2021【KS5U解析】扬州高二下学期期末考试数学试卷含解析

这是一份2021【KS5U解析】扬州高二下学期期末考试数学试卷含解析，共23页。试卷主要包含了单项选择题.，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年江苏省扬州市高二（下）期末数学试卷
一、单项选择题（共8小题，每题5分，共40分）.
1．（5分）17×16×15×⋅⋅⋅×8×7等于（　　）
A． B． C． D．
2．（5分）若z＝1﹣i（i为虚数单位），则等于（　　）
A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i
3．（5分）已知x＝ln5，y＝5，z＝lg，则x，y，z的大小关系为（　　）
A．y＜z＜x B．x＜y＜z C．z＜y＜x D．z＜x＜y
4．（5分）现有7名同学去听同时进行的4个科普知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同的选法的种数是（　　）
A．11 B．47 C．28 D．74
5．（5分）已知如表为离散型随机变量X的概率分布表，则概率P（X≥V（X））等于（　　）
X
0
1
2
P

p

A． B． C． D．1
6．（5分）等于（　　）
A．120 B．210 C．126 D．240
7．（5分）已知函数y＝f（x）的图象如图所示，则此函数的解析式可能是（　　）

A． B．
C． D．
8．（5分）中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，始见于《周礼•春官•大师》．八音分为“金、石、土、革、丝、木、匏、竹”，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．甲、乙、丙三名同学想学习这八种乐器，他们商定采用抽签（无放回）的方法，先制作8个号签（每个号签上分别写有这8个乐器的名称），再制作1个形状大小相同的空号签，然后每人抽取3个号签，选中的号签就是自己学习的乐器，若同学甲选择的打击乐器数为X，则P（X＝2）等于（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．（5分）下列关于复数z，z1，z2，结论正确的是（　　）
A．|z1z2|＝|z1|•|z2|
B．若z1z2∈R，则
C．若z2＜0，则z是虚数
D．若z满足|z|＝1，则|z﹣2i|的最小值为1
10．（5分）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则下列结论正确的是（　　）

A．直线BN与AD1是异面直线
B．直线MN与AD1所成的角为45°
C．直线AM与平面BCC1B1所成角的正切值为
D．点N到平面ABM的距离为
11．（5分）已知（a＞0）展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（　　）
A．偶数项的二项式系数和为256
B．不存在常数项
C．系数最大项为第5项
D．含x7项的系数为45
12．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，且满足f（﹣x）+f（x）＝2x2.当x≥0时，f'（x）＜2x．若方程ex﹣ex﹣a＝0（a∈R，e为自然对数的底数）的一个根为x0，且x0为不等式f（x）﹣f（4﹣x）≤8x﹣16的一个解，则实数a的取值可能是（　　）
A．0 B．e C．2e﹣e2 D．3e﹣e3
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）52021除以4的余数是 　 　．
14．（5分）将两枚质地均匀的骰子各掷一次，向上点数之和为7时，则其中有一个点数是2的概率是 　 　．
15．（5分）偶函数f（x）对任意x∈R都有f（x+2）＝﹣f（x），则f（2021）＝　 　．
16．（5分）已知函数f（x）＝，则f（x）max＝　 　；若直线y＝a（a≥0）与函数f（x）＝的图象有交点，则a的取值范围为 　 　．
四、解答题（本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知复数z＝（3m2﹣12）+（3m2﹣m﹣14）i，其中m∈R，i为虚数单位．
（1）若z为纯虚数，求m的值；
（2）若z在复平面内对应的点在第一象限，求m的取值范围．
18．（12分）已知函数（b，c∈R）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为．
（1）求b，c的值；
（2）若不等式f（x）≥k+2x在[0，2]上恒成立，求实数k的取值范围．
19．（12分）有关研究表明，正确佩戴安全头盔能够将交通事故死亡风险大幅降低，对保护群众生命安全具有重要作用．某市以巩固全国文明城市创建成果为抓手，组织开展“一路平安，多‘盔’有你”安全守护行动．行动期间，公安交管部门将加强执法管理，依法查纠电动自行车骑乘人员未佩戴安全头盔的行为，助推养成安全习惯．该行动开展一段时间后，某市针对电动自行车骑乘人员是否佩戴安全头盔问题进行调查，汇入表是该市交警从周一到周五在一主干路口所检查到的未佩戴安全头盔行为统计数据：
星期
一
二
三
四
五
星期代码
1
2
3
4
5
未佩戴头盔人数
68
48
38
30
16
（1）请利用所给数据，求未佩戴安全头盔人数y与星期代码x之间的回归直线方程，并预测该路口周六“未戴安全头盔人数”（用四舍五入法将结果取整数）：
（2）下表是交警从这5天内在随机检查的1000名骑行人员中，记录其性别和是否佩戴头盔情况：

