2021北京延庆区高二下学期期中考试数学试题含答案
展开延庆区2020—2021学年第二学期期中试卷
高二数学 2021.5
本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的， 把答案填在答题卡上.
2. 若，则实数的值为 | |||||||||||
（A） | （B） | （C） | （D） | ||||||||
3. 一部影片在5个单位轮流放映，每个单位放映一场，则不同的放映次序种数是 | |||||||||||
（A） | （B） | （C） | （D） | ||||||||
4. 在的展开式中第4项的二项式系数是 | |||||||||||
（A） | （B） | （C） | （D） | ||||||||
5. 已知复数（是虚数单位），则 | |||||||||||
（A） | （B） | （C） | （D） | ||||||||
则不同的选取方案的种数是
| |||||||||||
7.已知数列的前项和 则 | |||||||||||
（A） | （B） | （C） | （D） | ||||||||
8．从中任取个不同的数，事件=“取到的个数之和为偶数”，事件=“取到的个数均为偶数”，则 | |||||||||||
（A） | （B） | （C） | （D） | ||||||||
9．随机变量服从二项分布～，且，则等于 | |||||||||||
（A） | （B） | （C） | （D） | ||||||||
10. 设为坐标原点，抛物线的焦点为，为抛物线上一点. 若，则的面积为 | |||||||||||
（A） | （B） | （C） | （D） | ||||||||
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡上.
11．已知为等差数列，为其前项和,若,则_________．
12．在的展开式中，的系数为_________．（用数字作答）
13．已知双曲线的离心率是，则双曲线的右焦点坐标为_________．
14．离散型随机变量的分布列为:
且，则_________； _________.
15．已知函数若存在，，使得，则的取值范围是_________．
三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分14分）
已知函数，再从条件①、②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）的最小正周期； （Ⅱ）的单调递增区间．
条件①：； 条件②：的对称中心．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
17.（本小题满分14分）
如图，正方体中，棱长为2，，分别是，的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
18.（本小题满分14分）
某贫困县在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展种茶业．该县农科所为了对比，两种不同品种茶叶的产量，在试验田上分别种植了，两种茶叶各亩，所得亩产数据（单位：千克）如下：
：，，，，，，，，，；
：，，，，，，，，，；
（Ⅰ）从，两种茶叶亩产数据中各任取个，求这两个数据都不低于的概率；
（Ⅱ）从品种茶叶的亩产数据中任取个，记这个数据中不低于的个数为，求的分布列及数学期望.
19.（本小题满分14分）
甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球次均命中的概率为.
(Ⅰ)求甲投球次，命中次的概率；
(Ⅱ)若乙投球次，设命中的次数为,求的分布列.
20. （本小题满分14分）
已知椭圆过点，且．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ） 若过的直线与轴交于点，过点作直线，不垂直于坐标轴且与不重合，与椭圆交于两点，直线分别交直线于两点，求证：．
21. （本小题满分15分）
数列中，给定正整数，.定义:数列满足，称数列的前项单调不增.
（Ⅰ）若数列通项公式为：，求；
（Ⅱ）若数列满足：，
求证: 的充分必要条件是数列的前项单调不增；
（Ⅲ）给定正整数，若数列满足：，且数列的前项和为，求的最大值与最小值.
延庆区2020—2021学年第二学期期中试卷
高二数学答案及评分标准 2021.5
一、选择题： 本大题共10小题，共40分.
A C D A C B C B A D
二、填空题：本大题共5小题，共25分.
11. ； 12. ； 13. 14 . 15.
三、解答题：本大题共6小题，共75分.
16.（本小题满分14分）
选 ① ………1分
解：(Ⅰ) ………3分
………5分
………7分所以的最小正周期为： …………8分
选②的对称中心． …………1分
解：（I） …………2分
…………3分
由已知
………5分 ………7分所以的最小正周期为： …………8分
（Ⅱ） ………11分
…………13分
所以的递增区间为 …………14分
17.（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）证明：取的中点，连接，. …………… 1分
因为是的中点，所以，.
因为是的中点，所以，.
所以，.
所以四边形是平行四边形.
所以. ………… 5分
因为平面，平面，
所以平面. ………… 6分
方法二（向量法）因为正方体中，以点为坐标原点，分别以直线，，为，，轴建立空间直角坐标系. ………… 1分
所以，,, ………… 3分
因为平面
所以，,, ………… 5分
所以平面. ………… 6分
（Ⅱ）因为正方体中，以点为坐标原点，分别以直线，，为，，轴建立空间直角坐标系. ………… 7分
所以，,,
所以，,, ………… 10分
设平面的法向量为，
………… 12分
………… 13分
所以直线与平面所成角的正弦值. ………… 14分
18. （本小题满分14分）
（Ⅰ）从A种茶叶亩产数据中任取一个，不低于的有个，
从B种茶叶亩产数据中任取一个，不低于的有个，
设“所取两个数据都不低于”为事件，则
……… 3分
（Ⅱ）的所有可能取值为 ……… 4分
， ……… 6分
， ……… 8分
， ……… 10分
的分布列为
0 | 1 | 2 | |
期望 ……… 14分
19解：(Ⅰ)设“甲投球一次命中”为事件，
则. …………… 2分
故甲投球次命中 次的概率为
…………5分
(Ⅱ) 设“乙投球一次命中”为事件.
由题意得， 解得， ………6分
所以. ……………7分
可以看出服从：……………8分
……………9分
……………10分
……………11分
……………12分
0 | 1 | 2 | 3 | |
……………14分
20．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ） 由椭圆过，且，得
……………3分
所以椭圆W的方程为． ……………4分
（Ⅱ）由 ，可知
所以， ………5分
设直线的方程为. ………6分
由得．……………7分
且.
设，则． ………8分
记直线的方程为，………9分
令，得点的纵坐标． ………10分
记直线的方程为， ………11分
令，得点的纵坐标． ………12分
所以为定值1．………13分
所以为等腰三角形，因此 ………14分
方法2：
所以为定值1．………13分
所以为等腰三角形，因此 ………14分
21解: (Ⅰ). ……………………3分
(Ⅱ)充分性：若数列的前项单调不增，即
此时有：
必要性：反证法，若数列的前项不是单调不增，则存在使得，那么:
由于..
与已知矛盾. ……………………9分
(Ⅲ)最小值为0.此时为常数列. ……………………10分
最大值为 ………………11分
当时的最大值：此时, ………………12分
.
当时的最大值：此时.
由易证，的值的只有是大小交替出现时，才能让取最大值.
不妨设：，为奇数，，为偶数.
当为奇数时有：
当为偶数时同理可证. ……………15分
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