2023菏泽山大附中实验学校高二上学期第二次阶段测试数学试题含解析

这是一份2023菏泽山大附中实验学校高二上学期第二次阶段测试数学试题含解析，文件包含山东省菏泽市山大附中实验学校2022-2023学年高二上学期第二次阶段测试数学试题docx、山东省菏泽市山大附中实验学校2022-2023学年高二上学期第二次阶段测试数学试题含解析docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共46页， 欢迎下载使用。
高二上学期第二次阶段性考试数学试题（考试时间：120分钟，满分：150分）考试说明：1．答题前考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名，考试号，座号填写在答题卡上．2．答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．3．考生必须保持答题卡整洁，考试结束后，将答题卡交回，试卷自己保存．一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 是直线和平行的（    ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】当a=-2时，可判断两直线是平行关系，反之，当两直线平行时，可以推得或或，由此可以判断是直线和平行的何种条件.【详解】当时，直线和分别为： 和 ，显然，两直线平行；当直线和平行时，有 成立，解得或，当时，两直线为 和 ，显然，两直线不重合是平行关系；当时，两直线为 和 ，显然，两直线不重合是平行关系；由此可判断是直线和平行的充分不必要条件，故选：A.2. 过，且在轴上的截距比在轴上的截距大1的直线方程是（    ）A.  B. 或C.  D. 或【答案】B【解析】【分析】根据题意设出在轴上的截距，即可知在轴上的截距，进而可写出直线方程，再把点代入直线方程中，可求出，即可求得答案.【详解】设直线在轴上的截距为，则在轴上的截距为，直线方程为，在直线上，或，则直线为或.故选：B.3. 下列与椭圆焦点相同的椭圆是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】由椭圆的简单几何性质：“焦点跟着大的走”，椭圆的焦点在轴上，且，得出椭圆的焦点坐标为：，依次判断各个选项即可.【详解】由题意得，椭圆C中，，即焦点坐标为和；对于A选项，椭圆焦点在轴上，不满足题意；对于B选项，椭圆焦点在轴上，，，，不满足题意；对于C选项，椭圆焦点在轴上，，，不满足题意；对于D选项，椭圆焦点在轴上，，，，满足题意；故答案：D.4. 若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（    ）A  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据直线和曲线方程在平面直角坐标系中画出图形，数形结合分析即可.【详解】由题意，直线的方程可化为，所以直线恒过定点，，可化为其表示以为圆心，半径为2的圆的一部分，如图.当与该曲线相切时，点到直线的距离，解得.设，则.由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，则.故选：C.5. 双曲线的离心率是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据双曲线的离心率公式进行求解即可.【详解】由，因此，所以该双曲线的离心率，故选：B6. 椭圆上任一点到点的距离的最小值为（    ）A.  B.  C. 2 D. 【答案】B【解析】【分析】设点的坐标为，结合两点间的距离公式，化简得到，即可求解.【详解】设点的坐标为，其中，由，可得，又由，当时，取得最小值，最小值为.故选：B.7. 