佩戴头盔人数
未佩戴头盔人数
合计
男性
450
n
550
女性
m
100
450
合计
800
200
1000
根据调查数据，求出实数m，n的值并判断是否有90%的把握认为佩戴安全头盔与性别有关？
参考公式：＝＝，．
（其中n＝a+b+c+d）
P（K2≥k0）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
20．（12分）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1为菱形，AC1与A1C交于点O，AC1⊥B1C1，A1C＝6，AC1＝8，∠BA1C＝60°．
（1）求直线BB1与A1C所成角的正弦值；
（2）求二面角C﹣A1B﹣A的正切值．

21．（12分）2020年10月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，各地各校积极开展中小学健康促进行动，发挥以体育智、以体育心功能．某中学初三年级对全体男生进行了立定跳远测试，计分规则如表：
立定跳远（厘米）
[200，205）
[205，210）
[210，215）
[215，220）
[220，225）
[225，230）
得分
3.5
4
4.5
5
5.5
6
该年级组为了了解学生的体质，随机抽取了100名男生立定跳远的成绩，得到如下频率分布直方图．

（1）现从这100名男生中，任意抽取2人，求两人得分之和不大于7.5分的概率（结果用最简分数表示）；
（2）若该校初三年级所有男生的立定跳远成绩X服从正态分布N（215，σ2）．现在全年级所有初三男生中任取3人，记立定跳远成绩在215厘米以上（含215厘米）的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望；
（3）若本市25000名初三男生在某次测试中的立定跳远成绩服从正态分布．考生甲得知他的实际成绩为223厘米，而考生乙告诉考生甲：“这次测试平均成绩为210厘米，218厘米以上共有570人”，请结合统计学知识帮助考生甲辨别考生乙信息的真伪．
附：若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）＝0.9974．
22．（12分）已知函数f（x）＝+a（e＝2.71828⋅⋅⋅是自然对数的底数，a∈R且a≠0）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若x＝2是函数g（x）＝xexf（x）﹣axex+﹣2x在（0，+∞）上的唯一的极值点，求实数a的取值范围；
（3）若函数h（x）＝|lnx|﹣f（x）﹣a+1有两个不同的零点，求实数a的取值范围．

2020-2021学年江苏省扬州市高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（共8小题，每题5分，共40分）.
1．（5分）17×16×15×⋅⋅⋅×8×7等于（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：17×16×15×⋅⋅⋅×8×7＝＝．
故选：D．
2．（5分）若z＝1﹣i（i为虚数单位），则等于（　　）
A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i
【解答】解：z＝1﹣i（i为虚数单位），
∴＝
＝
＝
＝（1+i）2
＝2i．
故选：C．
3．（5分）已知x＝ln5，y＝5，z＝lg，则x，y，z的大小关系为（　　）
A．y＜z＜x B．x＜y＜z C．z＜y＜x D．z＜x＜y
【解答】解：因为ln5＞lne＞1，，＜lg1＝0，
所以z＜y＜x．
故选：C．
4．（5分）现有7名同学去听同时进行的4个科普知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同的选法的种数是（　　）
A．11 B．47 C．28 D．74
【解答】解：根据题意，每名同学可自由选择其中的一个讲座，即每个同学可以有4种选择，
则7名同学有4×4×4×4×4×4×4＝47种不同的选法，
故选：B．
5．（5分）已知如表为离散型随机变量X的概率分布表，则概率P（X≥V（X））等于（　　）
X
0
1
2
P

