2022淮安车桥中学高二上学期入学调研（A）数学（理）试题含答案

2022届高二入学调研试卷

理 科 数 学 （A）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知，，则（    ）

A．  B．

C． D．

【答案】D

【解析】，

或，

所以或，故选D．

2．在中，若，则三角形的最大角与最小角的和是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】在中，若，

由正弦定理化边为角可得：，

根据大边对大角，小边对小角可知：最大角为，最小角为，

设，，，

在中，由余弦定理可得：，

因为，所以，所以，

所以三角形的最大角与最小角的和是，故选B．

3．设公差为的等差数列，如果，那么（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】∵是公差为的等差数列，

∴

，

故选D．

4．直线l过点，且与以，为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围（    ）

A．  B．

C． D．

【答案】D

【解析】如图所示：

因为，，

所以直线l与以，为端点的线段相交，

只需：或，故选D．

5．已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，

①若，，则；

②若，，，则；

③若，，，则；

④若，，，则．

上述说法中正确的是（    ）

A．①③ B．①④ C．②④ D．①②

【答案】B

【解析】对于①，由平面与平面垂直的判定定理可知正确；

对于②，若，，，则可能平行，也可能相交，垂直；

对于③，若，，，则可能平行，也可能异面；

对于④，由直线与平面平行的性质定理可得④正确，

故选B．

6．已知圆，，则这两圆的公共弦长为（    ）

A．2 B． C．2 D．1

【答案】C

【解析】由题意知，，

将两圆的方程相减，得，

所以两圆的公共弦所在直线的方程为．

又因为圆的圆心为，半径，

所以圆的圆心到直线的距离，

所以这两圆的公共弦的弦长为，故选C．

7．数列中的前项和，数列的前项和为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】当时，，

当时，，

经检验不满足上式，所以，

设，则，

所以，

故选D．

8．圆锥的高为1，体积为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值

为（    ）

A．2 B． C． D．1

【答案】A

【解析】圆锥的高为1，体积为，则底面圆的半径为，母线长为2，

轴截面的顶角为，

当截面为直角三角形时，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积最大，

最大值为，

故选A．

9．设函数，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】∵，即开口向上且，

由恒成立，即在上恒成立，

∴当时，即，由二次函数的性质，显然成立；

当时，有两个零点，则只需满足，解得，故，

综上，的取值范围是，故选B．

10．已知，圆，点，分别是圆，圆上的动点，为轴上的动点，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意可知，圆的圆心，半径为，

圆的圆心，半径为，

要使得取最大值，需的值最大，的值最小．

其中的最大值为，的最小值为，

则的最大值为，

点关于轴的对称点，

，

所以的最大值为，故选C．

11．已知锐角三角形的内角，，的对边分别为，，，且，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】依题意，

由正弦定理得，所以，，

由于三角形是锐角三角形，所以，

由，

所以

，

由于，所以，

所以，故选C．

12．在三棱锥中，，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】在中，，

即，

又，∴为等边三角形，

根据题意，有如下示意图：

如图，设的外接圆的圆心为，连接，，，连接PH．

由题意可得，且，，

∴由上知：且，

又，∴，

由，平面ABC．

设O为三棱锥外接球的球心，连接，，

OC过O作，垂足为D，

则外接球的半径R满足，，，代入解得，即有，

∴三棱锥外接球的表面积为，故选A．

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知关于的不等式的解集是，则______．

【答案】

【解析】由题意可知，、为方程的两根，

所以，解得，因此，

故答案为．

14．如图，为了测量河对岸的塔高AB，可以选与塔底B在同一水平面内的两个基点C与D，现测得米，且在点C和D测得塔顶A的仰角分别为45°，30°，又

，则塔高________．

【答案】200米

【解析】设塔高米，则，，，

中，由余弦定理，

所以，，

故答案为200米．

15．已知数列满足，，则数列的前项的和

等于_______．

【答案】

【解析】，，

所以，当时，有，

当时，有，

所以，数列是每项均为的常数列，

数列是首项为，公差为的等差数列，

设数列的前项和为，

则，

故答案为．

16．已知是圆外一点，过作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为____________．

【答案】

【解析】圆的标准方程为，则圆的半径为，

设，则，

因为，所以，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，

故的最小值为，故答案为．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知直线，．

（1）当时，求实数的值；

（2）当时，求直线与之间的距离．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）因为，所以，解得．

（2）因为，所以，解得或1．

当时，直线与重合，不合题意，舍去；

当时，直线的方程为，

直线的方程为，即，

所以所求距离．

18．（12分）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足．

（1）求；

（2）若的面积为，求周长的最小值．

【答案】（1）；（2）9．

【解析】（1）由正弦定理，

化简，

可得，

所以，即．

又，所以．

（2）结合三角形的面积公式得到，即，

所以，当且仅当时取等号．

又由余弦定理得，

所以，当且仅当时取等号，

所以周长的最小值为．

19．（12分）已知数列满足，．

（1）求证：数列为等比数列，并求出；

（2）求数列的前项和．

【答案】（1）证明见解析，；（2）．

【解析】证：（1），，

又，得，故，

从而，

数列为首项为3，公比为3的等比数列，

从而，．

（2）令，

所以可由错位相加法得：，

，

两式相减：，

．

20．（12分）已知函数，，．

（1）若关于的不等式的解集为，求，的值；

（2）若，解关于的不等式．

【答案】（1），；（2）答案见解析．

【解析】（1）由题意，得为一元二次方程的两个根．

由根与系数的关系得，，解得，．

（2）由题意，得，

当时，不等式为，则解集是；

当时，不等式为，

当时，，不等式等价于，

则不等式的解集是；

当时，，不等式等价于，

则不等式的解集是，

综上可得，当时，解集为；

当时，解集为；

当时，解集为．

21．（12分）已知圆S经过点和点，圆心S在直线上．

（1）求圆S的方程；

（2）若直线与圆S相交于两点，若为钝角（O为坐标原点），求实数m的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）线段的中垂线方程为，

，即圆心，

圆S半径，

所以圆S的方程为．

（2）将直线代入圆S的方程，消去x并整理得．

令，得，

设，，由韦达定理得则，．

又为钝角，得，即，

解得，

，

所以实数m的取值范围是．

22．（12分）如图，在四棱锥中，平面，，，，，是的中点．

（1）证明：平面平面；

（2）已知二面角的平面角的余弦为，求与平面所成角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）如图，连接，

因为，，，所以，

因为是的中点，所以，

因为平面，所以，

因为，所以平面，

因为平面，所以平面平面．

（2）由题易知，，，，

因为平面，平面，所以，

因为，所以是二面角的平面角，

因为二面角的平面角的余弦为，所以，

因为平面，所以，，解得，，

因为平面，所以是与平面所成角，

则，与平面所成角的正弦值为．