，
，
，过，
，
，
是的直径，
，
设，则，
，
．
的值为．
故选．
【点评】本题考查了三角形内切圆与内心，圆周角定理，三角形外接圆与外心，解直角三角形，解决本题的关键是综合运用以上知识．
二．填空题（共5小题）
8．如图，半径为2，圆心角为的扇形的弧上有一运动的点，从点向半径引垂线，交于点，设的内心为，当点在弧上从点运动到点时，线段的最小值为 　　．

【分析】连接、、，先由的内心为可得到的度数，并且易证，从而得到，进而判断出点的运动轨迹为，再利用圆外一点到圆上的最小值得到的最小值为，过点作的延长线于点，过点作于点，则四边形是矩形，最后利用矩形的性质和勾股定理即可计算、，即可计算出结果．
【解答】解：如图，连接、、，
，
，
的内心为，
，为定值，
易证：，
，为定值，
点在以为弦的圆上，
如图，以为斜边，在下方作等腰直角三角形，以为半径作，
劣弧是点的运动路径，
连接，交于点，此时的最小值为，
过点作的延长线于点，过点作于点，则四边形是矩形，

，，
在等腰直角中，，
，，
，
在中，，
，
的最小值为：．
故答案为：．
【点评】本题主要考查三角形内心的性质、全等三角形的性质与判定，圆周角定理，圆内接四边形的性质、辅助圆等，解题关键是判断出点的运动轨迹．
9．（2022•红花岗区二模）如图，剪一个边长为2的等边三角形，让它沿直线在桌面上向右滚动，当等边三角形第9次落在直线上时，等边三角形的内心运动过的路程长为 　　．

【分析】根据题意求得点移动一次的轨迹的长度，将结论乘以9即可得出结论．
【解答】解设初始位置的等边三角形为设第一次等边三角形落在上的三角形的内心为，
连接，，过点作于点，如图，

点，为等边三角形的内心，
，，
．
点移动一次的轨迹为以等边三角形的一个顶点为圆心，的长为半径，圆心角的度数为的弧，
，为等边三角形，，
．
．
点移动一次的弧长为．
当等边三角形第9次落在直线上时，等边三角形的内心运动过的路程长为：，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内心的性质，点的轨迹，依据题意求得点移动一次的轨迹的长度是解题的关键．
10．（2022•福建模拟）如图，四边形为的内接四边形，是的内心，点与点关于直线对称，则的度数是 　　．

【分析】连接，，，，证得四边形是菱形，根据菱形的性质和三角形内心的定义推出，设，根据圆周角定理，结合圆内接四边形的性质和三角形内角和定理求出，即可求出．
【解答】解：连接，，，，
点与点关于直线对称，
，，
，
，
四边形是菱形，
，
是的内心，
，，
，
设，
，，
，，
，，
，
解得，
，
故答案为：．

【点评】本题主要考查了三角形的内心与内切圆，圆周角定理，圆内接四边形的性质，轴对称的性质，菱形的性质和判定，正确作出辅助线，证得四边形是菱形是解决问题的关键．
11．（2022•景县校级模拟）如图，在正方形中，是对角线（点与点，不重合）上的一个动点，过点作于点，于点，连接．
（1）当，时，　　；
（2）若，则当矩形的面积最大时，的内心到边的距离是 　　．

【分析】（1）根据正方形的性质得到，．根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论；
（2）根据正方形的性质得到，推出是等腰直角三角形，求得，设，则，根据二次函数的性质得到当，时，矩形的面积最大，求得，推出是等腰直角三角形，设的内心到边的距离为，根据切线的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）四边形为正方形，
，．
在和中，
，
．
，
，．
，
四边形是矩形，
，
，
故答案为：；
（2）四边形是正方形，
，
是等腰直角三角形，
，
设，则，
，
当，时，矩形的面积最大，
即，
，点为的中点，
，
是等腰直角三角形，
设的内心到边的距离为，
，
故的内心到边的距离是，
故答案为：．

