2021德州高一下学期期末考试数学试题含答案

德州市2020-2021学年高一下学期期末考试

数学试题

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1—2页，第II卷3-4页，共150分，测试时间120分钟.

注意事项：

选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在测试卷上.

第I卷（共60分）

一、选择题（本大题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知，求（　　）

A．             B．          C．                  D．

2.已知角的终边经过点,则（　　）

A． B． C． D． 

3.已知向量,，满足,且,则（　　）

A．        B．         C．       D．

4.设是两条不重合的直线,是两个不同的平面，已知,则下列说法正确的是（  ）

A．若,则              B．若,则     

C．若,则              D．若 则

5.已知,则的值为（   ）

A．       B．        C．          D．

6.已知的面积为，角所对的边分别为,,且,则为（  ）

A．             B．            C．             D．

7.在正方体,中，点为的中点，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为（  ）

A．             B．            C．             D．

8.已知是所在平面内的一动点且满足，则动点的轨迹一定通过的（  ）

A．重心              B．内心            C．  外心           D．垂心

二、多选题（本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.在中，角所对的边分别为，由已知条件解三角形，其中有唯一解的是（  ）

A．          B．        

C．              D．

10.下列选项中，与的值相等的有（  ）

A．                    B．        

C．              D．

11.已知函数，将图象上所有点向右平移个单位，然后纵坐标不变,横坐标伸长为原来的倍，得到函数的图象.若为偶函数，且最小正周期为,则下列说法正确的是（  ）

A．的图象关于对称

B．在上单调递增

C．的周期为

D．在上有个零点

12.已知正方的棱长为,如图，点分别为的中点，则下列说法正确的是（  ）

A．平面平面

B．直线与直线所成角的余弦值为

C．平面截正方体所得截面的面积为

D．点与点到平面的距离相等

第II卷（共90分）

三、填空题（本题共4小题,每小题5分，共20分.）

13.在中，角所对的边分别为，且,,则外接圆的半径为      ．

14.已知两单位向量,满足,且,,则             ．

15.函数八的图象如图所示，则                  ．

16. 在中，,,平面外一点满足，则三棱锥外接球的表面积是         .

四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.在平面直角坐标系中，已知点.

(1)求及；

(2)设实数满足求的值.

18.已知向量）,,其中，，且函数周期为.

（1）若,且,求的值；

（2）方程在上有且仅有两个不同的实数解,求实数的取值范围.

19.如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，分别为棱的中点，且平面平面.

(1)求证:平面；

(2)若直线与平面所成角的正切值为,求四棱锥的体积.

20.在中，角所对的边分别为,且.

(1)求角;

(2)若向量，求的取值范围.

21.如图，四边形是平行四边形,,,,，为的中点.

（1）求证:平面；

（2）求证:平面；

（3）求点到平面的距离.

22.如图，某小区有一空地，要规划设计成矩形,米，拟在和两个区域内各自内接一个正方形和正方形用作喷泉水池，并且这两个正方形恰好关于线段的中点成中心对称，为了美观，矩形区域除了喷泉水池其余都种植鲜花.设表示矩形的面积，表示两个喷泉水池的面积之和，，现将比值称为“规划指数”，请解决以下问题：

(1)试用表示和；

(2)当变化时，求“规划指数”取得最小值时角的大小.

德州市2020-2021学年高一下学期期末考试

数学试题参考答案

一、选择题(本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

二、多选题(本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0分)

9.    10.  11.   12.

三、填空题(本题共4小题,每小题5分，共20分.)

13.      14.       15.            16.

四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.解：(l),

,

（2）,

,

18.（1）解:⑴

因为,

所以,

所以 

又因为

所以 

所以

（3）方程在上有且仅有两个不同的实数解等价于函数与在有且仅有两个不同的交点,

而,在上为增函数，在为减函数

当时，，当时，

所以

19. 证明:取的中点,连接,

因为为棱的中点，

所以,

又为的中点，所以，

所以，，即四边形为平行四边形

所以

又因为平面，平面

所以平面

解:取的中点,连接,则有

又因为平面平面,平面,平面平面

所以平面.

所以与平面所成的角为

因为

则,而

所以,

所以

20.解：(1)在中,

由正弦定理: 

因为,

故

从而

又,

所以

（2）

因为

所以

所以

所以

21.证明：(1)取中点,连接

因为分别为的中点

所以

又为中点,,而,

所以

所以四边形为平行四边形，

所以

因为,平面,而平面

所以平面平面

因为平面

所以平面

(2)在中,,,

所以

故

在中,

从而

因为，平面,平面

所以平面

(3)解:连接交于点,则为的中点,

所以点与点到平面的距离相等，令该距离为,

所以有即

由(2)知平面,,

所以

在中,

所以，所以

所以点到平面的距离

22.解：(1)设正方形的边长为米，则

,

,

,

而，

即,

解得

而

(2)

令，

又因为在单调递减

所以当时，即时，有最小值，最小值为