2022内江高三上学期7月零模试题数学（理）试题含答案

内江市高中2022届零模试题

数学（理科）

本试卷共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号、班级用签字笔填写在答题卡相应位置．

2．选择题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。不能答在试题卷上。

3．非选择题用签字笔将答案直接答在答题卡相应位置上。

4．考试结束后，监考人员将答题卡收回。

一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，把正确选项的代号填涂在答题卡的指定位置上．）

1．复数满足（为虚数单位），则的虚部为（    ）

A．    B．    C．    D．

2．设，则（    ）

A．    B．    C．1    D．

3．若双曲线的离心率为2，则（    ）

A．    B．    C．或3   D．3

4．已知命题若，，则；命题若，，则．下列命题为真命题的是（    ）

A．   B．  C．   D．

5．曲线在处的切线如图所示，则（    ）

A．0    B．2    C．    D．

6．以椭圆的短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形为等边三角形，且椭圆上的点到左焦点的最大距离为6，则椭圆的标准方程为（    ）

A．  B．  C．  D．

7．若的展开式中，项与项的系数和为，则实数（    ）

A．    B．    C．0    D．1

8．已知函数，则“”是“函数为增函数”的（    ）

A．充分不必要条件      B．必要不充分条件

C．充要条件        D．既不充分也不必要条件

9．在空间直角坐标系中，已知点，，，若在直线上有一点满足，则点的坐标为（    ）

A．  B．  C．  D．

10．“二进制”来源于我国古代的《易经》，该书中有两类最基本的符号：“”和“”，其中“”在二进制中记作“1”，“”在二进制中记作“0”如符号“”对应的二进制数化为十进制的计算公式如下：．若从两类符号中任取2个符号进行排列，则得到的二进制数所对应的十进制数大于2的概率为（    ）

A．    B．    C．    D．

11．已知直线与抛物线相交于、两点，若的中点为，且抛物线上存在点，使得（为坐标原点），则抛物线的方程为（    ）

A．   B．   C．   D．

12．对于函数，若存在区间，当时，的值域为，则称为倍值函数．若是倍值函数，则的取值范围为（    ）

A．   B．   C．   D．

二、填空题（本大题共4小题，共20分．）

13．设随机变量的分布列为，、2、3，为常数，则______．

14．为弘扬学生志愿服务精神，某学校开展了形式多样的志愿者活动．现需安排5名学生，分别到3个地点（敬老院、幼儿园和交警大队）进行服务，要求每个地点至少安排1名学生，则有______种不同的安排方案（用数字作答）．

15．设椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上一点，，若原点到直线的距离为，则该椭圆的离心率为______．

16．若对任意的，，且，都有，则的最小值是______．

三、解答题：（本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文科字说明，证明过程或演算步骤．）

17．（本小题满分10分）

已知抛物线，坐标原点为，焦点为，直线．

（1）若与只有一个公共点，求的值；

（2）过点作斜率为1的直线交抛物线于、两点，求的面积．

18．（本小题满分12分）

已知函数在处有极值2．

（1）求，的值；

（2）若，函数有零点，求实数的取值范围．

19．（本小题满分12分）

为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部开展了招生改革工作——强基计划．现对某高中学校学生对强基课程学习的情况进行调查，在参加数学和物理的强基计划课程学习的学生中，随机抽取了10名学生．

（1）在某次数学强基课程的测试中，超过90分的成绩为优秀，否则为合格．这10名学生成绩的统计数据如茎叶图所示，现随机从这10名学生中抽取两名，记抽到成绩优秀的学生人数为，求随机变量的分布列及期望；

（2）已知学生的物理成绩与数学成绩是线性相关的，现统计了小明同学连续5次在强基课程测试中的数学和物理成绩（如下表）．若第6次测试该生的数学成绩达到132，请你估计第6次测试他的物理成绩大约是多少？

附：，．

20．（本小题满分12分）

如图，四棱柱中，面面，面面，点、、分别是棱、、的中点．

（1）证明：面．

（2）若四边形是边长为2的正方形，且，面面直线，求直线与所成角的余弦值．

21．（本小题满分12分）

已知、是椭圆上的两点．

（1）若直线的斜率为1，求弦长的最大值；

（2）设线段的垂直平分线与轴交于点，求的取值范围．

22．（本小题满分12分）

已知函数．

（1）讨论函数的单调区间；

（2）若函数有三个不同的零点、、，求的取值范围，并证明：．

内江市高中2022届零模试题

数学（理科）参考答案及评分意见

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．

1．B 2．B 3．D 4．D 5．C 6．C 7．A 8．A 9．D 10．B 11．B 12．C

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．

13．  14．150  15．  16．

三、解答题：本大题共6个小题，共70分．

17．（1）联立，消去，得．

当时，式是一个一元二次方程，，即．此时与有一个公共点，与相切

当时，式只有一个解，此时直线平行于轴．

综上，或．

（2）焦点，直线的方程为，设，．

联立直线与抛物线的方程整理得，∴．

点到直线的距离．

所以．

18．解：（1），

∵函数在处取得极值2，∴

．解得，

∴，经验证在处取极值2，

故，

（2），，

则在上递减，在上递增，故的最小值是

由，知的最大值是2．故的值域为．

因为有零点，则方程有实数根．

故函数的值域即为的取值范围

因此，的取值范围为．

19．解：（1）抽到成绩优秀的学生人数可取0，1，2

；；

因此的分布列为：

故随机变量的数学期望．

（2）由

得

所以关于的线性回归方程是

当时，，

故估计第6次测试，他的物理成绩为89分．

20．解：（1）证明：如图，过点分别作、的垂线，交于点，交于点．

∵面面，面面，，面

∴面．

又∵面，∴，同理可得

∵，、面，∴面

（2）设，连接，

∵，面．∴面，则面．

同理面．故直线即为直线．

由几何性质知，则．

如图所示，以点为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，

由，，，知，

则

即直线与所成角的余弦值为．

21．解：（1）设直线的方程为，、，

由，得，

由得．，，

所以，

易知当时，取得最大值．

（2）设、，的中点，

①若直线平行于轴，则线段的垂直平分线为轴，故，

②若直线不平行于轴，

因为线段的垂直平分线与轴相交，所以直线不平行于轴，即，

由，两式相减整理，

设是的中点，∴，

因此

又∵，且

∴，即．解得．

由或知或．

综上，的取值范围是．

22．解：（1），

①当时，，则在上单调递增，无递减区间；

②当时，令，得

的解集为，的解集为

则在上单调递减，在，上单调递增

（2）由（1）知函数有三个零点，

∵在上单调递减，在，上单调递增，

∴的极大值为，极小值为

∵有三个不同的零点、、，且

∴

解得．故的取值范围为．

又∵，当时，有，当时，有．

∴设，由零点存在性定理知．

∴．

又∵，

∴，

因此．