2021潍坊高一下学期期末考试数学试题含答案

潍坊市2020-2021学年高一下学期期末考试

数学

2021．7

本试卷共4页．满分150分．考试时间120分钟．

注意事项：

1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．

3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知角的终边经过点，则（    ）

A． B． C． D．

2．在复平面内，若复数（其中是虚数单位），则复数对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．敲击如图1所示的音叉时，在一定时间内，音叉发出的纯音振动可以用三角函数表达为（其中，表示时间，表示纯音振动时音叉的位移）．图2是该函数在一个周期内的图像，根据图中数据可确定和的值分别为（    ）

A．和 B．和 C．和 D．和

4．若，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

5．已知水平放置的四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，，，则原四边形的面积为（    ）

A． B． C． D．

6．设为锐角，若，则（    ）

A． B． C． D．

7．南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”，其求法是：“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即，其中，，是内角，，的对边．若，，则的面积为（    ）

A． B． C．4 D．

8．如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（    ）

A．船头方向与水流方向垂直 B．

C．  D．该船到达对岸所需时间为3分钟

二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．

9．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”．若复数（，为虚数单位）为“等部复数”，则下列说法正确的是（    ）

A．  B． 

C．  D．复数是纯虚数

10．如图，若为正六棱台，则下列说法正确的是（    ）

A．直线与是异面直线 

B．直线与平行

C．线段与的延长线相交于一点 

D．点到底面的距离大于点到底面的距离

11．如图，已知点是边长为1的等边内一点，满足，过点的直线分别交，于点，．设，，则下列说法正确的是（    ）

A．  B．点为的重心

C．  D．

12．已知函数满足，则下列说法正确的是（    ）

A．函数的最小正周期为

B．函数的图像向右平移个单位得到函数的图像

C．若时，函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是

D．函数的值域为

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知，，若，则______．

14．能够说明“设，，若，则”是假命题的一组角，的值依次为______．

15．如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个观测点与．现测得，，，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高为______m．

16．如图，已知圆锥的底面半径的长度为1，母线的长度为2，半径为的球与圆锥的侧面相切，并与底面相切于点，则______；若球与球、圆锥的底面和侧面均相切，则球的表面积为______．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知复数，．

（1）求和的值；

（2）若是关于的实系数方程的一个根，求实数，的值．

18．（12分）在中，，，分别是角，，的对边，_______________，

从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．

（1）求角的大小；

（2）若，的面积，求的周长．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

19．（12分）某同学在劳动实践课上制作了一个如图所示的容器，其上半部分是一个正四棱锥，下半部分是一个长方体，已知正四棱锥的高是长方体高的，且底面正方形的边长为4，．

（1）求的长及该长方体的外接球的体积；

（2）求正四棱锥的斜高和体积．

20．（12分）在中，，，分别是角，，的对边，，．

（1）求角的大小及外接圆的半径的值；

（2）若是的内角平分线，当面积最大时，求的长．

21．（12分）如图1，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点，平面将三棱柱分成两个新的直三棱柱（如图2，3所示）．

（1）若两个新直三棱柱的表面积之和为72，求实数的值；

（2）将图2和图3两个直三棱柱重新组合成一个直四棱柱，若组成的所有直四棱柱的表面积都小于132，求实数的取值范围．

22．（12分）已知向量，，函数．

（1）求函数的解析式和单调递增区间；

（2）若，，分别为三个内角，，的对边，，，，试判断这个三角形解的个数，并说明理由；

（3）若时，关于的方程恰有三个不同的实根，，，求实数的取值范围及的值．

潍坊市2020-2021学年高一下学期期末考试

数学参考答案及评分标准

2021．7

一、单项选择题（每小题5分，共40分）

1-4 BDDC 5-8 BCAB

二、多项选择题（每小题5分，共20分）

9．AC     10．ABC     11．BD     12．ABD

三、填空题（每小题5分，共20分）

13．     14．，（答案不唯一）     15．10     16．  （第一空2分，第二空3分）

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17．解：（1）∵，，∴，

∴．

（2）∵是关于的实系数方程的一个根，∴，

整理得，∴，解得∴，．

18．解：（1）选①，∵，∴，

∴，∵，∴．

选②，由正弦定理得：，

在中，∵，∴，∴，

∴，∴，∴，

∵，∴．

（2由（1）知，∵，，∴，

又，∴，

∴的周长为．

19．解（1）∵几何体为长方形且，，

∴，

记长方形外接球的半径为，线段就是其外接球直径，

则，∴，∴外接球的体积为．

（2）如图，设，交于点，连结，

∵为正四棱锥，∴为正四棱锥的高，

又长方体的高为，∴，

取的中点，连结、，则为正四棱锥的斜高，

在中，，，∴，

∵，，∴，

∴正四棱锥的斜高为，体积为．

20．解：（1）由，得，

∴，∴，

∵，∴，∴，解得，

由正弦定理得，，解得．

（2）在中，由余弦定理得，，

∴，∴，当且仅当时等号成立．

此时最大，且为等腰三角形，，∴，，

在中，由正弦定理得：，∴．

21．解：（1）∵，为的中点，∴，

又，，∴，

易知三棱柱被平面分割成两个相同的直三棱柱，

每个直三棱柱的表面积为：，

∴两个新直三棱柱的表面积之和，解得：．

（2）由题可知：图2、图3的两个直三棱柱重新组合成一个直四棱柱时，共有4种可能的情形：

①当底面是边长为，的矩形，侧棱长为的直四棱柱时，

表面积，

②当底面是边长为，的平行四边形，侧棱长为的直四棱柱时，

表面积，

③当底面是边长为，的平行四边形，侧棱长为的直四棱柱时，

表面积，

④当底面是边长为，的四边形（非矩形），侧棱长为的直四棱柱时，

表面积，

由上可知：表面积的最大值为，由题意得：，解得：．

∴实数的取值范围是．

22．（1）解：由题意知，，

令，解得：，

∴的单调递增区间为．

（2）∵，∴，，即，，

又∵，∴．

假设三角形存在，由正弦定理可得，，∴，

①当时，，∵，∴三角形无解．

②当时，，∴，三角形有唯一解．

③当时，，此时，

∵，∴有两个不同的值，故三角形有两解．

④当时，，∴，故三角形有唯一解．

综上所述，当时，三角形无解；当或时，三角形有唯一解；

当时，三角形有两解．

（3）∵，

∴方程可化为，

即，

化简得：（*），即，

∴或，

又时，方程（*）有三个不同的实根，且当时，，

∴在上有两个不同的实根为，，

又∵，∴，∴，解得：，

易知，关于对称，∴，即，∴．

综上所述，的取值范围为，的值为．