【点评】本题考查了三角形的内接圆与内心，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
12．（2022•邗江区校级一模）如图，点是的内心，、是上的点，且，，若，则　110　．

【分析】连接、、，根据点为内心，证明，可得，同理可证，可得，进而可求的度数．
【解答】解：如图，连接、、，

点为内心，
，
在和中，
，
，
，
同理可得：，
，
，
，
，
，
故答案为：110．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心、等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握内心的定义．
三．解答题（共9小题）
13．如图，点、分别在轴、轴上，且，为动点，且．
（1）如图①，在第一象限时，求的度数；
（2）如图②，在第四象限时，求的度数；
（3）在（2）的条件下，如图③，过作于，判断线段、、之间的数量关系，写出你的结论并证明．

【分析】（1）根据，，可得、、、四点共圆，从而转换为求 的度数；
（2）判断、、、四点共圆，根据“对角互补”，可得的度数；
（3），在上取点使，连接，证明即可．
【解答】解：（1）如图①，
，，
，
，
，
，
、、、四点共圆，
；
（2）如图②，过点作于点，连接，
，，
，
点为的中点，
，
、、、四点共圆，
，
．
（3），
证明：如图③，在上取点使，连接，
，
，
，
，，
，
，
，
在和中，

，
，
，
即．


【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．
14．（2022•巢湖市二模）如图，是的外接圆，点是的内心，延长交于点，连接、．
（1）求证：；
（2）若的半径为，，求的面积．

【分析】（1）根据三角形的内心可得平分，平分，进而可以解决问题；
（2）连结、、，证明为正三角形，进而可以解决问题．
【解答】（1）证明：点是的内心，
平分，
，
，
平分，
，
，
，
，，
，
，
；
（2）解：当时，为钝角三角形，
圆心在外，
如图，连结、、，

，
，
为正三角形，
，
，
．
的面积为．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形外接圆与外心，解决本题的关键是掌握内心与外心．
15．（2022•江北区开学）如图1，在中，，是的外按圆，过作，交于，连接交于点，延长至点，使，连接．
（1）求证：；
（2）如图2，，若点是的内心，求的长；
（3）在（2）的条件下，设，，求与之间的函数关系式．

【分析】（1）连接，由，可得，根据，，可得，即得，；
（2）由，，得，有，而，即得，连接，由点为内心，可得，即得；
（3）过作于，过作于，由，可证明，，即知，根据，有，，可得，而，即可得，从而，又，即得，可得．
【解答】（1）证明：连接，如图：

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，，
，
，
，
，
，
连接，如图：

，，
点为内心，
，
又，
，
，
；
（3）解：过作于，过作于，如图：

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
，，
，
，即，
，
，，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查圆的综合应用，涉及等腰三角形性质，相似三角形判定与性质，锐角三角函数，三角形内心等知识，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形与相似三角形．
16．（2022•长沙一模）如图1，半径为4的中，弦，点是优弧上的一个动点，点是的内心，连接交于点，交圆于点．
（1）求的度数；
（2）当时，求的长；
（3）当点在上从点出发顺时针运动一周时，求的内心点所经过的路径围成图形的面积．

【分析】（1）如图1，连接，，过点作于点，根据勾股定理计算的长，可得，由于内心是角平分线的交点，可得结论；
（2）如图2，连接交于，连接，，过点作于，作于，连接，证明，列比例式可得的长，证明是等边三角形，最后根据含的直角三角形的性质可得结论；
（3）如图3，先确定当点在优弧上的运动时，的内心点所经过的路径为以为圆心，圆心角为的扇形的弧；如图4，同理可得：当点在劣弧上的运动时，的内心点所经过的路径为以为圆心，圆心角为60的扇形的弧；根据面积差可得结论．
【解答】解：（1）如图1，连接，，过点作于点，

，
，
，
，
，
，
是的内心，
平分，
；
（2）如图2，连接交于，连接，，过点作于，作于，连接，

是的内心，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，，
是等边三角形，
，
中，，，
，
，
，
中，，
；
（3）如图3，连接，，，

