2021安徽省名校联盟高二下学期期末联考理科数学试题含答案

安徽省名校联盟2020－2021学年第二学期期末考试卷

高二理科数学

满分：150分  考试时间：120分钟

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用O．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清晰．

3.请按照题序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效；在草稿纸、试题卷上的答题无效．

4.保持答题卡卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.设全集，集合，则（    ）

A.        B.        C.        D.

2.已知i为虚数单位，复数z满足（2＋3i）z＝－3＋2i，则z为（    ）

A.i        B. －i         C.1＋i        D.1－i

3.若，则（    ）

A.               B.

C.        D.

4.某人在网上购买了100只青岛产的虾，开箱打开发现：虾有白色、灰色两种颜色，统计后并制成下面的表：

则可以认为大虾与其颜色有关的概率

参考公式：，其中n＝a＋b＋c＋d．

A．至多为99.9%        B.至少为99.5%        C.至多为0.5%        D.至少为0.1%

5.执行如图所示的程序框图，输出的结果为（    ）

A.4        B.8        C.16        D.64

6.直线l过点（2，1），且与双曲线有且只有一个公共点，则这样的不同直线的条数为（    ）

A.1        B.2        C.3        D.4

7.在平行四边形ABCD中，设，E为AD的靠近D的三等分点，CE与BD交于F，则（    ）

A.        B.        C.        D.

8.如图所示，在矩形OABC内，线段AB与圆弧ODC相切于D，已知矩形的长和宽分别为和1，现在向矩形OABC内随机投一质点，则该质点落在图中阴影部分的概率为（    ）

A.        B.        C.        D.

9.小张在创业之初，于2020年1月5号交了30%的首付（30万元），贷款买了一台价格为100万元的大型设备，约定：还款期为10年，月息为千分之六，从2020年的2月5号开始以等额本金的形式还贷，即每月还本金万元及本次还款前一个月未还的本金产生的利息．假设受市场影响，小张在2021年的5月5号开始不能如期还款，故小张当天在网上变卖这台设备，结果只卖出50万元，用来一次性还银行贷款以后，则当天小张还差银行（    ）

A.10.3675万元        B.11.2500万元        C.11.6175万元        D.18.7755万元

10.动点P，Q分别在函数的图象上运动，则的最小值为（    ）

11.定义为不超过x的最大整数，例如－2，若区间（为正整数）在数轴上任意滑动，则区间覆盖数轴上整数的个数为（    ）

12.的大小关系为（    ）

二、填空题：共5小题，每小题4分，共20分．

13.的值为        ．

14.已知实数x，y满足不等式组，若，则z的最大值为        ．

15.若，则的值为        ．

16.在四棱锥P－ABCD中，若PA＝AB＝AD＝，∠BCD＝2∠PAB＝2∠PAD＝2∠BAD＝，则四棱锥P－ABCD外接球表面积为        ．

三、解答题：共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤．

17.（10分）

在等差数列中，已知分别为复数的实部与虚部．

（1）求的通项公式；

（2）令，求数列的前n项和．

18.（12分）

在三角形ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边，．

（1）若c＝2，B＝，AD平分角A交BC于D，求AD的长；

（2）若b，c为函数的两个不同的零点，求BC边上的高．

19.（12分）

小张大学毕业后决定选择自主创业，在进行充分的市场调研下得到如下的两张表格：

项目A

项目B

项目B的表格中的两个数据丢失，现用x，y代替，但调研时发现：投资A，B这两个项目的平均利润率相同．以下用频率代替概率，A，B两个项目的利润情况互不影响．

（1）求x，y的值；

（2）小张在进行市场调研的同时，拿到了200万人民币的风险投资．现在小张与投资方共同決定对

A，B这两个项目分别投资100万元，请预测小张总利润率的概率分布和总利润的数学期望．

20.（12分）

如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2DC＝2PA＝2，对角线AC与BD交于O点，连接PO．