p

A． B． C． D．1
【解答】解：由随机变量分布列的性质可知，，
解得，
故E（X）＝0×+1×+2×＝1，
＝，
所以P（X≥V（X））＝P（X≥）＝P（X＝1）+P（X＝2）＝＝．
故选：C．
6．（5分）等于（　　）
A．120 B．210 C．126 D．240
【解答】解：由组合数的性质可得，
＝
＝
＝
＝•••
＝
＝
＝＝210．
故选：B．
7．（5分）已知函数y＝f（x）的图象如图所示，则此函数的解析式可能是（　　）

A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意，用排除法分析：
对于A，f（x）＝，其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）＝＝f（x），f（x）为偶函数，不符合题意；
对于B，f（x）＝，其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）＝＝f（x），f（x）为偶函数，不符合题意；
对于C，f（x）＝，在区间（0，）上，cos7x＞0，3﹣x﹣3x＜0，必有f（x）＜0，不符合题意；
故选：D．
8．（5分）中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，始见于《周礼•春官•大师》．八音分为“金、石、土、革、丝、木、匏、竹”，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．甲、乙、丙三名同学想学习这八种乐器，他们商定采用抽签（无放回）的方法，先制作8个号签（每个号签上分别写有这8个乐器的名称），再制作1个形状大小相同的空号签，然后每人抽取3个号签，选中的号签就是自己学习的乐器，若同学甲选择的打击乐器数为X，则P（X＝2）等于（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：八音分为“金、石、土、革、丝、木、匏、竹”，
其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．
甲、乙、丙三名同学想学习这八种乐器，他们商定采用抽签（无放回）的方法，
先制作8个号签（每个号签上分别写有这8个乐器的名称），再制作1个形状大小相同的空号签，
然后每人抽取3个号签，选中的号签就是自己学习的乐器，
同学甲选择的基本事件个数n＝＝56，
同学甲选择的打击乐器数为X，
则X＝2包含的基本事件个数m＝＝24，
则P（X＝2）＝＝＝．
故选：D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．（5分）下列关于复数z，z1，z2，结论正确的是（　　）
A．|z1z2|＝|z1|•|z2|
B．若z1z2∈R，则
C．若z2＜0，则z是虚数
D．若z满足|z|＝1，则|z﹣2i|的最小值为1
【解答】解：对于A，由复数模的运算性质可知，|z1z2|＝|z1|•|z2|，故选项A正确；
对于B，当z1＝z2＝i时，z1z2∈R，但是z1≠，故选项B错误；
对于C，设z＝a+bi，则z2＝a2﹣b2+2abi＜0，
则a2＜b2且ab＝0，则a＝0，故z是虚数，故选项C正确；
对于D，z满足|z|＝1，则复数z对应的点在单位圆上，
|z﹣2i|表示点Z到（0，2）的距离，故|z﹣2i|的最小值为2﹣1＝1，故选项D正确．
故选：ACD．
10．（5分）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则下列结论正确的是（　　）

