安徽省名校联盟2020-2021学年高二下学期期末联考理科数学试题

这是一份安徽省名校联盟2020-2021学年高二下学期期末联考理科数学试题，共17页。试卷主要包含了9% B，直线l过点等内容，欢迎下载使用。

2020－2021学年第二学期期末考试卷
高二理科数学
满分：150分 考试时间：120分钟
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清晰．
3.请按照题序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效；在草稿纸、试题卷上的答题无效．
4.保持答题卡卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知i为虚数单位，复数z满足（2＋3i）z＝－3＋2i，则z为（ ）
A.i B. －i C.1＋i D.1－i
3.若，则（ ）
A. B.
C. D.
4.某人在网上购买了100只青岛产的虾，开箱打开发现：虾有白色、灰色两种颜色，统计后并制成下面的表：

中小虾
大虾
白色
40
15
灰色
20
25
则可以认为大虾与其颜色有关的概率
参考公式：，其中n＝a＋b＋c＋d．

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
A．至多为99.9% B.至少为99.5% C.至多为0.5% D.至少为0.1%
5.执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）

A.4 B.8 C.16 D.64
6.直线l过点（2，1），且与双曲线有且只有一个公共点，则这样的不同直线的条数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
7.在平行四边形ABCD中，设，E为AD的靠近D的三等分点，CE与BD交于F，则（ ）
A. B. C. D.
8.如图所示，在矩形OABC内，线段AB与圆弧ODC相切于D，已知矩形的长和宽分别为和1，现在向矩形OABC内随机投一质点，则该质点落在图中阴影部分的概率为（ ）

A. B. C. D.
9.小张在创业之初，于2020年1月5号交了30%的首付（30万元），贷款买了一台价格为100万元的大型设备，约定：还款期为10年，月息为千分之六，从2020年的2月5号开始以等额本金的形式还贷，即每月还本金万元及本次还款前一个月未还的本金产生的利息．假设受市场影响，小张在2021年的5月5号开始不能如期还款，故小张当天在网上变卖这台设备，结果只卖出50万元，用来一次性还银行贷款以后，则当天小张还差银行（ ）
A.10.3675万元 B.11.2500万元 C.11.6175万元 D.18.7755万元
10.动点P，Q分别在函数的图象上运动，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
11.定义为不超过x的最大整数，例如－2，若区间（为正整数）在数轴上任意滑动，则区间覆盖数轴上整数的个数为（ ）


12.的大小关系为（ ）


二、填空题：共5小题，每小题4分，共20分．
13.的值为 ．
14.已知实数x，y满足不等式组，若，则z的最大值为 ．
15.若，则的值为 ．
16.在四棱锥P－ABCD中，若PA＝AB＝AD＝，∠BCD＝2∠PAB＝2∠PAD＝2∠BAD＝，则四棱锥P－ABCD外接球表面积为 ．
三、解答题：共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤．
17.（10分）
在等差数列中，已知分别为复数的实部与虚部．
（1）求的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和．
18.（12分）
在三角形ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边，．
（1）若c＝2，B＝，AD平分角A交BC于D，求AD的长；
（2）若b，c为函数的两个不同的零点，求BC边上的高．
19.（12分）
小张大学毕业后决定选择自主创业，在进行充分的市场调研下得到如下的两张表格：
项目A
利润占投入的百分比
10%
5%
－5%
频率
50%
40%
10%
项目B
利润占投入的百分比
10%
5%
－5%
频率
40%
x
y
项目B的表格中的两个数据丢失，现用x，y代替，但调研时发现：投资A，B这两个项目的平均利润率相同．以下用频率代替概率，A，B两个项目的利润情况互不影响．
（1）求x，y的值；
（2）小张在进行市场调研的同时，拿到了200万人民币的风险投资．现在小张与投资方共同決定对A，B这两个项目分别投资100万元，请预测小张总利润率的概率分布和总利润的数学期望．
20.（12分）
如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2DC＝2PA＝2，对角线AC与BD交于O点，连接PO．
（1）求证：AC⊥PB
（2）过B点作一直线l平行于PC，设Q为直线l上除B外的任意点，设直线PQ与平面PAC所成角为，求的取值范围