（1）求证：AC⊥PB

（2）过B点作一直线l平行于PC，设Q为直线l上除B外的任意点，设直线PQ与平面PAC所成角为，求的取值范围

21.（12分）

已知函数g（x）的图象与函数的图象关于直线y＝x对称，，设

为函数f（x）的导函数

（1）当a＝1时，求的零点；

（2）当0＜a＜1时，设的最小值为，求证：．

22.（12分）

已知椭圆的离心率为，右焦点为F，过F作x轴的垂线交双曲线＝1的两条渐近线于E，G，得到三角形OEG的面积为1.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设P，M，N的三个点都在椭圆C上，设MN的中点为Q，且，试判断△PMN的面积是

否为定值，并说明理由．

安徽省名校联盟2020－2021学年第二学期期末考试

高二理科数学参考答案

1.【答案】D

【解析】由题意可知，，所以选D

2.【答案】A

【解析】因为，所以

3.【答案】A

【解析】由正态分布曲线得，，所以A正确，B错．，所以C，D错，所以选A．

4.【答案】B

【解析】补成如下的2×2列联表：

所以，所以我们认为大虾与其颜色有关的概率至少为

99.5%．

5.【答案】B

【解析】最后输出的结果为

6.【答案】B

【解析】因为点（2，1）在渐近线上，所以这样的不同直线l的条数为2，一条与渐近线平行，另外一条（此时斜率不存在）与双曲线相切．

7.【答案】A

【解析】如图，在AD上取G点，使得AG＝GE＝ED，在BC上由左到右取K，H，使得BK＝KH＝HC，连接AK，GH，则AK∥GH∥EC，因为DE∥BC且，所以（相似比），所以，所以．

8.【答案】D

【解析】设圆弧所在圆的圆心为E，因为矩形的长和宽分别为和1，所以OC＝，拱高为1，所以∠OEC＝，EO＝2，所以图中阴影部分的面积又矩形OABC的面积为，所以质点落在图中阴影部分的概率为．

9.【答案】C

【解析】小张在2021年的5月5号这一天差银行贷款本金共计万元，当天设备

卖了50万还了银行以后还差银行本金为11.25万，再加上2021年4月5号到5月5号产生的利息为

万元，所以小张还差银行11.25＋0.3675＝11.6175万元．

10.【答案】B

【解析】，设动点，当在P点处切线与g（x）＝2x－2平行，

过点P作直线垂线，垂足为点Q时，取得最小值，即为两平行直线间的距离，亦即点P到直线2x－y－2＝0的距离是的最小值．令，解得，故P（0，1），所以

11.【答案】C

【解析】因为n－m为整数，

所以当n为整数时，m也为整数，所以此时[m，n]覆盖数轴上个整数，当n不是整数时，m也不是整数，所以此时[m，n]数轴上覆盖n－m个整数，可以验证：区间[m，n]覆盖数轴上整数的个数为，所以选C．

12.【答案】C

【解析】，所以只需比较的大小．设，因为x＞2

所以，记，所以所以所以在（2，＋∞）上单调递减，所以选C．

13.【答案】0

【解析】sin117°＋sin243°＝cos27°＋（－cos27°）＝0

14.【答案】

【解析】作出不等式组所对应的可行域如图，其中C（2，3），当且仅当动直线过点C（2，3）时，则z的最大值为．

15.【答案】

【解析】，所以

在中，令得，，即的值为．

16.【答案】

【解析】因为∠BAD＝，∠BCD＝，所以A＋C＝，即四边形ABCD四点共圆，四棱锥P－ABCD的外接球与三棱锥P－ABD的外接球为同一个，又PA＝AB＝AD＝，∠PAB＝∠PAD＝∠BAD＝所以三棱锥P－ABD为正四面体，如图，构造棱长1的正方体，正四面体的外接球即为正方体的外接球，易求得外接球半径，所以外接球表面积．

