2022山西省怀仁市一中高三上学期第一次月考数学（理）试题含答案

怀仁一中2021—2022学年第一学期高三年级第一次月考

理科数学试题

（考试时间：120分钟   试卷满分：150分）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1. 设集合，，则等于（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 已知集合，且中至多有一个偶数，则这样的集合共有（    ）

A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个

3. “”是“函数在区间上为增函数”的（    ）

A. 充分不必要条件  B. 必要不充分条件

C. 充要条件  D. 既不充分也不必要条件

4. 已知，是两个命题，若是假命题，那么（    ）

A. 是真命题且是假命题 B. 真命题且是真命题

C. 是假命题且是真命题 D. 是假命题且是假命题

5. 已知函数，则等于（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

6. 设，，，则，，的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 定义在上的函数，则（    ）

A. 既是奇函数，又是增函数 B. 既是奇函数，又是减函数

C. 既是偶函数，又是增函数 D. 既是偶函数，又是减函数

8. 函数的图象大致为（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 已知函数，则（    ）

A. 的图象关于点对称

B. 的图象关于直线对称

C. 在上单调递减

D. 在上单调递减，在上单调递增

10. 已知，当时，，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

11. 已知函数，若关于的方程有三个不同的实数根，则的取值范围为（    ）

A.   B.

C.   D.

12. 已知定义在上的函数，，其中函数满足且在上单调递减，函数满足且在上单调递减，设函数，则对任意，均有（    ）

A.   B.

C.  D.

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共 20分）

13. 设集合，，则的一个充分不必要条件是__________.

14. 若函数是幂函数，且其图象过点，则函数的单调递增区间为__________.

15. 已知是上的减函数，那么的取值范围是__________.

16. 如图所示，太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆的一个“太极函数”，则下列有关说法中：

①函数是圆：的一个太极函数；

②函数是圆：的一个太极函数；

③函数是圆：的一个太极函数﹔

④函数是圆：的一个太极函数.

所有正确的是__________.

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 已知集合，集合，集合.

（1）求集合；

（2）若，求实数的取值范围.

18. 设命题：函数的定义域为；命题：不等式对任意恒成立.

（1）如果是真命题，求实数的取值范围；

（2）如果命题“或”为真命题且“且”为假命题，求实数的取值范围.

19. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.

（1）求函数在上的解析式；

（2）解关于的不等式.

20. 设函数，已知的解集为.

（1）求，的值；

（2）若函数在区间上的最小值为-4，求实数的值.

21. 某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为，凤眼莲的覆盖面积（单位：）与月份（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择.

（1）试判断哪个函数模型更适合并求出该模型的解析式；

（2）求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份.（参考数据：，）.

22. 若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”.

（1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；

（2）若函数在定义域上为“依赖函数”，求的取值范围；

（3）已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的最大值.

怀仁一中2021—2022学年第一学期高三年级第一次月考

理科数学答案及解析

1. D  [，，

故，

所以.]

2. D  [∵，且中至多有一个偶数，

∴可能为，，，，，.]

3. A  [当时，在上为增函数，故充分性成立；

当函数在区间上为增函数时，，故必要性不成立.]

4. A  [若是假命题，

可知与都是假命题，则是真命题且是假命题.]

5. B  [依题意得，.]

6. D  [因为，，，

所以.]

7. A  [∵函数的定义域为，

且，

∴函数为奇函数，

又∵当时，为增函数，

∴在上为增函数.]

8. A  [函数的定义域为，恒成立，排除C，D，

当时，，

当时，，排除B.]

9. A  [由，得函数的定义域为，，定义域为，为奇函数且单调递增，

∴为向右平移两个单位长度得到，则函数在上单调递增，关于点对称.]

10. B  [当时，，

∵当时，，

即需成立；

当时，，恒成立﹔

当时，，即需成立；

∴对于函数，在上，在上，

∴，解得.]

11. A  [作出的图象，如图所示，令，当时，与的图象有1个交点，即有1个根，

当时，与的图象有2个交点，即有2个根，

则关于的方程转化为，

由题意得，解得，

方程的两根为，，

因为关于的方程有三个不同的实数根，

则，解得，满足题意.]

12. C  [易知为偶函数，关于对称，

又在上单调递减，

∴在上单调递增，

在上单调递减，

∴在上单调递增，

当时，，

当时，.

①若恒成立，则，可知关于对称，

又与关于对称；与关于对称，

∴，；

②若恒成立，则，可知关于轴对称，

当时，；

当时，，

可排除A，B；

当，即时，，

∴，

当，即时，，

∴若，则，可排除D.]

13. （或或）

解析  集合，

若，则或或；

当时，，

当时，有，解得，

当时，有，解得，

故的一个充分不必要条件是（或或）.

14.

解析  ∵函数是幂函数，且其图象过点，

∴，且，求得，，可得，

则函数的单调递增区间为.

15.

解析  因为是上的减函数，

所以，解得，

所以的取值范围为.

16. ①②③④

解析  ①两曲线的对称中心均为点，且两曲线交于两点，所以能把圆一分为二，如图，

故正确；

②函数关于点对称，经过圆的圆心，且两曲线交于两点，如图：

所以函数是圆：的一个太极函数，故正确；

③函数为奇函数，如图：

所以函数是圆：的一个太极函数，故正确；

④函数为奇函数，且单调递增，如图，

所以函数是圆：的一个太极函数，故正确.

17. 解  （1）∵，∴或，

∴，.

于是，，，

解得，∴.

（2）∵，∴.

若，则，即；

若，则或，

解得，

综上，实数的取值范围是或.

18. 解 （1）命题是真命题，则恒成立，

得，即，

所以的取值范围为.

（2）若命题是真命题，则不等式对一切均成立，

设，令，则，，

当时，，所以.

若命题“”为真命题，“”为假命题，

则，一真一假.

即有或，

综上，实数的取值范围为.

19. 解 （1）由题意，得当时，，

则，

由是定义在上的奇函数，

得，且，

综上，.

（2）①当时，，

解得，所以；

②当时，显然成立，所以成立﹔

③当时，，解得.

综上，不等式的解集为.

20. 解 （1）由的解集为可得的解为，

则，，则，，

此时即为，满足题意.

∴，.

（2），

二次函数在上单调递减，在上单调递增，

当，即时，在上单调递减，

的最小值为，则，

解得，不满足；

当，即时，在上先递减后递增，

的最小值为，

则，解得或-4，

由，可得；

当，即时，在上单调递增，

的最小值为，不满足最小值为-4.

综上可知，.

21. 解 （1）函数与在上都是增函数，随着的增加，函数的值增加的越来越快，而函数的值增加的越来越慢，

由于凤明莲在湖中的蔓延速度越来越快，

因此选择模型符合要求.

根据题意可知当时，；

当时，，

所以，解得.

故该函数模型的解析式为，

，.

（2）当时，，元旦放入凤眼莲的覆盖面积是，

由，

得，

∴，

∵，∴，

即凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是六月份.

22. 解 （1）对于函数的定文域内存在，则无解，

故不是“依赖函数”.

（2）因为在上单调递增，

故，即，，

由，故，得，

从而在上单调递增，故.

（3）①若，故在上的最小值为0，此时不存在，舍去；

②若，故在上单调递减，

从而，解得（舍）或，

从而存在，使得对任意的，有不等式都成立，

即恒成立，

由，

得.

由，可得，

又在上单调递减，

故当时，，

从而，解得，

综上，实数的最大值为.