A．直线BN与AD1是异面直线
B．直线MN与AD1所成的角为45°
C．直线AM与平面BCC1B1所成角的正切值为
D．点N到平面ABM的距离为
【解答】解：在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
对于A，∵AD1∥BC1，BN∩BC1＝B，∴直线BN与AD1是异面直线，故A正确；
对于B，M（0，1，2），N（0，2，1），A（2，0，0），D1（0，0，2），
＝（0，1，﹣1），＝（﹣2，0，2），
设直线MN与AD1所成的角为θ，
则cosθ＝＝＝，∴θ＝60°，
∴直线MN与AD1所成的角为60°，故B错误；
对于C，平面BCC1B1的法向量＝（0，1，0），＝（﹣2，1，2），
设直线AM与平面BCC1B1所成角为θ，
则sinθ＝＝，cosθ＝＝，
∴直线AM与平面BCC1B1所成角的正切值为：
tanθ＝＝＝，故C正确；
对于D，B（2，2，0），＝（0，2，0），＝（﹣2，1，2），＝（﹣2，2，1），
设平面ABM的法向量＝（a，b，c），
则，取a＝1，得＝（1，0，1），
∴点N到平面ABM的距离为d＝＝＝，故D正确．
故选：ACD．

11．（5分）已知（a＞0）展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（　　）
A．偶数项的二项式系数和为256
B．不存在常数项
C．系数最大项为第5项
D．含x7项的系数为45
【解答】解：因为第4项与第8项的二项式系数相等，所以展开式共11项，n＝10；
令x＝1，得（1+a）10＝1024，又a＞0，所以a＝1；
对于A选项，偶数项的二项式系数和为29＝512，说法错误；
通项公式为
不存在整数k使得成立，所以B选项说法正确；
当k＝5时，最大，所以系数最大项为第6项，所以C选项说法错误；
令，解得k＝2，所以系数为，所以D选项说法正确．
故选：BD．
12．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，且满足f（﹣x）+f（x）＝2x2.当x≥0时，f'（x）＜2x．若方程ex﹣ex﹣a＝0（a∈R，e为自然对数的底数）的一个根为x0，且x0为不等式f（x）﹣f（4﹣x）≤8x﹣16的一个解，则实数a的取值可能是（　　）
A．0 B．e C．2e﹣e2 D．3e﹣e3
【解答】解：令g（x）＝f（x）﹣x2，定义域为R，
因为f（﹣x）+f（x）＝2x2，
所以g（x）+g（﹣x）＝f（x）﹣x2+f（﹣x）﹣x2＝0，
所以g（x）为奇函数，
当x≥0时，f'（x）＜2x，
则g'（x）＝f'（x）﹣2x＜0，所以g（x）在[0，+∞）上单调递减，
则g（x）在R上单调递减，
因为f（x）﹣f（4﹣x）≤8x﹣16，
则f（x）﹣x2≤f（4﹣x）﹣（4﹣x）2，
即g（x）≤g（4﹣x），
所以x≥4﹣x，解得x≥2，
令h（x）＝ex﹣ex﹣a，x0为h（x）＝0的一个根，
当x≥2时，h'（x）＝e﹣ex＜0，
故h（x）在[2，+∞）上单调递减，
又，
所以要使得h（x）在x≥2时有一个零点，
只要h（2）＝2e﹣e2﹣a≤0，解得a≥2e﹣e2，
又因为方程ex﹣ex﹣a＝0，则a＝ex﹣ex，x≥2，
所以a＜0，即2e﹣e2≤a＜0，
则a的可能取值为2e﹣e2或3e﹣e3．
故选：CD．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）52021除以4的余数是 　1　．
【解答】解：＝，M∈Z，
所以52021除以4的余数为1．
故答案为：1．
14．（5分）将两枚质地均匀的骰子各掷一次，向上点数之和为7时，则其中有一个点数是2的概率是 　　．
【解答】解：将两枚质地均匀的骰子各掷一次，向上点数之和为7时，
基本事件有：
（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1），共6个，
