2022萍乡湘东中学高三上学期开学考试数学试题含答案

这是一份2022萍乡湘东中学高三上学期开学考试数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
江西省萍乡市湘东中学2022届高三开学考试数学（理科）试卷（考试试卷：120分钟，满分150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则(   )A. B. C. D.2.设复数其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为　　A. 2 B. 2i C.  D. 3．双曲线 的离心率是，过右焦点作渐近线的垂线，垂足为，若的面积是1，则双曲线的实轴长是（  ）A． 1           B． 2             C．         D． 4．偶函数在上为增函数，且，则实数的取值范围是（     ）A．     B．     C．     D． 5．为了配合创建全国文明城市的活动，我校现从4名男教师和5名女教师中，选取3人，组成创文明志愿者小组，若男女至少各有一人，则不同的选法共有（    ）A. 140种   B. 70种    C. 35种    D. 84种6．已知平面向量的夹角为，且，则(    )A. 1       B.        C. 2       D. 7．已知双曲线C的焦点为F1，F2，点P为双曲线上一点．若|PF2|＝2|PF1|，∠PF1F2＝60°，则双曲线的离心率为A．                              B．2                           C．                        D．8．已知向量a＝（1，x－1），b＝（y，2）若向量a，b同向，则x＋y的最小值为A．                             B．2                            C．                        D．9．的展开式中的系数是A.90    B．   C．15   D．10．已知双曲线的左，右焦点分别为，O为坐标原点，P为双曲线在第一象限上的点，直线PO，分别交双曲线C的左，右支于另一点，且，则双曲线的离心率为A．   B．3   C．2   D．11.已知A（4,3），F为椭圆的右焦点，过点A的直线与椭圆在x轴上方相切于点B，则直线BF的斜率为A．                B．             C．           D．12.已知不等式 恒成立，则的最大值为A．           B．       C．     D．二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13. 已知向量，，若，则______．14.已知实数x，y满足不等式组，则的最小值为______．15.某医院传染病科室有5名医生、4名护士，现从这9名医护人员中选取5名参加医院组织的运动会，要求其中至少有2名医生、2名护士，则不同的选取方法有__________种.16.已知定义在R上的函数满足，且当时，，当时，，则函数在上有_________个零点.三．解答题：共70分。解答写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个考题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17．（本题12分）已知等比数列中， ， ．（）若为等差数列，且满足， ，求数列的通项公式．（）若数列满足，求数列的前项和． 18.如图，三棱柱ABC ­A1B1C1中，各棱长均相等．D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．(1)证明：EF∥平面A1CD；(2)若三棱柱ABC ­A1B1C1为直棱柱，求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值． 19.某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为ξ12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．(1)求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；(2)求η的分布列及期望E(η)．20. 如图已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，右顶点为A，且|AF|＝1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动直线l：y＝kx＋m与椭圆C有且只有一个交点P，且与直线x＝4交于点Q，问，是否存在一个定点M(t,0)，使得·＝0.若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．21. 已知函数.（1）若，讨论方程根的情况；（2）若，讨论方程根的情况.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，过点的直线的参数方程为（为参数），直线与曲线相交于两点.（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）若，求的值.23. 已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若对任意恒成立，求的最小值.
数学（理科）参考答案1.B   2.C   3.B   4.B   5.B6.A   7.D   8.D   9.B   10.D   11.C   12.A13.-30   14.-4   15.10   16.717.(Ⅰ)在等比数列中, .所以,由得,即, 因此,    3分在等差数列中,根据题意, 可得, 所以,        6分(Ⅱ)若数列满足,则,   8分因此有       12分   18.解：(1)证明：在三棱柱ABC ­A1B1C1中，AC∥A1C1，且AC＝A1C1，连接ED(图略)，在△ABC中，因为D，E分别为棱AB，BC的中点，所以DE∥AC，DE＝AC.又F为A1C1的中点，可得A1F＝A1C1，所以A1F∥DE，A1F＝DE，因此四边形A1FED为平行四边形，所以EF∥A1D，又EF⊄平面A1CD，A1D⊂平面A1CD，所以EF∥平面A1CD.(2)法一：因为底面ABC是正三角形，D为AB的中点，所以CD⊥AB，又AA1⊥CD，AA1∩AB＝A，所以CD⊥平面A1ABB1.如图在平面A1ABB1内，过点B作BG⊥A1D，交直线A1D于点G，连接CG，则BG⊥平面A1CD，所以∠BCG为直线BC与平面A1CD所成的角．设三棱柱的棱长为a，可得A1D＝，由△A1AD∽△BGD，可得BG＝，在Rt△BCG中，sin∠BCG＝＝.所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为.法二：设A1B1的中点为O，连接OC1，OD，因为三棱柱ABC ­A1B1C1为直棱柱，所以OD⊥平面A1B1C1，所以OD⊥OC1，OD⊥OA1.又△A1B1C1为等边三角形，所以OC1⊥A1B1.以O为坐标原点， ，， 的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O ­xyz.设三棱柱的棱长为a，则O(0,0,0)，B，C，A1，D(0，a,0)．所以＝，＝，＝.设平面A1CD的法向量为n＝(x，y，z)，由得令x＝2，得n＝(2,1,0)．设直线BC与平面A1CD所成的角为θ，则sin θ＝＝＝.所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为.19. 解：(1)由A表示事件“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”，可得表示事件“购买该商品的3位顾客中，无人采用1期付款”．又P()＝(1－0.4)3＝0.216，故P(A)＝1－P()＝1－0.216＝0.784.(2)η的可能取值为200,250,300.P(η＝200)＝P(ξ＝1)＝0.4，P(η＝250)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.2＋0.2＝0.4，P(η＝300)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝0.1＋0.1＝0.2.η的分布列为η200250300P0.40.40.2E(η)＝200×0.4＋250×0.4＋300×0.2＝240.20. 解：(1)由c＝1，a－c＝1，得a＝2，∴b＝，故椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)由消去y得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，∴Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝0，即m2＝3＋4k2.设P(xP，yP)，则xP＝－＝－，yP＝kxP＋m＝－＋m＝，即P.∵M(t,0)，Q(4,4k＋m)，∴＝，＝(4－t,4k＋m)，∴·＝·(4－t)＋·(4k＋m)＝t2－4t＋3＋(t－1)＝0恒成立，故解得t＝1.∴存在点M(1,0)符合题意．21. （1），令.    此时①若，在递减，，无零点；②若，在递增，，无零点；          …… 2分③若，在递减，递增，其中.Ⅰ.若，则，此时在无零点；Ⅱ.若，则，此时在有唯一零点；综上所述：当或时，无零点；当时，有个零点. … 5分（2）解法一：，令，  ①若，在递增，，无零点；。… 6分②若，在递增，递减，递增.  其中   … 7分显然消元：，其中，   令，                                                                  ，即，无零点.综上所述：，方程无解 .  ……12分解法二：令，.  令，.显然在递减，递增，递减，，，  在递减，递增，递减,其中.且，由洛必达法则： ， ，由，.综上所述：，方程无解 .  ……12分 22. （1）由得：，∴曲线的直角坐标方程为：，由消去得：，∴直线的普通方程为：（2）直线的参数方程为（为参数），代入，得到设对应的参数分别为，则是方程的两个解，由韦达定理得：，因为，所以，解得．23. （1）， 或或解得或的解集为或.（2）由图知.，即，当且仅当时等号成立，，解得，当且仅当时等号成立故的最小值为.