2022临沂平邑县一中实验部高二上学期第二次月考数学试题含答案

这是一份2022临沂平邑县一中实验部高二上学期第二次月考数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了10等内容，欢迎下载使用。
平邑一中高60级实验部第二次三校区联合教研测试
数学试题
时间：120分钟 分值：150分 2021.10
注意事项
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，正确粘贴条形码。
2. 客观选择题答案须用铅笔把答题卡相应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。主观题答案须按题号在答题卡规定区域作答。

一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知A（3，1），B（1，﹣2），C（1，1），则过点C且与线段AB垂直的直线方程为（　　）
A．3x+2y﹣5＝0 B．3x﹣2y﹣1＝0 C．2x﹣3y+1＝0 D．2x+3y﹣5＝0
2．若直线l1：ax＋2y＋6＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行，则a＝(　　)
A．2或－1 B．－1 C．2 D．
.3.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC⊥BC，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线A B1所成角的余弦值为(　　)
A． B． C． D．

4.已知三棱锥O­ABC中，OA⊥OB，OB⊥OC，OC⊥OA，且OA＝1，OB＝2，OC＝2，则点A到直线BC的距离为(　　)
A． B．
C． D．3
5．已知a＞0，b＞0，直线l1：x+（a﹣4）y+1＝0，l2：2bx+y﹣2＝0，且l1⊥l2，则的最小值为（　　）
A．2 B．4 C． D．
6．过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是(　　)
A．x＋2y－5＝0 B．2x＋y－4＝0
C．x＋3y－7＝0 D．x－2y＋3＝0
7．在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图），若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（　　）

A． 2 B． 1
C D．
8．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为________．

A B 3 C D 2



二、 多项选择题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在 每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得2 分，有选错的得 0 分)
9．在平面直角坐标系Oxy中，圆C的方程为x2＋y2－4x＝0.若直线y＝k(x＋1)上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值可以是(　　)
A．1 B．2 C．0 D．4
10．下列说法错误的是(　　)
A．“a＝－1”是“直线a2x－y＋1＝0与直线x－ay－2＝0互相垂直”的充要条件
B．直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角θ的取值范围是∪
C．过(x1，y1)，(x2，y2)两点的所有直线的方程为＝
D．经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x＋y－2＝0
11．已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则下列说法正确的是(　　)
A．y－x的最大值为－2
B．x2＋y2的最大值为7＋4
C．的最大值为
D．x＋y的最大值为2＋
12．如图(1)是一副直角三角板的示意图．现将两三角板拼成直二面角，得到四面体ABCD，如图(2)所示，则下列结论中正确的是(　　)

A．·＝0
B．平面BCD的法向量与平面ACD的法向量垂直
C．异面直线BC与AD所成的角为60°
D．直线DC与平面ABC所成的角为30°
三、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把 答案填在题中的横线上)
13．若直角三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（5，﹣1），B（1，1），C（2，m），则实数m的取值集合为

14．在空间中，已知平面α过A(3,0,0)和B(0,4,0)及z轴上一点P(0,0，a)(a>0)，如果平面α与平面xOy的夹角为45°，则a＝________.
15．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为________．
16．已知A(0,0，－x)，B(1，，2)，C(x，，2)三点，点M在平面ABC内，O是平面ABC外一点，且＝x＋2x＋4，则x＝________，与的夹角为________．(本题第一空2分，第二空3分)

四、解答题(本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)直线l经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点．
(1)若直线l与直线3x＋y－1＝0平行，求直线l的方程；
(2)若点A(3,1)到直线l的距离为5，求直线l的方程．







18.（本题满分12分）如图，已知四边形ABCD为矩形，四边形ABEF为直角梯形，FA⊥AB，AD＝AF＝FE＝1，AB＝2，AD⊥BE.
（1）求证：BE⊥DE；
(2)求点F到平面CBE的距离．



19.（本题满分12分)等腰直角△ABC的直角为角C，且点C(0，－1)，斜边AB所在的直线方程为x＋2y－8＝0.
(1)求△ABC的面积；
(2)求斜边AB中点D的坐标．