其中有一个点数是2包含的基本事件有：
（2，5），（5，2），共2个，
则其中有一个点数是2的概率是P＝＝．
故答案为：．
15．（5分）偶函数f（x）对任意x∈R都有f（x+2）＝﹣f（x），则f（2021）＝　0　．
【解答】解：根据题意，偶函数f（x）对任意x∈R都有f（x+2）＝﹣f（x），
令x＝﹣1可得：f（﹣1）＝f（1）且f（1）＝﹣f（﹣1），
必有f（1）＝0，
又由f（x+2）＝﹣f（x），变形可得f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），则有f（2021）＝f（1+505×4）＝f（1），
则f（2021）＝0，
故答案为：0．
16．（5分）已知函数f（x）＝，则f（x）max＝　　；若直线y＝a（a≥0）与函数f（x）＝的图象有交点，则a的取值范围为 　．　．
【解答】解：令p（x）＝lnx﹣x+1，则，
所以p（x） 在 （0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
故p（x）max＝p（1）＝0，所以p（x）⩽0⇔lnx⩽x﹣1，当x＝1时，不等式取等号．
令，则，
所以q（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
故，当x＝1时，不等式取等号．
所以．
当．
，
令，
当时，，故g（x）在上单调递减，
又，所以g（x）＞0，故f（x）在上单调递增；
当时，f（x）＞0，
又x→+∞时，f（x）→0；x→0+，f（x）→﹣∞，且 ，
所以a的取值范围为．
四、解答题（本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知复数z＝（3m2﹣12）+（3m2﹣m﹣14）i，其中m∈R，i为虚数单位．
（1）若z为纯虚数，求m的值；
（2）若z在复平面内对应的点在第一象限，求m的取值范围．
【解答】解：（1）因为z为纯虚数，所以，解得m＝2，
（2）由z在复平面内对应的点在第一象限可得，
解得m＜﹣2，或，即实数m的取值范国为．
18．（12分）已知函数（b，c∈R）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为．
（1）求b，c的值；
（2）若不等式f（x）≥k+2x在[0，2]上恒成立，求实数k的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得，f'（x）＝x2+2bx+c，
所以，解得b＝1，c＝﹣1；
（2）由（1）知，，
不等式在[0，2]上恒成立，
即在[0，2]恒成立，
设，则g'（x）＝x2+2x﹣3
令g'（x）＝0，得x＝1或x＝﹣3（舍去），
列表如下：
x
（0，1）
1
（1，2）
g'（x）
﹣
0
+
g（x）
单调递减
极小值
单调递增
则此时的极小值为，即最小值为，
所以实数k的取值范围为．
19．（12分）有关研究表明，正确佩戴安全头盔能够将交通事故死亡风险大幅降低，对保护群众生命安全具有重要作用．某市以巩固全国文明城市创建成果为抓手，组织开展“一路平安，多‘盔’有你”安全守护行动．行动期间，公安交管部门将加强执法管理，依法查纠电动自行车骑乘人员未佩戴安全头盔的行为，助推养成安全习惯．该行动开展一段时间后，某市针对电动自行车骑乘人员是否佩戴安全头盔问题进行调查，汇入表是该市交警从周一到周五在一主干路口所检查到的未佩戴安全头盔行为统计数据：
星期
一
二
三
四
五
星期代码
1
2
3
4
5
未佩戴头盔人数
68
48
38
30
16
（1）请利用所给数据，求未佩戴安全头盔人数y与星期代码x之间的回归直线方程，并预测该路口周六“未戴安全头盔人数”（用四舍五入法将结果取整数）：
（2）下表是交警从这5天内在随机检查的1000名骑行人员中，记录其性别和是否佩戴头盔情况：

