2021合肥六校联盟高二下学期期末联考理科数学试题含答案

合肥六校联盟2020-2021学年第二学期期末联考

高二年级数学试卷(理)

(时间：120分钟满分：150分)

一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.复数（    ）

A.    B.    C.    D.

2.已知全集，集合，，则（    ）

A.    B.    C.    D.

3.“，”是“”的（    ）

A.充分不必要条件    B.必要不充分条件

C.充要条件    D.既不充分也不必要条件

4.在中国古建筑中，为了保持木构件之间接榫(“榫”，即指木制构件利用凹凸方式相连接的部分)的地方不活动，需要将楔子捶打到榫子缝里.如上图是一个楔子的三视图，则这个楔子的体积是（    ）

A.    B.    C.    D.

5.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（    ）

A.    B.    C.    D.

6.若单位向量，满足，则与的夹角为（    ）

A.    B.    C.    D.

7.若函数是偶函数，其中，则函数的图象（    ）

A.关于点对称

B.可由函数的图象向左平移个单位得到

C.关于直线对称

D.可由函数的图象向左平移个单位得到

8.等差数列{an}中，若，则的值是（    ）

A.14    B.15    C.16    D.17

9.已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

10.用这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（    ）

A.324    B.328    C.360    D.648

11.已知双曲线右焦点为为双曲线左支上一点，点，则周长的最小值（    ）

A.    B.    C.    D.

12.已知函数，则方程实根的个数为（    ）

A.2    B.3    C.4    D.5

二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知实数，满足则的最大值是______.

14.二项式的展开式中的常数项是__________.(用数字作答)

15.在半径为的圆上两点，且，在该圆上任取一点，则使为锐角三角形的概率为__________.

16.在正方体中，为底面的中心，为线段上的动点(不包括两个端点)，为线段的中点现有以下结论：

①与是异面直线；

②过，，三点的正方体的截面是等腰梯形；

③平面平面；

④平面.

其中正确结论是__________.

三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.(本题满分10分).已知数列的前项和是，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）记，求数列的前项和.

18.(本小题满分12分)已知函数为奇函数，且函数的图象的两相邻对称轴之间的距离为.

（1）求的值；

（2）将函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，求函数的单调递增区间.

19.(本题满分12分)请在①，②，③这三个条件中任选两个，将下面问题补充完整，并作答.

问题：在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且___________，___________，计算△ABC的面积.

(注：只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择多种情况作答，以第一种情况的解答计分.)

20.(本小题满分12分)如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，平面平面，，且，的中点分别是.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

21.(本小题满分12分)已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上.

（1）求的方程；

（2）记椭圆的下顶点为，过点的直线(不经过点)与相交于两点.试问直线与直线的斜率之和是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

22.(本小题满分分)已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，求证：.

合肥六校联盟2020-2021学年第二学期高二年级期末联考

数学试卷(理)答案

一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1-5.DBAAB    6-10BDCCB    11-12.AB

二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.6   14.60   15.   16.②③

三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分10分)

（1）当时，，，∴；

当时，，

两式相减得，

即，又

，

∴数列是以为首项，为公比的等比数列.

∴.

（2）由（1）知，

∴

18.(本小题满分12分)

【解析】（1）

因为为奇函数，所以，

又可得所以，由题意得，所以.

故.因此.

（2）将的图象向右平移单位后，得到的图象，

所以

当即时，单调递增，

因此的单调递增区间为.

19.(本题满分12分)（1）若选①，②，

即，

所以的面积.

（2）若选②，③

由，得

又

所以的面积.

（3）若选①，③

由，得，

即，

所以的面积.

20.(本小题满分12分)（1）证明：连接，易证四边形为正方形，

所以.

因为的中点分别是，所以

所以

因为的中点是，所以.

因为平面平面，平面平面平面

所以平面.

又平面，所以

又因为，所以平面.

（2）解：法一：由（1）知两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系.

因为

所以

则点

所以

由（1）知，又平面

所以平面，所以为平面的一个法向量；

又设平面的法向量为，

由得得

取，得.

所以

由图知二面角为锐角，

所以二面角的余弦值为

法二：由（1）知

又平面

所以平面0

过点作，垂足为，连接，则即为二面角

的平面角.

由，，易得.

由，易得

在中，，

.

因为平面平面，所以.

在中，

则.故二面角的余弦值.

21.(本小题满分12分)解：（1）设椭圆的焦距为，由题意得：

故椭圆的方程为

（2）由题意知，直线的斜率存在，不妨设直线的方程为，

设两点的坐标为，

联立

由是上方程的两根得：

又

故直线与直线的斜率之和为定值，且定值为

21.(本小题满分12分)（1）解：的定义域为.

令，方程的判别式，

（i）当，即时，恒成立，

即对任意，

所以在上单调递增.

（ii）当，即或.

①当时，恒成立，即对任意，

所以在上单调递增.

②当时，由，解得.

所以当时，；当时，；当时，，

所以在上，，

在上，，

所以函数在和上单调递增；

在上单调递减.

综上，当时，在上单调递增；

当时，在和上单调递增，在上单调递减.

（2）证明：由，得，所以，

因为，所以，

令，则，

所以，所以.

所以要证，只要证，即证.

由（1）可知，当时，所以在上是增函数，

所以，当时，，即成立，

所以成立.