2022宜春上高二中高二上学期第一次月考试题数学（理）含答案

2023届高二年级第一次月考理科数学试卷

命题人：付雪敏

一、单选题

1．已知，则直线与圆的位置关系是（    ）

A．相交但不过圆心 B．过圆心 C．相切 D．相离

2．已知一个三棱柱的高为3，如图是其底面用斜二测画法画出的水平放置的直观图，其中，则此三棱柱的体积为（   ）

A．2 B．4 C．6 D．12

3．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题中正确的是（    ）

A．，，

B．，，

C．，，

D．，，

4.直线，被⊙截得线段的长是（   ）

A． B． C． D．不确定

5.若动圆在轴与轴上截得的弦长总相等，则圆心的轨迹方程是（    ）

A． B． C． D．

6．如右图，已知多面体的底面为正三角形，四边形为矩形，棱与底面垂直，，若该多面体的侧视图面积与其俯视图面积相等，则的边长是（    ）

A． B．2 

C． D．1

7．若圆台的高为3，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，其轴截面的一个底角为，则这个圆台的侧面积是（    ）

A． B．

C． D．

8．已知点A（1，0），B（1，6），圆，若在圆C上存在唯一的点P使，则（    ）

A．–3或3 B．57 

C．–3或57 D．3或57

9．某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是（    ）

A．     B．        C．      D．

10．张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五．已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，底面，，且，，利用张衡的结论可得球的表面积为（    ）

A．30 B． C． D．

11．已知圆与直线（，为非零实数）相切，则的最小值为（    ）

A．10       B．12          C．13       D．16

12．如右图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，若线段A1D上存在一点E，使AE+B1E取得最小值，则此最小值是（    ）

A．4      B．    C． D．

二、填空题

13．已知点和圆，若过点P作圆C的切线有两条，则实数m的取值范围是___________．

14．如右图，圆锥的母线长为4，点为母线的中点，从点处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到点，这条绳子的长度最短值为，则此圆锥的表面积为__________

15.已知圆及点，点P、Q分别是直线和圆C上的动点，则的最小值为__________.

16.将边长为2的正方形沿对角线折成直二面角，现有如下4个命题：

①异面直线与所成的角为60°；  ②是直角三角形；

③的面积为；   ④四面体的外接球的表面积为.

上述命题正确的是       

三、解答题

17．已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和圆C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0.

（1）m∈R时，证明l与C总相交；

（2）m取何值时，l被C截得的弦长最短？求此弦长．

18．如图，在正三棱柱中，为棱的中点.

（1）证明：平面；

（2）证明：.

19．已知圆过点，半径为，且圆关于直线对称，圆心在第二象限．

（1）求圆的方程.

（2）已知不过原点的直线与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，求直线的方程.

20．如图1，圆O的半径为2，均为该圆的直径，弦垂直平分半径，垂足为F，沿直径将半圆所在平面折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图2）．

（1）求的体积；

（2）如图2，在劣弧上是否存在一点P（异于两点），使得平面？若存在，请加以证明；若不存在，请说明理由．

21．如图，四边形ABCD是圆柱OQ的轴截面，点P在圆柱OQ的底面圆周上，G是DP的中点，圆柱OQ的底面圆的半径OA=2，侧面积为，∠AOP=120°．

（1）求证：AG⊥BD；

（2）求二面角P﹣AG﹣B的平面角的余弦值．

22．已知圆C：（x﹣3）2+y2＝1与直线m：3x﹣y+6＝0，动直线l过定点A（0，1）．

（1）若直线l与圆C相切，求直线l的方程；

（2）若直线l与圆C相交于P、Q两点，点M是PQ的中点，直线l与直线m相交于点N．探索是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

2023届高二年级第一次月考理科数学试卷答题卡

一、选择题（每题5分，共60分）

二、填空题（每题5分，共20分）

13、                  14、              

15、                   16、              

三、解答题

17．（10分）

18.(12分)

19.(12分)

20.（12分）

21. （12分）

22. （12分）

2023届高二第一次月考理科数学答案

一．选择题

1-5 CCABD    6-10 BBCDD   11-12DC

二．填空题

13.     14.        15. 3           16.③④

三．解答题

17.（1）直线l的方程可化为y＋3＝2m(x－4)，则l过定点P(4，－3)，

由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0，

所以点P在圆内，故直线l与圆C总相交．

（2）圆的C方程可化为：(x－3)2＋(y＋6)2＝25，

如图所示，当圆心C(3，－6)到直线l的距离最大时，弦AB的长度最短，

此时PC⊥l，又，所以直线l的斜率为，则，

在直角中，|PC|＝，|AC|＝5，所以|AB|＝.

故当时，l被C截得的弦长最短，最短弦长为.

18.解：（1）证明：连接，交于点，连接.

因为为矩形，则为的中点；

因为为的中点，   所以，

又因为平面，平面，

所以平面.

 （2）在正三棱柱中，

因为平面，平面，   所以.

因为为等边三角形，为的中点，   所以.

又因为，平面，所以平面，

因为平面，所以.

19.（1）设圆，圆心为，且

由题意有，且，解得，圆的方程为；

（2）设，即．直线与圆相切，由，得或．

直线l的方程为或．

20.（1）如图1，弦垂直平分半径，半径为2，

，，

在中有，，

为直径，，

，，

，

图2中，平面平面，平面平面，

又，平面，

平面，则是四棱锥的高，

.

（2）在劣弧上式存在一点（劣弧的中点），

使得平面，证明：分别连接，，，

点为劣弧的中点，，

，，则为等边三角形，

，且，又且，

且，四边形为平行四边形，

，

又平面，平面，

平面.

21.解（1）（解法一）：由题意可知8=2×2π×AD，解得AD=2，

在△AOP中，AP=，∴AD=AP，

又∵G是DP的中点，   ∴AG⊥DP．①

∵AB为圆O的直径，  ∴AP⊥BP．

由已知知DA⊥面ABP，  ∴DA⊥BP，

∴BP⊥面DAP．   ∴BP⊥AG．②

∴由①②可知：AG⊥面DBP，   ∴AG⊥BD．

（2）由（1）知：AG⊥面DBP，  ∴AG⊥BG，AG⊥PG，

∴∠PGB是二面角P﹣AG﹣B的平面角．

PG=PD=×AP=，    BP=OP=2，∠BPG=90°，．

∴BG==．    cos∠PGB===．

（解法二）：建立如图所示的直角坐标系，由题意可知8=2×2π×AD，

解得AD=2，

则A（0，0，0），B（0，4，0），D（0，0，2），P（，3，0），

∵G是DP的中点，   ∴可求得G（，，）．

（1）=（，﹣1，0），=（0，﹣4，2），∴=（，，）．

∵=（，，）•（0，﹣4，2）=0，   ∴AG⊥BD

（2）由（1）知，）=（，﹣1，0），=（，，）.=（﹣，﹣，）    =（，﹣，）

∵，．   ∴是平面APG的法向量．

设=（x，y，1）是平面ABG的法向量，   由，

解得=（﹣2，0，1）

cosθ==．

所以二面角二面角P﹣AG﹣B的平面角的余弦值

22.解：（1）1°当直线l的斜率不存在时，

l的方程为x＝0，与圆C不相切；

2°当直线l的斜率存在时，

设直线l的方程为，即，

∴，解得或，

∴直线l的方程为y＝1或；

（2）由题意可知直线l的斜率存在，

设l的方程为y＝kx+1，M（x0，y0），

由消去y得，（1+k2）x2﹣（6﹣2k）x+9＝0，

∴，

∴，∴，

由得，，

∴，∴，

∴，

∴为定值．