佩戴头盔人数
未佩戴头盔人数
合计
男性
450
n
550
女性
m
100
450
合计
800
200
1000
根据调查数据，求出实数m，n的值并判断是否有90%的把握认为佩戴安全头盔与性别有关？
参考公式：＝＝，．
（其中n＝a+b+c+d）
P（K2≥k0）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
【解答】解：（1）由表中的数据可知，，，
所以，
故＝40﹣（{﹣12.2}）×3＝76.6，
所以所求的回归直线方程为；
令x＝6，则人；
（2）实数m＝350，n＝100
捉出假设H0：“性别”与佩戴头盔行为无关，
由表中的数据可得，
根据临界值可得，没有90%的把握认为“性别”与佩戴头盔行有关．
20．（12分）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1为菱形，AC1与A1C交于点O，AC1⊥B1C1，A1C＝6，AC1＝8，∠BA1C＝60°．
（1）求直线BB1与A1C所成角的正弦值；
（2）求二面角C﹣A1B﹣A的正切值．

【解答】解：（1）因为斜三棱柱ABC﹣A1B1C1，所以BB1∥AA1，
∴∠AA1O（或其补角）就是直线BB1与A1C所成角，
又侧面ACC1A1为菱形，故AC1⊥A1C，
∴在Rt△AA1O中，A1O＝3，AO＝4，∴AA1＝5，∴，
故直线BB1与A1C所成角的正弦值为．
（1）由（1）知：AC1⊥A1C，又∵ABC﹣A1B1C1为斜三棱柱，∴BC∥B1C1，
又∵AC1⊥B1C1，
∴AC1⊥BC，又BC，A1C⊂面A1BC，A1C∩BC＝C，∴AO⊥面A1BC，
过点O作OH⊥A1B，垂足为H，连接AH．

由于AO⊥面A1BC，A1B⊂面A1BC，
故AO⊥A1B，又OH⊥A1B，OH，AO⊂面AOH，OH∩AO＝O，
∴A1B⊥面AOH，
∴A1B⊥AH，所以∠OHA是二面角C﹣A1B﹣A的平面角，
在Rt△A1OH中，，
又AO⊥面A1BC，故AO⊥OH，
在Rt△AOH中，，
即二面角C﹣A1B﹣A的正切值为．
21．（12分）2020年10月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，各地各校积极开展中小学健康促进行动，发挥以体育智、以体育心功能．某中学初三年级对全体男生进行了立定跳远测试，计分规则如表：
立定跳远（厘米）
[200，205）
[205，210）
[210，215）
[215，220）
[220，225）
[225，230）
得分
3.5
4
4.5
5
5.5
6
该年级组为了了解学生的体质，随机抽取了100名男生立定跳远的成绩，得到如下频率分布直方图．

（1）现从这100名男生中，任意抽取2人，求两人得分之和不大于7.5分的概率（结果用最简分数表示）；
（2）若该校初三年级所有男生的立定跳远成绩X服从正态分布N（215，σ2）．现在全年级所有初三男生中任取3人，记立定跳远成绩在215厘米以上（含215厘米）的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望；
（3）若本市25000名初三男生在某次测试中的立定跳远成绩服从正态分布．考生甲得知他的实际成绩为223厘米，而考生乙告诉考生甲：“这次测试平均成绩为210厘米，218厘米以上共有570人”，请结合统计学知识帮助考生甲辨别考生乙信息的真伪．
附：若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）＝0.9974．
【解答】解：（1）现从样本的100名学生中，任意选取2人，两人得分之和不大于7.5分，
即两人得分均为3.5分，或两人中1人3.5分，1人4分，
由题意知：得3.5分的分数为6人，得4分的人数为9人，
两人得分之和不大于7.5分的概率为：．……（2分）
（2）依题意，得μ＝215
∴，∴…………（2分）
∴，
，
，
，
∴ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
P




