2022届江西省宜春市上高二中高三下学期第八次月考试题（3月）数学（理）含答案

2022届江西省宜春市上高二中高三下学期第八次月考试题（3月）

理科数学试卷

一、填空题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．设集合，，且，则（       ）

A． B． C． D．

2．已知复数满足(为虚数单位)，则=（       ）

A． B． C． D．

3. 已知数列、满足，，其中是等差数列，且，则b1+b2+b3+…+b2020＝（     ）A．2020      B．﹣2020    C．log22020     D．1010

4. 如图所示的程序框图中，若输入的，则输出的（       ）

A． B． C． D．

5.已知变量x，y的关系可以用模型拟合，设，其变换后得到一组数据下：

由上表可得线性回归方程，则c＝（　　）

A． B． C．109 D．

6．已知，则（       ）

A．     B．      C．    D．2

7.已知圆C的半径为，其圆心C在直线上，圆C上的动点P到直线的距离的最大值为，则圆C的标准方程为（       ）

A． B. C． D．

8. 已知，曲线在不同的三点，，处的切线均平行于x轴，则m的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

9. 若的展开式中含有常数项，且的最小值为，

A．   B．   C．    D．

10.已知，，，则，，的大小关系是（     ）A．     B．      C．        D．

11．设F1，F2是椭圆C： =1(a>b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，点P在椭圆C上，延长PF2交椭圆C于点Q，且|PF1| =|PQ|，若PF1F2的面积为，则=（       ）

A． B． C． D．

12.在圆锥中，是母线上靠近点的三等分点，，底面圆的半径为，圆锥的侧面积为，则下列说法错误的是（     ）

A．当时，从点到点绕圆锥侧面一周的最小长度为

B．当时，过顶点和两母线的截面三角形的最大面积为

C．当时，圆锥的外接球表面积为

D．当时，棱长为的正四面体在圆锥内可以任意转动

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. P是边长为1的等边三角形ABC的边BC上一点，且，则的值为___________

14.北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破.为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，若小明和小李必须安装同一个吉祥物，且每个吉祥物都至少由两名志愿者安装，则不同的安装方案种数为__________

15. 已知函数（x>0），若的最大值为，则正实数a=___________

16.已知数列的前项和为，点在直线上．若，数列的前项和为，则满足的的最大值为________．

三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．的内角，，的对边分别为，，，且.

(1)求角；

(2)若角的平分线交于点，且，的面积为，求的周长.

18．如图，直三棱柱中，，、、分别是、、的中点.

(1)求证：；

(2)若，求二面角的余弦值.

19.根据我国国家统计局的数据显示，2020年12月份，中国制造业采购经理指数（PMI）为50.3%，比上月上升0.2个百分点.以新能源汽车、机器人、医疗设备、高铁、电力装备、船舶、无人机等为代表的高端制造业突飞猛进，则进一步体现了中国制造目前的跨越式发展.已知某精密制造企业为评估某设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：

经计算， ，以频率值作为概率的估计值，解决以下问题：

(1)为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的频率）：①；②；③．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足①②，不满足③，则等级为乙；若仅满足①，不满足②③，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断设备M的性能等级；

(2)将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品，

①从设备的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望；

②从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数的分布列和数学期望．

20.已知椭圆的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设为椭圆的左焦点，为直线上任意一点，过作的垂线交椭圆于点和.试判断是否平分线段（其中为坐标原点），并求当取最小值时点的坐标

21．已知函数，．

（Ⅰ）若在内单调递减，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若函数有两个极值点分别为，，证明：

请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分. 作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.

22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

(1)求的普通方程和的直角坐标方程；

(2)点是曲线上的动点，过点作直线与曲线有唯一公共点，求的最大值.

23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲

已知.

(1)当时，求与所围成封闭图形的面积；

(2)若对于任意的，都存在，使成立，求的取值范围

2022届高三年级第八次月考理科数学试卷答题卡

一、单选题（每小题5分，共60分）

二、填空题（每小题5分，共20分）

13、                       14、               

15、                        16、            

三、解答题（本大题共6小题，每题12分，共70分）

17．

18.

19.

20.

21.

（选考题）22.□  23.□

2022届高三第八次月考数学理科答案

选择题   DDBAD  DADCC  BB

填空题        8  1  13

解答题

17. (1)

由，

得，

所以，即.

又由正弦定理有，

又，所以，又，解得.

(2)

因为平分角，所以，

在中，由正弦定理得，

同理，在中，.

又，，，

所以，即.

因为，所以，所以，

所以，解得，，

在中，由余弦定理得，即，

所以的周长为.

18．【详解】(1)

证明：连接，因为、分别为、的中点，则且，

，且为的中点，则且，

所以，四边形为平行四边形，所以，，

，为的中点，则，

平面，平面，，

，平面，

平面，，故.

(2)解：平面，平面，，则，

，则，故，

以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、，

由（1）知，平面的一个法向量为，

，，设平面的法向量为，

则，取，可得，

所以，，

由图可知，二面角的平面角为锐角，因此，二面角的余弦值为

19. (1)由表格可知

因为设备的数据仅满足不等式①，故其性能等级为丙.

(2)易知样本中次品共6件，可估计设备生产零件的次品率为0.06.

由题意可知～，于是，

2Z可能的取值为，

；；

由题意可知的分布列为

故.

20. (1)解：依题意有，解得

所以椭圆C的标准方程为

(2)解：设，，，PQ的中点为，由，可设直线PQ的方程为，

①当时，直线PQ的方程为，此时，显然OT平分线段PQ.

②当时，PQ的斜率，

由，

，

于是，从而，，

则直线ON的斜率，又由知，直线TF的斜率，解得.

从而，即，所以O，N，T三点共线，从而OT平分线段PQ.

由两点间距离公式得，由弦长公式得.

，所以，

令，则（当且仅当时，取“”号），所以当最小时，由，得或，此时点T的坐标为或

21.【详解】（I）由题可知，，

在内单调递减， ∴在内恒成立，

即在内恒成立，令，则，

∴当时，，即在内为增函数，

当时，，即在内为减函数，

∴，即，，∴；

（Ⅱ）若函数有两个极值点分别为，，

则在内有两根，，

，两式相减，得，

不妨设， 当时，恒成立，

当时，要证明，只需证明，

即证明，即证明，

令，，令，，

在上单调递减，，，即成立，

.

22.(本小题满分10分)

解：(1)∵曲线的参数方程为(为参数)

由得，，∴曲线的普通方程为.

∵曲线的极坐标方程为，，

∴曲线的直角坐标方程为，即.…………………………5分

    (2)设，，记，

    ∴

，

     ∴当时，取得最大值27，

∴，即的最大值为.    …………………………10分

23.(本小题满分10分)

解：(1)由条件

作出函数的图象和直线，记交点为.

易求，.

如图，所围图形为梯形，梯形的高为3，另一底边长为3，

∴封闭图形的面积为. ………………………………5分

(2)对，，，

等价于，，，等价于.

∵，

，当且仅当时取等号，

∴，解得或，

∴的取值范围为.     …………………………10分