2021黔西南州高二下学期期末检测数学（理）试题含答案

黔西南州2021年春季学期高二期末考试试卷

数学（理科）

考生注意：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共15分．考试时间120分钟．

2．请将各题答案填写在答题卡上．

3．本试卷主要考试内容：以高考模拟题呈现，其中高一内容约占30%，高二内容约占70%（高二下约占50%）．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集，集合，，则（    ）

A．{4} B．{3} C．{1，2} D．

2．复数的实部为（    ）

A．1 B．－1 C．3 D．－3

3．若函数，，则（    ）

A．为奇函数，为偶函数

B．与均为偶函数

C．为偶函数，为奇函数

D．与均为奇函数

4．设等比数列的公比为，若，则（    ）

A． B．2 C． D．－2

5．在18个村庄中有8个村庄交通不便，现从中任意选9个村庄，用表示这9个村庄中交通不便的村庄个数，则（    ）

A． B． C． D．

6．曲线在点（1，0）处切线的斜率为（    ）

A． B． C． D．

7．某社区卫生服务站周末到社区开展健康义诊咨询活动，活动结束后，参加活动的医务人员要集体拍照留念．医务人员包括6名医生和3名护士，摄影师要求他们站成一排，且3名护士相邻，则不同的排法总数为（    ）

A． B． C． D．

8．若，满足约束条件则的最大值为（    ）

A．6 B．8 C．10 D．12

9．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

10．南北朝时期的数学古籍《张丘建算经》有如下一题：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次等（即等差）降之．上三人，得金四斤，持出；下四人后入得三斤，持出；中间三人未得者，亦依等次更给．”意思是皇帝赏赐十人黄金，将十人分成十个不同的等级，每个等级的人与他下一等级的人分得的黄金之差相同，已知上三等级的三人共分得黄金4斤，下四等级的四人共分得黄金3斤，则中间三等级的三人共分得黄金（    ）

A．斤 B．斤 C．斤 D．斤

11．若，则（    ）

A．448 B．1344 C．28672 D．86016

12．在底面是正三角形的三棱锥中，底面，且，．以为球心的球的表面积为，则球的球面与三棱锥的表面的交线总长为（    ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．

13．已知向量与垂直，则______．

14．已知，则______．

15．中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代（公元前476年~前222年），其中沙漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道流到下部容器．如图，某沙漏由上、下两个圆锥容器组成，圆锥底面圆的直径和高均为4cm，当细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）．若细沙的流速为每分钟，则上部细沙全部流完的时间约为______分钟（结果精确到整数部分）．

16．已知为曲线：上一点，，，则的最小值为______．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（12分）

的内角，，的对边分别为，，．已知．

（1）求；

（2）若，的面积为，求的周长．

18．（12分）

如图，在空间直角坐标系中，，，分别在，，轴的正半轴上，在平面内．

（1）若，证明：；

（2）已知，，的坐标为（0，2，4），求与平面所成角的正弦值．

19．（12分）

中国是世界上沙漠化最严重的国家之一，沙漠化造成生态系统失衡，可耕地面积不断缩小，给中国工农业生产和人民生活带来严重影响．随着综合国力逐步增强，西北某地区大力兴建防风林带，引水拉沙，引洪淤地，开展了改造沙漠的巨大工程．该地区于2017年投入沙漠治理经费2亿元，从2018年到2020年连续3年每年增加沙漠治理经费1亿元，近4年投入的沙漠治理经费（亿元）和沙漠治理面积（万亩）的相关数据如下表所示：

