湖北省荆门市重点高中2020-2021学年高二上学期期末考试 数学试题

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二、不定项选择题：
、、、ABD
三、填空题：
13． 14． 15． 16．（1） 62 ；（2）若，则__1033 _.
15解答：设，则，，
在三角形BDF中，由正弦定理可得，即，
当时，即DF垂直BC时，最小，最小值为.
几何法：因为A,P两点关于DE对称，所以AD=DP，可见如果以D为圆心，以AD为半径作圆，则该圆必与BC交于P点，要使半径AD取最小值，只有当P点是圆与BC的切点，也就是DP垂直BC时，AD才能取得最小值.
16解答：（1）由于，所以位于第8行的第7个数，因为第8行的第一个数是26+11+13=50，第8行是一个首项为50，公差为2的等差数列，故；
（2），
，故在第45行，第45行第1个数是1937，，即在第45行的第43个数，因此.
四、解答题：
17.解：（1）
（3分）
∵，∴，
∴，从而
则的最小值是，最大值是． （6分）
（2），则，
∵，∴，∴，解得． （8分）
∵，由正弦定理得， ①
由余弦定理得，，即 ②
由①②解得． （12分）
18.解：（1）因为数列是公比为的等比数列,
又由成等差数列, ，
所以，解得，
从而数列的通项公式为. (6分)
(2)
(8分)
又是递增的,
当时, 当时,
所以所求的正整数的最小值为. (12分)
19. 解法一：证明：（1）如图，连接，
，，
又为的中点，， (2分)
．
平面，平面，
平面． (5分)
（2）过作于，连．
，平面⊥平面．
⊥平面． （7分）
又平面，
，
平面，，
则∠是二面角的平面角． （9分）
，， ．
由⊥平面，平面，得为直角三角形，
，．
==． （12分）
解法二：证明：（1）如图，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以为原点，作空间直角坐标系，则，．
，
点为的中点，点的坐标为，．
，即．
平面，平面，
平面． （6分）
（2），点的坐标，．
设二面角的大小为，为平面的一个法向量．
由 有 即 （8分）
取，解得，．
=． （10分）
取平面的一个法向量=，
． （12分）
20．解（1）因为 ,
所以所以，
所以关于的回归直线方程为：.
（2）当时，，则，
所以可以认为回归直线方程是理想的.
（3）设销售利润为(千元)，则，
因为所以
当且仅当，即时，W取得最大值.
所以可建议该公司将销售价格定位7.5元/千克.

21.解：(1)

,解得
所以椭圆的方程为． (6分)
（2）①当直线的斜率为0时，则； (7分)
②当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，
将代入，整理得．
则，． (8分)
又，，
所以,

令则,
当且仅当，即时，取等号，
由①②可得，所求直线的方程为. (12分)
22.解：（1）在定义域内是，，
当时，在上恒成立，函数 在单调递减，
∴在上没有极值点； （2分）
当时，， ，当时，得，当时，得，
∴在上递减，在上递增，即在处有极小值．
∴当时在上没有极值点，当时，在上有一个极值点． （4分）
（2）∵函数在处取得极值，∴，得，
由在上恒成立 ，得 （6分）
令，则，
可得在上递减，在上递增，
∴，即． （8分）
（3）证明：，
令，则只要证明在上单调递增， （10分）
又∵，
显然函数在上单调递增．
∴，即，
∴在上单调递增，即，
∴当时，有． （12分）