双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支在第一象限的交点为，与轴的交点为，且为的中点，若的周长为，则双曲线的渐近线方程为（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由的周长为，结合双曲线的定义和对称性得到，，再由为的中点，得到为等边三角形求解.【详解】如图所示：由对称性可知，因为的周长为，所以，又，所以，．因为为的中点，所以，则为等边三角形，所以，，．又因为，所以在中，．所以，，即双曲线的渐近线方程为．故选：B8. 阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近”的方法得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C：的左，右焦点分别是，，P是C上一点，，，C的面积为12π，则C的标准方程为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由，根据椭圆的定义及余弦定理可得的关系，根据“逼近法”求椭圆的面积公式，及，即可求得的值，进而可得的标准方程.【详解】由椭圆的定义可知，又，所以，.又，，所以，所以，.又椭圆的面积为12π，所以，解得，，.故选：C.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9. 已知方程 表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（    ）A. 当时，曲线C是椭圆B. 当或时，曲线C是双曲线C. 若曲线C是焦点在轴上的椭圆，则D. 若曲线C是焦点在轴上的双曲线，则【答案】BCD【解析】【分析】根据方程表示的曲线的类型，列出相应的不等式（组），求得参数t的取值范围，即可判断答案.【详解】当曲线是椭圆时，需满足，解得或，A错误，当曲线是双曲线时， ，解得或 ，故B正确；当曲线是焦点在x轴上的椭圆，则，解得，故C正确；若曲线是焦点在y轴上的双曲线，则 ，解得，故D正确．故选： ．10. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知，，点满足，设点的轨迹为圆，则下列说法正确的是（    ）A. 圆的方程是B. 以为直径的圆与圆的公共弦所在的直线方程为C. 过点作直线，若圆上恰有三个点到直线的距离为，则该直线的斜率为D. 过直线上的一点向圆引切线、，则四边形的面积的最小值为【答案】AD【解析】【分析】对于A，利用求动点的轨迹方程的步骤即可求解；对于B，利用圆的直径式方程及两圆的方程直接相减即可求解两圆相交公共弦所在的直线；对于C，根据已知条件及直线的点斜式方程，结合点到直线的距离公式即可求解；对于D，将求四边形的面积转化为求三角形的面积，利用勾股定理及点到直线间的距离公式即可求解.【详解】对于A，因为，点满足，设，则，化简得，即，故A正确；对于B，以为直径的圆的方程为，即，所以为直径的圆与圆的公共弦所在的直线方程为,即，故B错误；对于C，易知直线的斜率存在，设直线l的方程为，即，因为圆上恰有三个点到直线的距离为2，所以圆心到直线的距离，解得，故C错误；对于D，由题意可得四边形，故只需求的最小值即可，的最小值为点到直线的距离，即，所以四边形的面积的最小值为，故D正确.故选：AD.11. 已知双曲线:左、右两个顶点分别是，一条渐近线过点，是双曲线上异于的任意一点，则下列说法中正确的是（    ）A. 双曲线与双曲线上有相同的渐近线B. 双曲线的离心率为C. 直线的斜率之积等于定值D. 若直线：与渐近线围成的三角形面积为，则焦距为【答案】ACD【解析】【分析】首先利用渐近线方程经过的点得到，即可判断A、B选项；再利用斜率公式表示出的斜率之积，即可判断C选项；最后表示出，利用面积公式，即可求解D选项.【详解】设渐近线方程为，因为渐近线经过点，所以，解得，所以渐近线方程为，而双曲线，焦点在轴，渐近线方程为，则得，故双曲线与双曲线上有相同的渐近线，A正确；由A知，，则，解得，故B错误；对于C，设，则，所以，因为，所以，直线的斜率之积等于定值，正确；对于D，如下图所示：设与渐近线交点分别为、.
