专题02 勾股定理-2021-2022学年八年级数学下学期期末复习常考点知识巩固+例题练习+期末模拟测试卷（人教版）

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勾股定理常考点知识巩固与题型练习




























考点一：勾股定理
【知识点巩固】
勾股定理的内容：
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别是三角形的三条边，则 。
勾股定理的证明：
勾股定理的证明利用等面积法转化。用以下图形证明勾股定理（图①与图②都是由四个全等的直角三角形构成，图③示由两个全等的直角三角形与一个等腰直角三角形构成）：

如图①：整体法表示图形面积：
用图形的面积之和表示面积：
∴
如图②：整体法表示图形面积： 。
用图形的面积之和表示面积： 。
∴
如图③：整体法表示图形面积： 。
用图形的面积之和表示面积： 。
∴
利用勾股定理求三角形的边长：
＝ 。
＝ 。
＝ 。
利用勾股定理求特殊直角三角形（含30°角或45°角的直角三角形）三边的比值关系
含30°角直角三角形三边比值关系是（从小到大）： 。
含45°角直角三角形三边比值关系是（从小到大）： 。
勾股定理求两点之间的距离：
两点之间的距离公式：若，，则＝ 。
【例题：勾股定理的证明】
1．我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理．
【解答】解：A、大正方形的面积为：c2；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：＝a2+b2，
∴a2+b2＝c2，故A选项能证明勾股定理．
B、梯形的面积为：＝；
也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：＝，
∴＝，
∴a2+b2＝c2，故B选项能证明勾股定理．
C、大正方形的面积为：（a+b）2；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：＝2ab+c2，
∴（a+b）2＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2，故C选项能证明勾股定理．
D、大正方形的面积为：（a+b）2；
也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a2+b2+2ab，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab，
∴D选项不能证明勾股定理．
故选：D．
2．意大利著名画家达•芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示的左图和右图，证明了勾股定理．若设左边图中空白部分的面积为S1，右边图中空白部分的面积为S2，则下列对S1，S2所列等式正确的是（　　）

A．S1＝a2+b2+2ab B．S1＝a2+b2+ab
C．S2＝c2 D．S2＝c2+ab
【分析】根据直角三角形以及正方形的面积公式计算即可解决问题．
【解答】解：观察图形可知：S1＝S2＝a2+b2+ab＝c2+ab，
故选：B．
3．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2＝49；②x﹣y＝2；③2xy+4＝49；④x+y＝9，其中说法正确的有（　　）个．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用大正方形面积和小正方形面积可得出大正方形和小正方形的边长，利用勾股定理可判断①，利用线段和差可判断②，利用大正方形面积等于小正方形面积与四个直角三角形面积之和可判断③，利用①③可判断④．
【解答】解：∵大正方形面积为49，
∴大正方形边长为7，
在直角三角形中，
x2+y2＝72＝49，
故说法①正确；
∵小正方形面积为4，
∴小正方形边长为2，
∴x﹣y＝2，
故说法②正确；
∵大正方形面积等于小正方形面积与四个直角三角形面积之和，
∴4×xy+4＝49，
∴2xy+4＝49，
故说法③正确；
∵2xy+4＝49，
∴2xy＝45，
∵x2+y2＝49，
∴x2+y2+2xy＝49+45，
∴（x+y）2＝94，
∴x+y＝，
故说法④错误；故选：C．
【例题：利用勾股定理证明求值】
4．如图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的两角边分别是a、b，且（a+b）2＝15，大正方形的面积是9，则小正方形的面积是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据大正方形的面积可以得到直角三角形斜边的平方，再根据（a+b）2＝15和勾股定理，可以得到ab的值，然后根据S小正方形＝S大正方形﹣4S直角三角形，代入数据计算即可．
【解答】解：设直角三角形的斜边为c，
∵大正方形的面积是9，
∴c2＝9，
∵直角三角形的两角边分别是a、b，
∴a2+b2＝c2＝9，
∵（a+b）2＝15，
∴a2+2ab+b2＝15，
∴（a2+b2）+2ab＝15，
∴9+2ab＝15，
解得ab＝3，
∴S小正方形＝S大正方形﹣4S直角三角形
＝9﹣ab×4
＝9﹣2ab
＝9﹣2×3
＝9﹣6
＝3，
故选：A．
5．如图，我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，则直角三角形较短的直角边a与较长的直角边b的比的值是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值，然后根据（a+b）2＝a2+2ab+b2即可求得（a+b）的值；则可求出答案．
【解答】解：∵大正方形的面积是13，设边长为c，
∴c2＝13，
∴a2+b2＝c2＝13，
∵直角三角形的面积是＝3，
又∵直角三角形的面积是ab＝3，
∴ab＝6，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝c2+2ab＝13+2×6＝13+12＝25，
∴a+b＝5．
∵小正方形的面积为（b﹣a）2＝1，
∴b＝3，a＝2，
∴．
故选：B．
6．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝18，则S2的值是（　　）

