2021武汉武昌区高二下学期期末数学试题含答案

武昌区2020-2021学年度高二年级期末质量检测

数学

本试卷共5页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必須写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不桉以上要求作答无效．

4．考生必須保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1，设集合A，则（    ）

A．      B．      C．      D．

2．复数的共轭复数是（    ）

A．      B．      C．      D．

3．已知，则（    ）

A．      B．      C．      D．

4．设，则a，b，c的大小关系为（    ）

A．      B．      C．      D．

5．如图是函数的部分图象，给出下列四种说法：

①函数的周期为；

②函数图象的一条对称轴方程为；

③函数的递减区间为；

④当时，函数的值域为．

其中，正确的说法是（    ）

A．①②      B．①③      C．②③      D．③④

6．已知椭圆的左、右顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则C的离心率为（    ）

A．      B．      C．      D．

7．三棱锥的顶点均在一个半径为4的球面上，为等边三角形且其边长为6，则三棱锥体积的最大值为（    ）

A．      B．      C．      D．

8．已知，则（    ）

A．      B．      C．      D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2018年1月至2020年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．

根据该折线图，下列结论正确的是（    ）

A．月接待游客量逐月增加

B．年接待游客量逐年增加

C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月

D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

10．对于非零向量，下列命题中错误的是（    ）

A．若，则            B．若，则

C．            D．

11．如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面的一边于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，以下命题正确的是（    ）

A．有水的部分始终呈棱柱形             B．水面所在四边形的面积为定值

C．棱始终与水面所在平面平行      D．当容器倾斜如图（3）所示时，是定值

12．已知双曲线的左，右焦点分别为，过双曲线C上的一点M作两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，若，则（    ）

A．双曲线C的离心率为                B．四边形的面积为（O为坐标原点）

C．双曲线C的渐近线方程为      D．直线与直线的斜率之积为定值

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．的展开式中，的系数是_______．

14．甲、乙、丙等5位同学随机站成一排合影留念，甲、乙两人相邻且甲站在丙的左侧，则不同的站法共有________种．（用数字作答）

15．为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，给出下列命题：

①若，则；      ②若，则；

③若，则；      ④若，则．

其中正确命题的序号是________．

16．设函数，其中．若存在极值点，且，其中，则________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

如图，A，B两点都在河的对岸（不可到达），为了测量A，B两点间的距离，在A，B两点的对岸选定两点C，D，测得，并且在点C，D两点分别测得，试求A，B两点间的距离（精确到）．

附：，，．

18．（12分）

甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率．

（1）记甲击中目标的次数为，求的概率分布及数学期望；

（2）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．

19．（12分）

已知数列是递增的等比数列，前3项和为7，且成等差数列．数列的首项为1，其前n项和为，且．

（1）求数列和的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和．

20．（12分）

如图，在四棱锥中，已知底面是等腰梯形，，侧面是等边三角形，，点P在平面上的射影恰是线段的中点E．求：

（1）二面角的大小；

（2）异面直线与所成角的余弦值．

解：设，则．

21．（12分）

抛物线C的方程为，过抛物线C上一点作斜率为的两条直线分别交抛物线C于两点（P，A，B三点互不相同），且满足．

（1）若线段的中点为M，证明线段的中点在y轴上；

（2）若点P的坐标为，求为钝角时点A的纵坐标的取值范围．

22．（12分）

已知函数．

（1）讨论函数零点的个数；

（2）若函数恰有两个零点，证明．

武昌区2020-2021学年度高二年级期末质量检测

数学参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．A  2．B  3．D  4．D  5．B  6．A  7．B  8．A

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．BCD  10．ABC  11．ACD  12．ABD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．60  14．24  15．①④  16．4

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

解：在中，，，，

所以，是直角三角形，求得．            （2分）

在中，，所以．

由正弦定理，得，所以．            （6分）

在中，，由余弦定理，得

所以，A，B间的距离为．            （10分）

18．解：（1）的取值为0，1，2，3，则

，，，，

所以的概率分布如下表：

所以（或；            （6分）

（2）设甲恰比乙多击中目标2次为事件A，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件，甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次为事件，则为互斥事件．

，

所以，甲恰好比乙多击中目标2次的概率为．            （12分）

19．解：（1）设等比数列的公比为q，

由已知得（其中舍去）．

所以数列的通项公式为．            （4分）

因为，所以．

两式相减，得，化简得．

于是．所以．            （8分）

（2）由（1）知，．

．

．

所以．

所以．            （12分）

20．解：设，则．

（1）取的中点F，连接．

因为是等腰梯形，且E为的中点，

所以于F．

因为是等边三角形，F为的中点，

所以于F．

所以是二面角的平面角．

∵点P在平面上的射影为E，

∴．

于是中，，所以．

即二面角的大小是．            （6分）

（2）过A作的平行线交于G，则等于异面直线与所成的角．

由是平行四边形，得．

在中，．

在中，．

在中，由余弦定理得，

∴异面直线与所成角的余弦值为．            （12分）

21．解：（1）设直线的方程，直线的方程为．

点和点的坐标是方程组

的解，消去y，整理得．

于是，即．

同理，．

因为，所以．

因为线段的中点为M，所以．

因为，所以线段的中点在y轴上．            （4分）

（2）由（1）知，当点P的坐标为时，，

代入，求得．同理，求得．

因此，直线、分别与抛物线C的交点A、B的坐标为

，．于是，，

所以．

因为为钝角且P、A、B三点互不相同，所以，即．

解得的取值范围为或．

又，所以当时，；当时，．

所以，为钝角时点A的纵坐标的取值范围为．            （12分）

22．解：（1）．

当时，；当时，．

所以，函数在单调递增；在单调递减．

所以，当时，有最大值．

当时，，函数无零点；

当时，，函数有1个零点：

当时，．

当时，；当时，．

所以，在单调递增，在单调递减．

所以，即．

所以在和各有一个零点，即有两个零点．

综上，当时，函数无零点；

当时，函数有1个零点；当时，有两个零点．            （6分）

（2）由（1）知，函数恰有两个零点时，，且．

要证，只需证．

因为在单调递减，所以只需证．

因为，所以只需证，其中．

令，

则,

所以，因为，

所以在单调递增，从而，

所以在单调递减，所以，即，

于是，所以．            （12分）