，，
又，，
，
，
，
当点在优弧上的运动时，的内心点所经过的路径为以为圆心，圆心角为的扇形的弧；
如图4，同理可得：当点在劣弧上的运动时，的内心点所经过的路径为以为圆心，圆心角为60的扇形的弧；

如图5，连接，，，，则过点，

的内心点所经过的路径围成图形的面积


．
【点评】本题是圆的综合题，考查圆周角定理，含的直角三角形的性质和判定，相似三角形的判定和性质，扇形的面积公式，等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造等腰三角形解决问题，属于中考常考题型．
17．（2022•平泉市一模）如图，在中，，，，于点，为边上的点（不与、重合），且于，，与相交于点．
（1）　　；　　；
（2）当时，求证；
（3）求面积的最小值；
（4）当的内心在的外部时，直接写出的取值范围．

【分析】（1）先解直角三角形，求得的值，再在直角三角形中，利用互余关系求得即可；
（2）先利用等腰三角形的“三线合一“性质证明，再利用证明；
（3）先在中，由三角函数求得，再利用三角形的面积公式得出，然后由当时，最短，最小，求得的值，则面积的最小值可得；
（4）当内心恰好落在上时，设的内心为，连接，利用三角形的内心性质证明是等边三角形，从而可知，由（1）可知，从而可得当的内心在的外部时，的范围．
【解答】（1）解：，，，，
，
，
，
，
，
故答案为：，；
（2）证明：当时，
于，
，
，，
，
又，
；
（3）解：，，，
，
，
当时，最短，最小，此时，，
，
，
面积的最小值是；
（4）解：当内心恰好落在上时，设的内心为，连接，如图：

是的内心，
平分，平分，
，
，
，
又，
是等边三角形，
，
为上的一点，不与、重合，由（1）可知，
当的内心在的外部时，．
【点评】本题是三角形综合题，考查了三角形的内心的性质、解直角三角形、全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定等知识点，熟练掌握相关性质定理及其综合运用是解题的关键．
18．（2022春•长沙期中）已知顶点为的抛物线经过点，且与轴交于，两点（点在点的右边）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若，、，是抛物线上的两点，当，时，均有，求的取值范围；
（3）若在第一象限的抛物线的下方有一个动点，满足，过作轴于点，设的内心为，试求的最小值．


【分析】（1）根据题意先设出抛物线的顶点坐标，再代入点的坐标，即可得出抛物线的解析式：
（2）根据抛物线的对称性，当和时，函数值相等，根据题干可得出或，解该不等式可得出结论；
（3）由点是内心联想到过点作三边的垂线段、、，根据内心到三角形三边距离相等即有．此时以点为圆心、为半径长的即为△内切圆，根据切线长定理可得，，．设点坐标为，可用含、的式子表示、的
长，又由，即可用勾股定理列得关于、的方程．化简再配方后得到式，从图形上可理解为点与定点，的距离为，所以点的运动轨迹为圆弧．所以当点在连线上时，最短．
【解答】解：（1）抛物线的顶点为，
设抛物线的解析式为：，
抛物线经过点，
，解得，
抛物线的解析式为：；
（2）抛物线开口向下，对称轴为直线，
当和时，函数值相等，
当，时，均有，
，
．
（3）如图，过点作轴于点，于点，于点，

轴于点，
，
四边形是矩形，
点为的内心，
，，，，
矩形是正方形；
设点坐标为，
，，
，
，
，
，
，
，
，
化简得，
配方得：，
点与定点，的距离为，
点在以点，为圆心，半径为的圆在一象限的弧上运动，
当点在线段上，最小，
，
．
的最小值为：．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，
19．（2022•临沭县一模）如图，钝角中，，为的外接圆，点为优弧上一点（不与，重合），连接，，交于点，的内心恰好落在上．
（1）求证：；
（2）连接，求证：；
（3）若，，求的长．