（1）通过散点图看出，可用线性回归模拟拟合与的关系，请用相关系数加以说明；（结果保留3位小数）

（2）求关于的回归方程；

（3）若保持以往沙漠治理经费的增加幅度，请预测到哪一年沙漠治理面积可突破80万亩．参考数据：．

参考公式：相关系数，，．

20．（12分）

已知椭圆：（）的焦点与双曲线：（）的焦点相同，且的离心率为．

（1）求与的方程；

（2）若，直线：与交于，两点，且直线，的斜率都存在．

①求的取值范围；

②试问这直线，的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

21．（12分）

已知函数．

（1）求的单调区间；

（2）设函数（），讨论的零点个数．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，点的极坐标为．

（1）求的普通方程和的直角坐标方程；

（2）若与交于，两点，求的值．

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知函数，函数．

（1）求不等式的解集；

（2）设的最大值为，若关于的不等式在[2，3]上恒成立，求的取值范围．

黔西南州2021年春季学期高二期末考试试卷

数学参考答案（理科）

1．A 因为，，，所以．

2．B 因为，所以的实部为－1．

3．C 因为，，且这两个函数的定义域均为，所以为偶函数，为奇函数．

4．A 因为，所以，解得．

5．D ．

6．B 设，∵，∴．

7．C 由捆绑法可得，不同的排法总数为．

8．D 画出可行域（图略）知，当直线经过点（4，4）时，取得最大值，且最大值为12．

9．D 若，则不妨取，，此时；若，则不妨取，，此时．故“”是“”的既不充分也不必要条件．

10．B 由题可知，这十人分得的黄金重量成等差数列，设分得黄金最多的一等人分得黄金斤，公差为，则即解得，故，即中间三等级的三人共分得黄金斤．

11．D 由已知等式对同时求导，得，令，得．

12．B 如图，取的中点，连接，，因为底面，所以．

因为，所以．

易证，所以，又，则．

因为球的表面积为，所以球的半径为2，

故球的球面与三棱锥的表面的交线总长为．

13．6 因为向量与垂直，所以，即．

14．12 ．

15．7 由题可知上部细沙对应的圆锥的底面直径与高均为3cm，

则其体积．

因为细沙的流速为每分钟，所以上部细沙全部流完的时间约为7分钟．

16． 易知曲线是抛物线的右半部分，因为抛物线的准线方程为，所以等于到直线的距离．过作该直线的垂线，垂足为，则的最小值为．

17．解：（1）因为，所以．

又，所以，解得．

因为，所以．

（2）因为，所以．

由余弦定理知，．

因为，所以，解得．

故的周长为．

18．（1）证明：依题意可知平面，

因为平面，所以．

因为，，所以平面．

又平面，所以．

（2）解：依题意可得，，，．

则，．

设平面的法向量为，则，

即，

令，得．

设与平面所成角为，因为，

所以，

故与平面所成角的正弦值为．

19．解：（1）因为，，

所以，

，

，

所以．

因为与的相关系数非常接近1，所以与的线性相关程度相当高，

从而可以用线性回归模型拟合与的关系．

（2），

．

所以关于的回归方程为．

（3）当时，，

当，，

所以到2023年沙漠治理面积可突破80万亩．

20．解：（1）因为的离心率为，所以，

解得，则的方程为．

因为的焦点与的焦点相同，所以，

所以，则的方程为．

（2）①联立得，

其中，解得．

又直线，的斜率都存在，所以，

故的取值范围是．

②设，，则，，

则

，

故直线，的斜率之积不是定值．

21．解：（1）因为，所以．

当时，；当时，．

故的单调递增区间为，单调递减区间为．

（2）令，

解得或．

由（1）可知，

且当时，；当时，．

若，则，，

无解，的零点个数为0．

若，则，，

有1解，的零点个数为1．

若，则，，

有2解，的零点个数为2．

若，则，，

有3解，的零点个数为3．

若，且，则，且，

有4解，的零点个数为4．

若，则，有2解，的零点个数为2．

综上所述，当时，有4个零点；

当时，有3个零点；当时，有2个零点；

当时，有1个零点；当时，有0个零点．

22．解：（1）由（为参数），得．

因为，所以，即．

综上所述，的普通方程为，的直角坐标方程为．

（2）因为，，所以点的直角坐标为（－1，0），在上，

故的参数方程为（为参数），

将其代入的普通方程，得．

设，是方程的实数根，则，，

故．

23．解：（1）

当时，5≥1恒成立．

当时，，解得．

当时，－5≥1恒不成立．

综上所述，原不等式的解集为．

（2）因为，所以，

所以在[2，3]上恒成立等价于在[2，3]上恒成立．

令函数，易知在[2，3]上单调递减，故，

所以，故的取值范围是．