 由图可知，，将点横坐标代入中，得点纵坐标为，则，由面积公式得，即①，由前面可知，②，联立①②可得，则焦距为，D正确.故选：ACD12. 我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”，如图，已知椭圆C：，，分别为左、右顶点，，分别为上、 下顶点，，分别为左、右焦点，为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（    ）A.  B. C. 轴，且 D. 四边形的内切圆过焦点【答案】BD【解析】【分析】结合椭圆的定义、几何性质等知识对选项的条件逐一分析，结合椭圆的离心率为确定正确答案.【详解】由椭圆，可得，，对于A，，即，化简得，即，不符合题意，故A错误；对于B，，则，即，化简得，即有，解得（舍去），符合题意，故B正确；对于C，轴，且，由，解得， 不妨设，由，可得，解得，又，所以，不符合题意，故C错误；对于D，四边形的内切圆过焦点，，即四边形的内切圆的半径为c，则，结合，即，解得（舍去）或即，符合题意，故D正确；故选：BD【点睛】本题的难点是在各种情况下求椭圆的离心率，主要的思路是求得的关系式，然后转化为.也即是找到的一个等量关系式（齐次式），通过转为后解方程来求得离心率.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 方程化简的结果是___________．【答案】【解析】【分析】运用方程的几何意义得出结果.【详解】解：∵，故令，，∴，∴方程表示的曲线是以，为焦点，长轴长的椭圆，即，，，∴方程为.故答案为：.14. 一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为________.【答案】或【解析】【分析】由题意可知点在反射光线上，设反射光线所在的直线方程为，利用直线与圆的相切的性质即可得出.【详解】由题意可知点在反射光线上，设反射光线所在的直线方程为，即.圆的圆心，半径为1，由直线与圆相切的性质可得，解得或.故答案为：或15. 中国景德镇陶瓷世界闻名，其中青花瓷最受大家的喜爱，如图1这个精美的青花瓷它的颈部（图2）外形上下对称，基本可看作是离心的双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面，若该颈部中最细处直径为16厘米，瓶口直径为20厘米，则颈部高为______厘米．【答案】【解析】【分析】根据离心率可求出双曲线方程，再将横坐标代入可得纵坐标.【详解】依题意知：又，又瓶口直径为20厘米，代入双曲线方程得：高为20厘米故答案为：2016. 已知椭圆C：1(a>b>0)的左､右焦点分别为，且椭圆C与双曲线C'：1共焦点，若椭圆C与双曲线C'的一个交点M满足，则的面积是___________.【答案】【解析】【分析】由椭圆和双曲线的定义可得，解得，再代入，解得的值，从而得|MF1|､|MF2|和|F1F2|的长，由勾股定理可知，是直角三角形，结合面积公式，即可求解.【详解】由题意，将双曲线C'：化成标准形式为，不妨设点M在双曲线的右支上，则由椭圆和双曲线的定义，可得，解得，因为，代入可得，解得或 (舍负)，所以，双曲线的焦距，显然有，所以是直角三角形，所以的面积为：.故答案为：1.【点睛】本题主要考查了椭圆和双曲线的定义、标准方程的应用，以及焦点三角形的面积的求解，其中解答中熟练应用椭圆的定义列出方程，求得的值，得出三角形为直角三角形是解答的关键，着重考查推理与运算能力.四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知三个顶点是（1）求边上的垂直平分线的直线方程；（2）求的面积【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题意可得BC的中点和BC的斜率，由垂直关系可得垂直平分线的斜率，由点斜式可得方程，化为一般式即可；（2）由（1）得BC的方程，可得A到BC的距离，再求得BC的长度，代入三角形的面积公式可得答案．【详解】（1），，则所求直线的斜率为： 又的中点的坐标为，所以边的上的中垂线所在的直线方程为：；（2）直线的方程为：，则点到直线的距离为：，，.【点睛】本题考查直线的一般式方程和三角形的面积，及点到直线的距离，属于基础题．18. 已知圆经过点，，且________．（1）求圆的方程；（2）求过点的圆的切线方程，并求切线长．从下列3个条件中选取一个，补充在上面的横线处，并解答．①与轴相切；②圆恒被直线平分；③过直线与直线的交点．注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分．