20. (本题满分12分)如图所示的几何体中，BE⊥BC，EA⊥AC，BC＝2，AC＝2，∠ACB＝45°，AD∥BC，BC＝2AD．
(1)求证：AE⊥平面ABCD
(2)若∠ABE＝60°，点F在EC上，且满足EF＝2FC，求平面FAD与平面ADC的夹角的余弦值．



21．(本题满分12分)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，∠ADP＝90°，平面ADP⊥平面ABCD，F为棱PD的中点．
(1)在棱AB上是否存在一点E，使得AF∥平面PCE？并说明理由；
(2)当二面角D­FC­B的余弦值为时，求直线PB与平面ABCD所成的角．



22.(本题满分12分)在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆．最小覆盖圆满足以下性质：①线段AB的最小覆盖圆就是以AB为直径的圆．②锐角△ABC的最小覆盖圆就是其外接圆．
已知曲线W：x2＋y4＝16，A(0，t)，B(4,0)，C(0,2)，D(－4,0)为曲线W上不同的四点．
(1)求实数t的值及△ABC的最小覆盖圆的方程．
(2)求四边形ABCD的最小覆盖圆的方程．
(3)求曲线W的最小覆盖圆的方程．



平邑一中实验部第二次调研测试数学答案
1.D．2．B.3A　4.B　
5．D【解答】解：因为l1⊥l2，所以2b+a﹣4＝0，即a+1+2b＝5．
因为a＞0，b＞0，所以a+1＞0，2b＞0，
所以， ，当且仅当，时，等号成立，故选：D．
6．A　[结合图形可知，所求直线为过点(1,2)且与原点和点(1,2)连线垂直的直线，其斜率为－，直线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0.]
7．C解：建立如图所示的坐标系：
可得B（4，0），C（0，4），故直线BC的方程为x+y＝4，
△ABC的重心为（，），设P（a，0），其中0＜a＜4，
则点P关于直线BC的对称点P1（x，y），满足，
解得，即P1（4，4﹣a），易得P关于y轴的对称点P2（﹣a，0），
由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四点共线，
直线QR的斜率为k＝＝，故直线QR的方程为y＝（x+a），
由于直线QR过△ABC的重心（，），代入化简可得3a2﹣4a＝0，
解得a＝，或a＝0（舍去），故P（，0），故AP＝