17.【解析】（1）设公差为d，因为分别为复数的实部与虚部，

所以………………（2分）

所以2d＝8－2，所以d＝3，……………………（3分）

所以

即通项公式为；……………………（5分）

（2）……………………（7分）

所以

………………（10分）

18.【解析】（1）因为

，………………（2分）

在三角形ABD中，由正弦定理得， ，………………（4分）

因为c＝2，B＝，所以；…………（6分）

（2）因为b，c为函数的两个不同的零点，所以，…………（8分）

在三角形ABC中，由余弦定理得，……（10分）

设BC边上的高为h，因为，所以，所以……………………（12分）

19.【解析】（1）投资项目A的平均利润率为10%x50%＋5%×40%－5%×10%＝0.065，……………（2分）

投资项目B的平均利润率为

，……………………（4分）

因为投资A，B这两个项目的平均利润率相同

所以10%×40%＋5%（2x－60%）＝0.065，解得x＝0.55，y＝0.05，…………（6分）

（2）预测小张的总利润率为X，则X的值为10%，7.5%，5%，2.5%，0，－5%，进一步可以预测小张总利润率的概率分布为

………………………………………………（10分）

小张总利润为．…………………………（12分）

20.【解析】（1）延长BA、CD交于一点R，

因为AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2DC＝2a，

所以△RBC为正三角形，且AD为三角形RBC的中位线，即A为BR边的中点，

所以CA⊥BA，……………………………………………………………………（1分）

因为PA⊥底面ABCD，AC⸦平面ABCD，所以PA⊥AC，…………………（2分）

因为 ABPA＝A，所以AC⊥平面PAB，PB⸦平面PAB，

所以AC⊥PB；…………………………（4分）

（2）由（1）得，AP，AB，AC两两垂直，

故以A为原点，射线AB，AC，AP的方向为x，y，z轴正方向建立空间坐标系，…………………（5分）

显然平面PAC的法向量为，…………………（6分）

P（0，0，1），C（0，，0），B（1，0，0），

所以＝（0，，－1），＝（1，0，－1），…………………（7分）

因为l∥PC，

所以可设

其中，…………………（9分）

……………………（10分）

因为，所以，

所以，当且仅当时，．………………（12分）

21.【解析】由已知得，，

所以，定义域为，

为上的增函数…………………………（2分）

（1）当a＝1时，，

因为为上的增函数

所以在上有唯一的零点1；………………（4分）

（2）当0＜a＜1时，，……………………（6分）

因为为上的增函数

所以在上有唯一的零点，且为函数f（x）的极小值点，………………（8分）

因为，

所以……………………（10分）

因为，且为上的减函数，

所以0，即．…………………………（12分）

22.【解析】（1）因为椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，

所以，其中，………………（1分）

双曲线的两条渐近线的方程为，

设FG＝t，则OF＝2t，

因为三角形OEG的面积为1，所以，所以，

，

所以椭圆C的方程为；……………………（4分）

（2）①当直线MN的斜率不存在时，

因为，

所以Q（－1，0），此时MN的方程为x＝－1，

或Q（1，0），此时MN的方程为x＝1

将x＝－1，代入椭圆方程得

所以△PMN的面积为，

由椭圆轴对称性得：当MN的方程为x＝1时，△PMN的面积也为；……………………（6分）

②当直线MN的斜率存在时，

设直线MN方程为y＝kx＋m，

设，

因为MN的中点为Q，且，所以△PMN的重心是坐标原点O，

所以，

联立y＝kx＋m和，

得，

当时，

所以，

故，

因为点P在椭圆上，所以代入椭圆整理得，满足，

因而m与k满足的等式关系为①，…………………………（9分）

当时，………………………………（10分

因为△PMN的重心是坐标原点O，所以△PMN的面积为△OMN的面积的3倍，

设直线l与y轴交与点D，则D（0，m）．

那么△PMN的面积为，

关系式①代入得，

综合①②得，△PMN的面积为定值．……………………（12分）