21.（12分）
已知函数g（x）的图象与函数的图象关于直线y＝x对称，，设
为函数f（x）的导函数
（1）当a＝1时，求的零点；
（2）当0＜a＜1时，设的最小值为，求证：．
22.（12分）
已知椭圆的离心率为，右焦点为F，过F作x轴的垂线交双曲线＝1的两条渐近线于E，G，得到三角形OEG的面积为1.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设P，M，N的三个点都在椭圆C上，设MN的中点为Q，且，试判断△PMN的面积是
否为定值，并说明理由．










2020－2021学年第二学期期末考试
高二理科数学参考答案
1.【答案】D
【解析】由题意可知，，所以选D．
2.【答案】A
【解析】因为，所以
3.【答案】A
【解析】由正态分布曲线得，，所以A正确，B错．，所以C，D错，所以选A．
4.【答案】B
【解析】补成如下的2×2列联表：

中小虾
大虾
合计
白色
40
15
55
灰色
20
25
45
合计
60
40
100
所以，所以我们认为大虾与其颜色有关的概率至少为
99.5%．
5.【答案】B
【解析】最后输出的结果为
6.【答案】B
【解析】因为点（2，1）在渐近线上，所以这样的不同直线l的条数为2，一条与渐近线平行，另外一条（此时斜率不存在）与双曲线相切．
7.【答案】A
【解析】如图，在AD上取G点，使得AG＝GE＝ED，在BC上由左到右取K，H，使得BK＝KH＝HC，连接AK，GH，则AK∥GH∥EC，因为DE∥BC且，所以（相似比），所以，所以．

8.【答案】D
【解析】设圆弧所在圆的圆心为E，因为矩形的长和宽分别为和1，所以OC＝，拱高为1，所以∠OEC＝，EO＝2，所以图中阴影部分的面积又矩形OABC的面积为，所以质点落在图中阴影部分的概率为．
9.【答案】C
【解析】小张在2021年的5月5号这一天差银行贷款本金共计万元，当天设备
卖了50万还了银行以后还差银行本金为11.25万，再加上2021年4月5号到5月5号产生的利息为
万元，所以小张还差银行11.25＋0.3675＝11.6175万元．
10.【答案】B
【解析】，设动点，当在P点处切线与g（x）＝2x－2平行，
过点P作直线垂线，垂足为点Q时，取得最小值，即为两平行直线间的距离，亦即点P到直线2x－y－2＝0的距离是的最小值．令，解得，故P（0，1），所以
11.【答案】C
【解析】因为n－m为整数，
所以当n为整数时，m也为整数，所以此时[m，n]覆盖数轴上个整数，当n不是整数时，m也不是整数，所以此时[m，n]数轴上覆盖n－m个整数，可以验证：区间[m，n]覆盖数轴上整数的个数为，所以选C．
12.【答案】C
【解析】，所以只需比较的大小．设，因为x＞2
所以，记，所以所以所以在（2，＋∞）上单调递减，所以选C．
13.【答案】0
【解析】sin117°＋sin243°＝cos27°＋（－cos27°）＝0
14.【答案】
【解析】作出不等式组所对应的可行域如图，其中C（2，3），当且仅当动直线过点C（2，3）时，则z的最大值为．

15.【答案】
【解析】，所以
在中，令得，，即的值为．
16.【答案】
【解析】因为∠BAD＝，∠BCD＝，所以A＋C＝，即四边形ABCD四点共圆，四棱锥P－ABCD的外接球与三棱锥P－ABD的外接球为同一个，又PA＝AB＝AD＝，∠PAB＝∠PAD＝∠BAD＝所以三棱锥P－ABD为正四面体，如图，构造棱长1的正方体，正四面体的外接球即为正方体的外接球，易求得外接球半径，所以外接球表面积．