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8．
则A(4,0,0)，M(2,0,4)，D(0,0,0)，B(4,4,0)，E(0,2,4)，F(2,4,4)，N(4,2,4)．
∴＝(2,2,0)，＝(2,2,0)，＝(－2,0,4)，＝(－2,0,4)，
∴＝，＝，
∴EF∥MN，BF∥AM，EF∩BF＝F，MN∩AM＝M.
∴平面AMN∥平面EFBD．
设n＝(x，y，z)是平面AMN的法向量，
则解得
取z＝1，则x＝2，y＝－2，得n＝(2，－2,1)．
平面AMN到平面EFBD的距离就是点B到平面AMN的距离．
∵＝(0,4,0)，∴平面AMN与平面EFBD间的距离d＝＝.]
二多选题：
9．ABC　[过P点作圆的两条切线，切点分别是A，B，依题意得，四边形PACB是正方形，又C：(x－2)2＋y2＝4，∴|PC|＝|AC|＝2，
∴P点在以C(2,0)为圆心，2为半径的圆上．其方程为(x－2)2＋y2＝8.
依题意得，直线y＝k(x＋1)与圆(x－2)2＋y2＝8有公共点，
∴≤2，解得k2－8≤0⇒－2≤k≤2.
故选项ABC正确．]
10．ACD　[当a＝0时，两直线方程分别为y＝1和x＝2，此时也满足直线相互垂直，故A说法错误；直线的斜率k＝－sin α，则－1≤k≤1，即－1≤tan θ≤1，则θ∈∪，故B说法正确；当x1＝x2或y1＝y2时，直线方程为x＝x1或y＝y1，此时直线方程＝不成立，故C说法错误；若直线过原点，则直线方程为y＝x，此时也满足条件，故D说法错误，故选ACD．
11．AB　[对于A，设z＝y－x，则y＝x＋z，z表示直线y＝x＋z的纵截距，当直线与圆(x－2)2＋y2＝3有公共点时，
≤，解得－－2≤z≤－2，所以y－x的最大值为－2，故A说法正确；对于B，x2＋y2的几何意义是表示圆上的点到原点距离的平方，易知原点到圆心的距离为2，则原点到圆上的最大距离为2＋，所以x2＋y2的最大值为(2＋)2＝7＋4，故B说法正确；对于C，的几何意义是表示圆上的点与原点连线的斜率，则的最大值为tan 60°＝，故C说法错误；对于D，设m＝x＋y，则y＝－x＋m，m表示直线y＝－x＋m的纵截距，当直线与圆(x－2)2＋y2＝3有公共点时，≤，解得－＋2≤m≤＋2，所以x＋y的最大值为＋2，故D说法错误．故选AB．]
12．AD　[以B为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．设BD＝2，则B(0,0,0)，D(2,0,0)，C(0,2，0)，A(0，，)，∴＝(2,0,0)，＝(0，，－)，＝(0,2，0)，＝(2，－，－)，＝(－2,2，0)．
∴·＝(2,0,0)·(0，，－)＝0，A正确；易得平面BCD的一个法向量为n1＝(0,0，)，平面ACD的一个法向量为n2＝(，1,1)，n1·n2≠0，B错误；
|cos〈，〉|＝＝＝≠，C错误；易得平面ABC的一个法向量为＝(2,0,0)，设直线DC与平面ABC所成的角为θ，则sin θ＝＝＝，故D正确．]
三．填空题：
13解：∵直角三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（5，﹣1），B（1，1），C（2，m），
若A为直角，则⊥，•＝（﹣4，2）•（﹣3，m+1）＝12+2（m+1）＝0，m＝﹣7．
若B为直角，则⊥，•＝（﹣4，2）•（1，m﹣1）＝﹣4+2（m﹣1）＝0，m＝3．
若A为直角，则⊥，•＝（﹣3，m+1）•（﹣1，1﹣m）＝3+2（m+1）（1﹣m）＝0，求得m＝±2．综上可得，实数m的取值集合为{﹣7，﹣2，2，3}，
故答案为：{﹣7，﹣2，2，3}．
14．　[平面xOy的一个法向量为n＝(0,0,1)．设平面α的法向量为u＝(x，y，z)，又＝(－3,4,0)，＝(－3,0，a)，则即即3x＝4y＝az，取z＝1，则u＝.
而cos〈n，u〉＝＝，又∵a>0，∴a＝.]
15．(0，－1)　[∵r＝＝，∴当k＝0时，r最大，此时圆的面积最大，圆的方程可化为x2＋y2＋2y＝0，即x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)．]
16．－1　　[由A，B，C，M四点共面可知x＋2x＋4＝1，∴x＝－1.
∴A(0,0,1)，C(－1，，2)，∴＝(1，，1)，＝(－1，，1)，
∴cos〈，〉＝＝，即与的夹角为.]
四． 解答题：
17．[解]　(1)由得所以交点坐标为(－2,2)，
设直线l的方程为3x＋y＋c＝0(c≠－1)，把点(－2,2)代入方程得c＝4，
所以直线l的方程为3x＋y＋4＝0.
(2)由(1)知，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－2，
此时点A(3,1)到直线l的距离为5，满足题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋2＝0，则点A(3,1)到直线l的距离d＝＝＝5，解得k＝，所以直线l的方程为12x－5y＋34＝0.
综上，直线l的方程为x＝－2或12x－5y＋34＝0.
18.[解]　∵四边形ABCD为矩形，∴AD⊥AB，
又AD⊥BE，AB∩BE＝B，∴AD⊥平面ABEF，
又AD⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面ABEF.
∵FA⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，
∴FA⊥平面ABCD．∴FA⊥AD．
(1)证明：
如图，建立空间直角坐标系，
则B(0,2,0)，C(1,2,0)，D(1,0,0)，E(0,1,1)，F(0,0,1)，
∴＝(0，－1,1)，＝(－1,1,1)，
∴·＝0×(－1)＋(－1)×1＋1×1＝0，
∴⊥，∴BE⊥DE.
(2)由(1)得＝(1,0,0)，＝(0，－1,1)，＝(0,1,0)，
设n＝(x，y，z)是平面CBE的法向量，则由
得
令y＝1，得z＝1，∴n＝(0,1,1)是平面CBE的一个法向量．
设点F到平面CBE的距离为d，
则d＝＝＝.∴点F到平面CBE的距离为.
19[解]　(1)顶点C到斜边AB的距离
d＝＝＝2，所以斜边AB＝2d＝4，
故△ABC的面积S＝×AB×d＝×4×2＝20.
(2)由题意知，CD⊥AB，又kAB＝－，所以kCD＝2，
所以直线CD的方程为y＝2x－1，即2x－y－1＝0，
由解得所以点D的坐标为(2,3)．

