山西省怀仁市第一中学2022届高三上学期第一次月考数学（文）试题+Word版含答案

怀仁一中2021—2022学年第一学期高三年级第一次月考

文科数学试题

（考试时间：120分钟   试卷满分：150分）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1. 设集合，集合，则等于（    ）

A.   B.

C.   D.

2. 已知集合，且中至多有一个偶数，则这样的集合共有（    ）

A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个

3. “”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件  B. 必要不充分条件

C. 充要条件  D. 既不充分也不必要条件

4. 已知，是两个命题，若是假命题，那么（    ）

A. 是真命题且是假命题 B. 真命题且是真命题

C. 是假命题且是真命题 D. 是假命题且是假命题

5. 已知函数，则等于（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

6. 已知，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 函数的图象大致为（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则等于（    ）

A. 1 B. -1 C. 0 D.

10. 已知函数，且，则实数的取值范围是（    ）

A.   B.

C.   D.

11. 已知，当时，，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

12. 已知函数，若关于的方程有三个不同的实数根，则的取值范围为（    ）

A.   B.

C.   D.

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共 20分）

13. 已知集合，.若，则实数的取值范围为__________.

14. 若函数是幂函数，且其图象过点，则函数的单调递增区间为__________.

15. 已知是上的减函数，那么的取值范围是__________.

16. 在下列命题中，正确命题的序号为___________.（写出所有正确命题的序号）

①函数的最小值为；

②已知定义在上周期为4的函数满足，则一定为偶函数；

③定义在上的函数既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则；

④已知函数，若，则.

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 已知集合，集合为整数集，令.

（1）求集合；

（2）若集合，，求实数的值.

18. 已知函数的定义域为集合，函数的值域为集合.

（1）求集合，；

（2）已知命题：，命题：，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.

19. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.

（1）求函数在上的解析式；

（2）解关于的不等式.

20. 设二次函数，并且，.

（1）求实数的值；

（2）若函数在上的最大值是1，求实数的值.

21. 某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为，凤眼莲的覆盖面积（单位：）与月份（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择.

（1）试判断哪个函数模型更适合并求出该模型的解析式；

（2）求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份.（参考数据：，）.

22. 若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”.

（1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；

（2）若函数在定义域（且）上为“依赖函数”，求的值；

（3）已知函数在定义域上为“依赖函数”.若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的取值范围.

怀仁一中2021—2022学年第一学期高三年级第一次月考

文科数学答案及解析

1. D  [，，

则.]

2. D  [∵，且中至多有一个偶数，

∴可能为，，，，，.]

3. C  [由，，解得，

由，，解得，

则“”是“”的充要条件.]

4. A  [若是假命题，

可知与都是假命题，则是真命题且是假命题.]

5. B  [依题意得，.]

6. C  [函数在上单调递增，

则，

而，所以.]

7. A  [函数为开口向上的抛物线，对称轴为，

函数在上单调递增，

则，解得.]

8. A  [函数的定义域为，恒成立，排除C，D，

当时，，

当时，，排除B.]

9. A  [因为是定义在上的奇函数，且满足，

所以，

则，

所以，

故的周期为4，

则，

而当时，，

所以，

则.]

10. B  [令

，

则

，

即，

所以是奇函数.

易知在上单调递增，

所以

，

解得或.]

11. B  [当时，，

∵当时，，

即需成立；

当时，，恒成立﹔

当时，，即需成立；

∴对于函数，在上，在上，

∴，解得.]

12. A  [作出的图象，如图所示，令，当时，与的图象有1个交点，即有1个根，

当时，与的图象有2个交点，即有2个根，

则关于的方程转化为，

由题意得，解得，

方程的两根为，，

因为关于的方程有三个不同的实数根，

则，解得，满足题意.]

13.

解析  由已知可得.

因为，所以，即.

14.

解析  ∵函数是幂函数，且其图象过点，

∴，且，求得，，可得，

则函数的单调递增区间为.

15.

解析  因为是上的减函数，

所以，解得，

所以的取值范围为.

16. ②③④

解析  ①当时，无最小值，

故①错误；

②因为，所以的图象关于直线对称，

又的周期为4，所以，

救函数一定为偶函数，故②正确；

③因为是定义在上的奇函数又是以2为周期的周期函数，

所以，，

，故.

又，

，

所以，故③正确；

④因为为奇函数，函数在上单调递增，若，则，有，所以，故④正确.

17. 解 （1）∵，，

∴.

（2）∵，，

，

∴.

18. 解 （1）

，

.

（2）∵是的充分不必要条件，

∴是的充分不必要条件，

∴，

∴或，

∴或，即的取值范围是.

19. 解 （1）由题意，得当时，，

则，

由是定义在上的奇函数，

得，且，

综上，.

（2）①当时，，

解得，所以；

②当时，显然成立，所以成立﹔

③当时，，解得.

综上，不等式的解集为.

20. 解 （1）因为，，

所以的对称轴为，则，

所以.

（2）令，当时，.

由（1）知在上单调递减，

即在上单调递减，

所以的最大值为，

即，解得.

21. 解 （1）函数与在上都是增函数，随着的增加，函数的值增加的越来越快，而函数的值增加的越来越慢，

由于凤明莲在湖中的蔓延速度越来越快，

因此选择模型符合要求.

根据题意可知当时，；

当时，，

所以，解得.

故该函数模型的解析式为，

，.

（2）当时，，元旦放入凤眼莲的覆盖面积是，

由，

得，

∴，

∵，∴，

即凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是六月份.

22. 解 （1）对于函数的定义域内任意的，取，

则，

且由是上的严格增函数，可知的取值唯一，

故是“依赖函数”.

（2）因为，在上是严格增函数，

故，即，

由，得，

又，

所以，解得，

故.

（3）因为，

所以在上单调递增，

从而，即，

进而，

解得或（舍），

从而，存在，使得对任意的，有不等式都成立，

故，

即，

整理，得对任意的恒成立.

由，得，

即实数的取值范围是.