【答案】（1）    （2）或，切线长【解析】【分析】（1）选①，设圆的方程为，由题意列方程组求解；选②，先求出定点坐标，根据题意可得该定点为圆心，从而代入圆的方程再利用圆所过的点得方程；选③，求解出交点坐标，设圆的方程为，列方程组求解；（2）先判断得点在圆外，设直线方程，利用圆心到直线的距离求解切线方程，讨论切线斜率不存在时也符合条件，从而得切线方程，再利用勾股定理求解出切线长.【小问1详解】选①，设圆的方程为，由题意可得，解得，则圆的方程为；选②，直线恒过定点，而圆恒被直线平分，所以恒过圆心，所以圆心为，可设圆的标准方程为，由圆经过点，得，则圆的方程为．选③，由条件易知，设圆方程为，由题意可得，解得，则圆的方程为即．【小问2详解】因为，所以点在圆外，若直线斜率存在，设切线的斜率为，则切线方程为，即．所以，解得所以切线方程为，若直线斜率不存在，直线方程为，满足题意．综上过点的圆的切线方程为或．，则切线长．19. 如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，作PD⊥x轴，D为垂足，M为PD上一点，且.（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；（2）求过点且斜率为的直线被方程C所截线段的长度【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）设，，则由PD⊥x轴与，得，代入，整理得；（2）由题意可求得直线方程为，代入椭圆方程，由韦达定理可知：，，进而由弦长公式即可求得直线被C所截线段的长度．【小问1详解】设点的坐标为，点的坐标为，因为PD⊥x轴且，得，即，因为在圆上，得，故，整理得，故的方程为；【小问2详解】由点斜式知，过点且斜率为的直线方程为，设直线与的交点为，，将直线方程代入的方程，得，整理得，所以，，故线段的长度为，所以直线被所截线段的长度为.20. 已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1.（1）求的方程；（2）经过点的直线交于两点，且为线段的中点，求的方程.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根据双曲线方程得到渐近线方程，即可得到，再由点到线的距离公式求出，最后根据计算可得；（2）设，，直线斜率为，利用点差法计算可得；【小问1详解】解：双曲线的渐近线为，即，所以，又焦点到直线的距离，所以，又，所以，，所以双曲线方程为【小问2详解】解：设，，直线的斜率为，则，，所以，，两式相减得，即即，所以，解得，所以直线的方程为，即，经检验直线与双曲线有两个交点，满足条件，所以直线的方程为.21. 为了保证我国东海油气田海域海上平台生产安全，海事部门在某平台O的北偏西45°方向km处设立观测点A，在平台O的正东方向12km处设立观测点B，规定经过O、A、B三点的圆以及其内部区域为安全预警区．如图所示：以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系．（1）试写出A，B的坐标，并求两个观测点A，B之间的距离；（2）某日经观测发现，在该平台O正南10km C处，有一艘轮船正以每小时km的速度沿北偏东45°方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全警示区内会行驶多长时间？【答案】（1）；    （2）会驶入安全预警区，行驶时长为半小时【解析】【分析】（1）先求出A，B的坐标，再由距离公式得出A，B之间的距离；（2）由三点的坐标列出方程组得出经过三点的圆的方程，设轮船航线所在的直线为，再由几何法得出直线与圆截得的弦长，进而得出安全警示区内行驶时长.【小问1详解】由题意得，∴；【小问2详解】设圆的方程为， 因为该圆经过三点，∴，得到.所以该圆的方程为：，化成标准方程为：.设轮船航线所在的直线为，则直线的方程为：，圆心（6，8）到直线的距离，所以直线与圆相交，即轮船会驶入安全预警区.直线与圆截得的弦长为，行驶时长小时.即在安全警示区内行驶时长为半小时.22. 已知圆，圆，动圆与圆内切，与圆外切.为坐标原点.（1）若求圆心的轨迹的方程.（2）若直线与曲线交于、两点，求面积的最大值，以及取得最大值时直线的方程.【答案】（1）    （2），【解析】【分析】（1）设动圆的半径为，由圆与圆的位置关系分析可得，由椭圆的定义分析可得轨迹是以，为焦点的椭圆，由椭圆的定义分析可得轨迹的方程，即可得答案；（2）设，，联立直线与椭圆的方程可得，利用根与系数的关系可以表示的值，进而可以表示面积，由基本不等式的性质分析可得答案．【小问1详解】解：设动圆的半径为，依题意有，，．所以轨迹是以，为焦点的椭圆，且，，所以，当点坐标为椭圆右顶点时，不符合题意，舍去．所以轨迹的方程．【小问2详解】解：设，，联立直线与椭圆的方程，可得，所以，，，得，设原点到直线的距离为，所以，所以，令，则，所以，当且仅当时，等号成立，即当时，面积取得最大值，此时直线方程为．