17.【解析】（1）设公差为d，因为分别为复数的实部与虚部，
所以………………（2分）
所以2d＝8－2，所以d＝3，……………………（3分）
所以
即通项公式为；……………………（5分）
（2）……………………（7分）
所以
………………（10分）
18.【解析】（1）因为
，………………（2分）
在三角形ABD中，由正弦定理得， ，………………（4分）
因为c＝2，B＝，所以；…………（6分）
（2）因为b，c为函数的两个不同的零点，所以，…………（8分）
在三角形ABC中，由余弦定理得，……（10分）
设BC边上的高为h，因为，所以，所以……………………（12分）
19.【解析】（1）投资项目A的平均利润率为10%x50%＋5%×40%－5%×10%＝0.065，……………（2分）
投资项目B的平均利润率为
，……………………（4分）
因为投资A，B这两个项目的平均利润率相同
所以10%×40%＋5%（2x－60%）＝0.065，解得x＝0.55，y＝0.05，…………（6分）
（2）预测小张的总利润率为X，则X的值为10%，7.5%，5%，2.5%，0，－5%，进一步可以预测小张总利润率的概率分布为
X
10%
7.5%
5%
2.5%
0%
－5%
P
20%
43.5%
22%
6.5%
7.5%
0.5%
………………………………………………（10分）
小张总利润为．…………………………（12分）
20.【解析】（1）延长BA,CD交于一点R，
因为AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2DC＝2a，
所以△RBC为正三角形，且AD为三角形RBC的中位线，即A为BR边的中点，
所以CA⊥BA，……………………………………………………………………（1分）
因为PA⊥底面ABCD，AC⸦平面ABCD，所以PA⊥AC，…………………（2分）
因为 ABPA＝A，所以AC⊥平面PAB，PB⸦平面PAB，
所以AC⊥PB；…………………………（4分）
（2）由（1）得，AP，AB，AC两两垂直，
故以A为原点，射线AB，AC，AP的方向为x，y，z轴正方向建立空间坐标系，…………………（5分）
显然平面PAC的法向量为，…………………（6分）
P（0，0，1），C（0，，0），B（1，0，0），
所以＝（0，，－1），＝（1，0，－1），…………………（7分）
因为l∥PC，
所以可设
其中，…………………（9分）
……………………（10分）
因为，所以，
所以，当且仅当时，．………………（12分）
21.【解析】由已知得，，
所以，定义域为，
为上的增函数…………………………（2分）
（1）当a＝1时，，
因为为上的增函数
所以在上有唯一的零点1；………………（4分）
（2）当0＜a＜1时，，……………………（6分）
因为为上的增函数
所以在上有唯一的零点，且为函数f（x）的极小值点，………………（8分）
因为，
所以……………………（10分）
因为，且为上的减函数，
所以0，即．…………………………（12分）
22.【解析】（1）因为椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，
所以，其中，………………（1分）
双曲线的两条渐近线的方程为，
设FG＝t，则OF＝2t，
因为三角形OEG的面积为1，所以，所以，
，
所以椭圆C的方程为；……………………（4分）
（2）①当直线MN的斜率不存在时，
因为，
所以Q（－1，0），此时MN的方程为x＝－1，
或Q（1，0），此时MN的方程为x＝1
将x＝－1，代入椭圆方程得
所以△PMN的面积为，
由椭圆轴对称性得：当MN的方程为x＝1时，△PMN的面积也为；……………………（6分）
②当直线MN的斜率存在时，
设直线MN方程为y＝kx＋m，
设，
因为MN的中点为Q，且，所以△PMN的重心是坐标原点O，
所以，
联立y＝kx＋m和，
得，
当时，
所以，
故，
因为点P在椭圆上，所以代入椭圆整理得，满足，
因而m与k满足的等式关系为①，…………………………（9分）
当时，………………………………（10分
因为△PMN的重心是坐标原点O，所以△PMN的面积为△OMN的面积的3倍，
设直线l与y轴交与点D，则D（0，m）．
那么△PMN的面积为，
关系式①代入得，
综合①②得，△PMN的面积为定值．……………………（12分）