20.[解]　(1)证明：在△ABC中，BC＝2，AC＝2，∠ACB＝45°，
由余弦定理可得AB2＝BC2＋AC2－2×BC×AC×cos 45°＝4，所以AB＝2(负值舍去)，因为AC2＝AB2＋BC2，所以△ABC是直角三角形，AB⊥BC．
又BE⊥BC，AB∩BE＝B，所以BC⊥平面ABE.
因为AE⊂平面ABE，所以BC⊥AE，因为EA⊥AC，AC∩BC＝C，
所以AE⊥平面ABCD．
(2)由题易得EB＝2AB＝4，由(1)知，BC⊥平面ABE，所以平面BEC⊥平面ABE，如图，

以B为原点，过点B且垂直于平面BEC的直线为z轴，BE，BC所在直线分别为x，y轴，建立空间直角坐标系Bxyz，则C(0,2,0)，E(4,0,0)，A(1,0，)，D(1,1，)，
因为EF＝2FC，所以F，易知＝(0,1,0)，＝，
设平面FAD的法向量为n＝(x，y，z)，则
即令z＝，则x＝9，所以n＝(9,0，)．
由(1)知EA⊥平面ABCD，所以＝(－3,0，)为平面ABCD的一个法向量．
设平面FAD与平面ADC的夹角为α，
则cos α＝＝＝，
所以平面FAD与平面ADC的夹角的余弦值为.
21[解]　(1)在棱AB上存在点E，使得AF∥平面PCE，且E为棱AB的中点．
理由如下：如图，取PC的中点Q，连接EQ，FQ，
由题意得，FQ∥DC且FQ＝CD，因为AE∥CD且AE＝CD，
所以AE∥FQ且AE＝FQ.所以四边形AEQF为平行四边形．
所以AF∥EQ.又EQ⊂平面PCE，AF⊄平面PCE，
所以AF∥平面PCE.
(2)连接BD，DE.由题意知△ABD为正三角形，所以ED⊥AB，即ED⊥CD，
又∠ADP＝90°，所以PD⊥AD，且平面ADP⊥平面ABCD，平面ADP∩平面ABCD＝AD，所以PD⊥平面ABCD，故以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

设FD＝a，则由题意知F(0,0，a)，C(0,2,0)，B(，1,0)，
则＝(0,2，－a)，＝(，－1,0)，
设平面FBC的法向量为m＝(x，y，z)．
则令x＝1，则y＝，z＝，
所以m＝，
易知平面DFC的一个法向量n＝(1,0,0)，
因为二面角D­FC­B的余弦值为，
所以|cos〈m，n〉|＝＝，即＝，解得a＝1(负值舍去)．
因为PD⊥平面ABCD，所以PB在平面ABCD内的射影为BD，
所以∠PBD为直线PB与平面ABCD所成的角，
由题意知在Rt△PBD中，tan∠PBD＝＝＝1，所以∠PBD＝45°，
所以直线PB与平面ABCD所成的角为45°.
22.[解]　(1)由题意，得t＝－2，
由于△ABC为锐角三角形，其外接圆就是△ABC的最小覆盖圆．
设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则解得
所以△ABC的最小覆盖圆的方程为x2＋y2－3x－4＝0.
(2)因为线段DB的最小覆盖圆就是以DB为直径的圆，
所以线段DB的最小覆盖圆的方程为x2＋y2＝16.
又因为|OA|＝|OC|＝2