E（ξ）＝＝．……（6分）
（3）假设考生乙所说为真，则μ＝210，
P（X≥μ+2σ）＝＝＝0.0228，
而＝0.228，所以σ＝＝4，……（8分）
从而μ+3σ＝210+3×4＝222＜223，
而P（X≥μ+3σ）＝＝＝0.0013＜0.005，……（10分）
所以X≥μ+3σ为小概率事件，即甲同学的成绩为223厘米是小概率事件，
可认为其不可能发生，但却又发生了，所以可认为乙同学所说为假．………（12分）
22．（12分）已知函数f（x）＝+a（e＝2.71828⋅⋅⋅是自然对数的底数，a∈R且a≠0）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若x＝2是函数g（x）＝xexf（x）﹣axex+﹣2x在（0，+∞）上的唯一的极值点，求实数a的取值范围；
（3）若函数h（x）＝|lnx|﹣f（x）﹣a+1有两个不同的零点，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）∵f（x）＝+a，∴f′（x）＝，
当a＞0时，x∈（﹣∞，）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当a＜0时，x∈（﹣∞，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
综上，当a＞0时，f（x）单调递增区间为（﹣∞，），f（x）单调递减区间为（，+∞）；
当a＜0时，f（x）单调递增区间为（，+∞），f（x）单调递减区间为（﹣∞，）；
（2）由题意可求得
g′（x）＝+x﹣2＝，
因为2是函数g（x）在（0，+∞）上的唯一的极值点，
所以ex﹣ax＝0在x∈（0，+∞）内无变号根或无根；
设φ（x）＝ex﹣ax，则φ′（x）＝ex﹣a，
①当a≤1且a≠0时，x∈（0，+∞），φ′（x）＝ex﹣a＞0，
所以φ（x）在（0，+∞）上单调递增，φ（x）＞φ（0）＝1＞0，符合条件；
②当a＞1时，令φ′（x）＝ex﹣a＝0，得x＝lna，
x∈（0，lna），φ′（x）＝ex﹣a＜0，φ（x）递减，
x∈（lna，+∞），φ′（x）＝ex﹣a＞0，φ（x）递增，
所以φ（x）min＝φ（lna）＝a﹣alna≥0，即1＜a≤e；
综上所述，a的取值范围为（﹣∞，0）∪（0，e]；
（3）由题意得：h（x）＝|lnx|﹣f（x）﹣a＝|lnx|﹣﹣a，x∈（0，+∞），
令y＝，则y′＝，所以y＝在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，
（ⅰ）当x∈（1，+∞）时，lnx＞0，则h（x）＝lnx﹣﹣a，所以h′（x）＝e﹣2x（+2x﹣1），
因为2x﹣1＞0，＞0，所以h′（x）＞0，因此h（x）在（1，+∞）上单调递增．
（ⅱ）当x∈（0，1）时，lnx＜0，则h（x）＝﹣lnx﹣﹣a，所以h′（x）＝e2x（﹣+2x﹣1），
因为e2x∈（1，e2），e2x＞1，0＜x＜1，∴＞1，即﹣＜﹣1，又2x﹣1＜1，
所以h′（x）＝e﹣2x（﹣+2x﹣1）＜0，因此h（x）在（0，1）上单调递减，
综合（ⅰ）（ⅱ）可知，当x∈（0，+∞）时，h（x）≥h（1）＝﹣e2﹣a，
因为函数h（x）＝|lnx|﹣f（x）﹣a+1有两个不同的零点，所以h（1）＝﹣e2﹣a＜0，
即a＞﹣e﹣2且a≠0，
而当a＞﹣e﹣2且a≠0时，
①当x∈（1，+∞）时，h（x）＝lnx﹣﹣a＞lnx﹣（+1）＞lnx﹣1﹣a，
∴h（ea+1）＞0，故h（x）在（1，ea+1）内有1个零点；
②当x∈（0，1）时，h（x）＝﹣lnx﹣﹣a≥﹣lnx﹣（e﹣1+a）＞﹣lnx﹣1﹣a，
∴h（e﹣1﹣a）＞0，
故h（x）在（e﹣a﹣1，1）内有1个零点；
所以当a＞﹣e﹣2且a≠0时，h（x）有两个零点，
故a的取值范围为（﹣e2，0）∪（0，+∞）．
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日期：2021/7/15 7:13:25；用户：高数名师；邮箱：18355093308；学号：38847732