【分析】（1）利用内心为角平分线的交点，等腰三角形的性质，根据内错角相等，两直线平行即可说明结论成立；
（2）利用内心的性质，三角形的外交的性质，根据等角对等边即可判定结论成立；
（3）利用相似三角形的判定与性质，通过证明，即可求得，利用（2）的结论即可求解．
【解答】（1）证明：，
，
点是的内心，
平分，
，
，
；
（2）证明：点是的内心，
是的平分线，
．
，，
．
，
．
，
，
；
（3）解：，，
，
，
，
．
，，
，
，
．
由（2）知：，
，
．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，圆周角定理，三角形的内心，相似三角形的判定与性质，准确利用角的相互关系进行推理是解题的关键．
20．（2022春•开福区校级期中）如图，已知，是的平分线，是射线上一点，．动点从点出发，以的速度沿方向匀速运动，同时，动点从点出发，也以的速度沿方向匀速运动．连接，交于点．经过、、三点作圆，交于点，连接、．设运动时间为，其中．
（1）若，求的值；
（2）当为等腰三角形时，求的值；
（3）若的内心为点，求线段长度的最小值．

【分析】（1）先判断出，进而得出，最后用三角函数建立方程，即可求出答案；
（2）先判断出，再分两种情况：
①当时，，进而求出，在上取一点，则，，最后用，建立方程求解，即可得出答案；
②当时，先求出，继而判断出，即可求出答案；
（3）过点作轴，轴于，判断出，进而求出，进而求出，再用等面积法求出，即可求出答案．
【解答】解：（1）根据圆周角定理得，，
，
，
由运动知，，，
，
在中，，
，
即的值为3；

（2）是的角平分线，且，
，
，
为等腰三角形，
①当时，如图1，，

，
在上取一点，
则，
，
，
，
，
，
；
②当时，如图2，

，
，
，
，
，
，
，
即的值为6或；

（3）如图3，
过点作轴，轴于，
，
是的平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
过点作于，于于，连接，，
点是的内心，
，设，

，



，
，
当时，．
即线段长度的最小值为6．

【点评】此题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，锐角三角函数，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，用分类讨论的思想解决问题是解（2）的关键，求出点的坐标是解（3）的关键．
21．在学习“角平分线的性质定理”的知识点时，刘老师编写了本书的导学案，请按要求完成以下任务：
已知：如图1，是的平分线，点是上的任意一点，，，垂足分别为点和点，求证：．
（1）任务一：请写出证明过程
小明的证明过程如下：
证明：是的角平分线，，
于，于，，
在与中，


，；
请回答：①小明得出的依据是 　　（填序号）．
．
．
．
．
．
②根据证明，可得出角平分线的性质定理为 　　；
（2）任务二：根据定理初步应用
如图2，已知中，，平分，且．若，求出点到边的距离；
（3）任务三：拓展研究
如图3，在中，，，，点是的内心，点、分别在边、上，且，连接，则的周长为 　　．


【分析】（1）①小明得出的依据是；
②由是的角平分线，于，于得，可知角平分线的性质定理为角平分线上的点到这个角两边的距离相等；
（2）过作于，根据．，得，又平分，，，即得，点到边的距离是9；
（3）过作于，于，与，连接、、，过作交于，根据点是的内心，得，由面积法可得，证明，得，，即可证明，得，故的周长．
【解答】解：（1）①小明得出的依据是，
故答案为：；
②由是的角平分线，于，于得，
故答案为：角平分线上的点到这个角两边的距离相等；
（2）过作于，如图：

．，
，
平分，，，
，
点到边的距离是9；
（3）过作于，于，与，连接、、，过作交于，如图：

，，，
，
点是的内心，
，，，
，
，
，
，
，，
四边形是正方形，，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
又，
，
，
的周长



．
故答案为：4．
【点评】本题考查三角形综合应用，涉及全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到这个角两边的距离相等及三角形内心等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
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