2023遂宁高三上学期零诊考试数学（理）含答案

遂宁市高中2023届零诊考试

数学（理科）试题

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，满分60分）

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。

2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

3．考试结束后，将答题卡收回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．已知集合，，那么等于

A．     B．     C．     D．

2．若复数是虚数单位，则z的虚部为

A．           B．          C．          D．

3．已知函数，则下列结论正确的是

A．函数是偶函数　　  　　B．函数是增函数　

C．函数是周期函数        D．函数的值域为

4．已知，都为锐角，，，则等于

A.             B.          C.          D.

5．设数列是等差数列，是数列的前n项和，，，则等于

A．10           B．15         C．20          D．25

6．若实数x，y满足，则的最大值为

A．1            B．2          C．7           D．8

7．为公比大于1的正项等比数列，且和是方程的两根. 若正实数x，y满足，则的最小值为

A．     B．   C．      D．

8．已知是定义在R上的奇函数，且. 对于上任意两个不相等实数和，都满足.若，，,则a，b，c的大小关系为

A． B． C．    D．

9．在中，，，D为线段BC的中点，，E为线段BC垂直平分线l上任一异于D的点，则

A． B．4            C．           D．7

10. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论错误的是

A. 若，则

B. 若为锐角三角形，则

C. 若，则一定为直角三角形

D. 若，则可以是钝角三角形

11．定义在R上的奇函数的图象关于对称；且当时，．则方程所有的根之和为

A．10         B．12          C．14            D．16

12．已知函数（其中，）有两个零点，则a的取值范围为

A．     B．    C．    D．

第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）

注意事项：

1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。

2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题至第21题为必考题，每个试题考生都作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.

13．已知向量，，若与垂直，则实数m等于  ▲  ．

14．  ▲ 

15．若命题：“，使”是假命题，则实数m的取值范围为  ▲  .

16．，若函数在区间上存在，（），满足，则称，为区间上的“对视数”，函数为区间上的“对视函数”.下列结论正确的有  ▲  （写出所有正确结论的序号）

①函数在任意区间上都不可能是

“对视函数”；

②函数是上的“对视函数”；

③函数是上的“对视函数”；

④若函数为上的“对视函数”，则在上单调.

三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（12分）

已知函数的值域为集合A，函数的定义域为集合B.

（1）当时，求；

（2）设命题，命题，若p是q的充分不必要条件，求实数的取值范围.

18．（12分）

已知公比大于1的等比数列满足，，数列的通项公式为

（1）求的通项公式；

（2）若，求数列的前n项和Tn．

19．（12分）

已知函数

（1）讨论的单调性；

（2）当时，探究函数的图象与抛物线的公共点个数.

20．（12分）

已知函数

（1）求函数的对称中心及在上的单调递增区间；

（2）在锐角中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，，，，D为边BC上一点，且，求AD的值．

21．（12分）

已知函数，，其中e为自然对数的底数.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）当时，有，求证：对，有；

（3）若，且，求实数a的取值范围.

请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．［选修4—4：坐标系与参数方程］（10分）

平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数）.以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为

（1）写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；

（2）曲线C1与C2交于M，N两点，求与直线MN平行且过原点的直线l的极坐标方程及的值.

23．［选修4—5：不等式选讲］（10分）

已知函数

（1）当时，解不等式；

（2）若对于任意的恒成立，求实数a的取值范围.

遂宁市高中2023届零诊考试

数学（理科）试题参考答案及评分意见

一、选择题（每小题5分，共60分）

二、填空题（每小题5分，共20分）

13. 0或4        14. 6         15. 或           16 .①③

三、简答题

17. （12分）

解析：（1）当时，，由题意，解得或

所以或， ……………………………………………………………2分

又函数的值域为集合A，故 …………………4分

所以………………………………………………………………6分

（2）由题意，即，解得：或，

所以或，…………………………………………………………8分

由题意可知⫋，又 …………………………………………………10分

所以或，解得或

故实数a的取值范围………………………………………………12分

18. （12分）

解析：（1）设等比数列的公比为 ,由，，

可得，即得，解得或（舍去），…………4分

故 ……………………………………………………………………6分

（2）若，则，故，即，…………………8分

∴

令，

…………………………………………………10分

两式相减得，………………………………………………………11分

故 …………………………………………………12分

19. （12分）

解析：（1）因为+b

∴．……………………………………………2分

①若,当时,；当或时,．

即在上单调递减,在和上单调递增；………………………3分

②若,恒有．即在定义域上单调递增； ………………………4分

③若,当时,；当或时,．

即在上单调递减,在和上单调递增；………………………5分

（2）当时，，

令

则原题意等价于图象与轴有几个公共点．

因为

所以由,解得或；

由,解得．

∴在时取得极大值；在时取得极小值…8分

依题意有

①当,解得，即当时，函数的图象与抛物线有3个不同的公共点；………………………………………………9分

②当或，即或时，函数的图象与抛物线有2个不同的公共点；………………………………………………10分

③当或，即或时，函数的图象与抛物线有1个不同的公共点。

综上：①当时，函数的图象与抛物线有3个不同的公共点；

②当或时，函数的图象与抛物线有2个不同的公共点；

③当或时，函数的图象与抛物线有1个不同的公共点。……………………………………………………………………………………12分

20. （12分）

解析：（1）函数

．…………2分

由，，解得，。

故所求对称中心为。………………………………………………4分

由，，解得，

令，有，令，有，又

所以所求的单调递增区间为， …………………………………………6分

（2）因为，所以，即

又在锐角中，所以，…………………………………………7分

在中，由正弦定理可得：，

所以，解得，…………………………………………………8分

又由余弦定理得，所以解得或2，……9分

当BC=2时，，此时为钝角三角形与题设矛盾,…10分

所以，又，所以，在中，由余弦定理可得

，故的值为……………………12分

21. （12分）

解析：（1）因为，所以点即为点

，，故切线方程为………………………………3分

（2）因为当时，，，故在上单调递增，所以

当时，，此时；

当时，在上单调递减，此时，故，

∴成立。……………………………………………………………………7分

（3）由题意得：，又因为，所以

又，即，即，

所以①

设，则①式变形为…………………………………8分

，所以单调递增，所以，

因为，所以，…………………………………………10分

令，，

则，

当时，，当时，，

故在处取得极大值，也是最大值，，

故.即实数的取值范围为………………………………………12分

22. （10分）

解析：（1）由曲线的参数方程为（为参数），可得

即曲线的普通方程为；…………………………………………………2分

曲线的极坐标方程为

即曲线的直角坐标方程为……………………………………5分

（2）由（1）得

即直线的方程为，…………………………………………………7分

则与直线平行且过原点的直线的方程为，其倾斜角为

所以直线的极坐标方程为；…………………………………………8分

设曲线的圆心到直线的距离为，则 ，故.……………………………………………………………10分

23. （10分）

解析：（1）当时，不等式，即，所以

或，……………………………………………………2分

即得或，………………………………………………3分

解得或， …………………………………………………………………4分

所以不等式的解集为或……………………………………5分

（2）因为对任意的恒成立，即对任意的恒成立，即，即，……………………………………………………6分

故只要且对任意的恒成立即可，因为，，当且仅当时，即时等号成立，所以，………7分

令，，

∴在上的单调递增，从而，…………………………9分

∴，即实数的取值范围是 …………………………………………10分