2021安徽省泗县一中高二下学期期末考试文科数学试题含答案

泗县2020-2021学年第二学期期末调研试卷

数学（文科）

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.设，则（    ）

A.2 B. C. D.1

2.已知集合，，，则（    ）

A. B. C. D.

3.已知，，，则（    ）

A. B. C. D.

4.已知椭圆的一个焦点为，则C的离心率为（    ）

A. B. C. D.

5.函数在的图象大致为（    ）

A. B.

C.  D.

6.某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，……1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测试，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（    ）

A.8号学生 B.200号学生 C.616号学生 D.815号学生

7.（    ）

A. B. C. D.

8.已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（    ）

A. B. C. D.

9.下图是求的程序框图，图中空白框中应填入（    ）

A. B. C. D.

10.双曲线的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为（    ）

A. B. C. D.

11.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知，，则（    ）

A.6 B.5 C.4 D.3

12.已知椭圆C的焦点为，，过的直线与C交于A，B两点若，，则C的方程为（    ）

A. B. C. D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.曲线在点处的切线方程为______.

14.记为等比数列的前n项和，若，，则______.

15.函数的最小值为______.

16.已知，P为平面外一点，，点P到两边，的距离均为，那么P到平面的距离为______.

三、解答题（17-21是必做题题共60分，22-23任选一题10分）

17.某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：

（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；

（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？

18.记为等差数列的前n项和，已知.

（1）若，求的通项公式;

（2）若，求使得的n的取值范围。

19.如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，E，M，N分别是，，的中点.

（1）证明：平面；

（2）求点C到平面的距离

20.已知函数，为的导数.

（1）证明：在区间存在唯一零点；

（2）若时，，求的取值范围。

21.已知点A，B关于坐标原点O对称，，过点A，B且与直线相切。

（1）若A在直线上，求的半径；

（2）是否存在定点P，使得当A运动时，为定值？并说明理由.

22.在极坐标系中，直线l的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为（t为参数），点A是曲线C上的动点。

（Ⅰ）求直线l的直角坐标方程；

（Ⅱ）求点A到直线l的距离的最小值.

23.设函数，.

（Ⅰ）当时，求不等式的解集；

（Ⅱ）求证：，，中至少有一个不小于.

文科数学试题

1.【答案】C

【解析】解：由，得．

2.【答案】C

【解析】解：∵，，，

∴，则故选：C．

3.【答案】B

【解答】解：，

，∵，∴，∴，

4.

【答案】C

5.

【答案】D

解：∵，，∴，

∴为上的奇函数，因此排除A；又，因此排除B，

6.【答案】C

解：∵从1000名学生中抽取一个容量为100的样本，∴系统抽样的分段间隔为，

∵46号学生被抽到，则根据系统抽样的性质可知，第一组随机抽取一个号码为6，以后每个号码都比前一个号码增加10，所有号码数是以6为首项，以10为公差的等差数列，

设其数列为，则，当时，，即在第62组抽到616．故选：C．

7.【答案】D

【解析】解：

．

8.【答案】B

【解答】解：∵，∴，

∴，，∴．故选B．

9.【答案】A

【解答】解：模拟程序的运行，可得：，；

满足条件，执行循环体，，；满足条件，执行循环体，，；此时，不满足条件，退出循环，输出A的值为，观察A的取值规律可知图中空白框中应填入．故选A．

10.【答案】D

【解析】解：双曲线的渐近线方程为，

由双曲线的一条渐近线的倾斜角为，得，则，

∴，得，∴．

11.【答案】A

【解析】解：∵的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，∴，，解得∴．

12.【答案】B

解：∵，∴，又，∴，

又，∴，∴，，

则，所以A为椭圆短轴端点，在中，，

在中，由余弦定理可得，

根据，可得，解得，∴．

．所以椭圆C的方程为：．

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.【答案】

解：，

∴，∴当时，，

∴在点处的切线斜率，∴切线方程为：．故答案为：.

14.【答案】

【解答】解：∵数列为等比数列，，，∴，，

整理可得，解得，故．所以答案为．

15.【答案】

【解析】解：∵，，

令，则，

∵的开口向上，对称轴，在上先增后减，

故当即时，函数有最小值．

16.【答案】

【解析】解：，P为平面ABC外一点，，点P到两边AC，BC的距离均为，

过点P作，交AC于D，作，交BC于E，过P作平面ABC，交平面ABC于O，

连结OD，OC，则，

∴，

∴．

∴到平面ABC的距离为．

故答案为：．

过点P作，交AC于D，作，交BC于E，过P作平面ABC，交平面ABC于O，连结OD，OC，则，从而，由此能求出P到平面ABC的距离．

17.

【答案】解：（1）由题中数据可知，男顾客对该商场服务满意的概率，

女顾客对该商场服务满意的概率；

（2）由题意可知，，

故有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．

18.

【答案】解：（1）根据题意，等差数列中，设其公差为d，

若，则，变形可得，即，

若，则，则，

（2）若，则，

当时，不等式成立，当时，有，变形可得，

又由，即，则有，即，则有，又由，则有，则有，综合可得：，．

19.

【答案】证明：（1）连结因为M，E分别为，BC的中点，所以，且.又因为N为的中点，所以．可得，因此四边形MNDE为平行四边形， .又平面，所以平面．

（2）（方法一）：过C做的垂线，垂足为H．

由已知可得，所以平面，

故，从而平面，故CH的长即为点C到平面的距离．由已知可得，，所以，故CH．

（方法二）：设点C到平面的距离为h，由已知可得，

，，，，可得：，故为直角三角形，，综上可得，即为点C到平面的距离．

20.

【答案】解：（1）证明：∵，

∴，

令，

则，

当时，，∴在单调递增，

当时，，在单调递减，

∴当时，极大值为，又，，∴，，无零点，∵，∴，，∴在单调递减，

∴在上有唯一零点，即在上有唯一零点；

（2）由（1）知，在上有唯一零点，使得，

且在为正，在为负，

∴在递增，在递减，结合，，

可知在上非负，令，作出图示，∵，∴．

综上所述：．

21.

【答案】解：∵过点A，B且A在直线上，∴点M在线段AB的中垂线上，设的方程为：，则

圆心到直线的距离，又，∴在中，

，即

又∵与相切，∴由解得或，∴的半径为2或6；

（2）存在定点P，使得为定值。∵线段为的一条弦，

∴圆心M在线段AB的中垂线上，设点M的坐标为，则，

∵与直线相切，，

∴，∴，

∴的轨迹是以为焦点为准线的抛物线，

∴，

∴当为定值时，则点P与点F重合，即P的坐标为，

∴存在定点使得当A运动时，为定值．

22.【答案】解：（Ⅰ）∵，∴，

∴，即直线l的方程为；

（Ⅱ）由题意设，

则A到直线l的距离，

当，即时，

即点A到直线l的距离的最小值为

23.【答案】解（Ⅰ）当时，

无解；解得；解得

综上，不等式的解集为。

（Ⅰ）（Ⅰ反证法）若，，都小于，

则前两式相加得与第三式矛盾．

【解析】本题考查了绝对值不等式及反证法，属于中档题．

（Ⅰ）当时，，分段解不等式；

（Ⅱ）（反证法）若，，都小于，得与第三式矛盾.