A． B．6 C．5 D．
【分析】先设每个直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，然后根据图形和S1+S2+S3＝18，可以写出关于a、b的方程，然后整理化简，即可求得S2的值．
【解答】解：设每个直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，
∵S1+S2+S3＝18，
∴（a+b）2+（a2+b2）+（a﹣b）2＝18，
∴a2+2ab+b2+a2+b2+a2﹣2ab+b2＝18，
∴3（a2+b2）＝18，
∴a2+b2＝6，
∴S2＝a2+b2＝6，
故选：B．
【例题：勾股定理的应用—求边长】
7．已知直角三角形的一条直角边长为，斜边长为2，则另一条直角边的长为（　　）
A．8 B．4 C．4 D．16
【分析】根据勾股定理和题目中的数据，可以计算出另一条直角边的长．
【解答】解：∵直角三角形的一条直角边长为，斜边长为2，
∴另一条直角边的长为：
＝
＝
＝4，
故选：C．
8．如图，以Rt△ABC的两直角边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，若S1＝8cm2，S2＝17cm2，则斜边AB的长是（　　）

A．3cm B．6cm C．4cm D．5cm
【分析】根据正方形的面积可以得到BC2＝8，AC2＝17，然后根据勾股定理即可得到AB2，从而可以求得AB的值．
【解答】解：S1＝8cm2，S2＝17cm2，
∴BC2＝8，AC2＝17，
∵∠ACB＝90°，
∴AB2＝BC2+AC2，
∴AB2＝8+17＝25，
∴AB＝5cm，
故选：D．
9．在△ABC中，∠B＝60°，点D在BC边上，AD＝CD，若AB＝6，BC＝10，则AD＝ ．

【分析】过点A作AE⊥BC于E，利用含30°角的直角三角形的性质得AE、BE的长，设AD＝CD＝x，则DE＝7﹣x，在Rt△AED中，利用勾股定理可得方程，解方程即可得出答案．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于E，

∵∠B＝60°，∠AEB＝90°，
∴BE＝，
∴AE＝3，
∵BC＝10，
∴CE＝BC﹣BE＝7，
设AD＝CD＝x，
则DE＝7﹣x，
在Rt△AED中，由勾股定理得：
AE2+DE2＝AD2，
即（3）2+（7﹣x）2＝x2，
解得x＝，
∴AD＝，
故答案为：．
10．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果AB＝8，BC＝6，那么AC的长是（　　）
A．10 B．2 C．10或2 D．7
【分析】利用勾股定理进行计算即可解答．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，BC＝6，
∴AC＝＝＝2，
故选：B．
11．一个直角三角形的两边长分别为8cm、10cm，则第三条边长为（　　）
A．6cm B．12cm
C．2cm D．6cm 或2cm
【分析】根据题意可知分两种情况，然后根据勾股定理分别计算出第三条边即可．
【解答】解：当斜边长为10cm时，
则第三条边长为：＝6（cm）；
当两条直角边长分别为8cm，10cm时，
则第三边长为：＝＝＝2（cm）；
故选：D．
【例题：勾股定理的应用—求面积】
12．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝1，BC＝2．四边形ADEC是正方形，则正方形ADEC的面积是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】在△ABC中，通过勾股定理得AC2＝5，从而解决问题．
【解答】解：在△ABC中，∠B＝90°，
由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2＝12+22＝5，
∵四边形ADEC是正方形，
∴S正方形ADEC＝AC2＝5，
故选：C．
13．已知△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上的高为12．则△ABC的面积为（　　）
A．24或84 B．84 C．48或84 D．48
【分析】在Rt△ABD和Rt△ACD中分别进行计算，求出BD和CD，再根据三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：∵AB＝13，AC＝15，BC边上的高AD＝12，
在Rt△ABD中，
BD＝＝5，
在Rt△ACD中，
DC＝＝9，
∴BC＝BD+DC＝14，BC＝DC﹣BD＝4，
∴△ABC的面积＝×14×12＝84，或＝；
故选：A．

14．勾股定理是中国几何的根源，中华数学的精髓，诸如开方术、方程术、天元术等技艺的诞生与发展，寻根探源，都与勾股定理有着密切关系，在一次数学活动中，数学小组发现如下图形：在△ABC中，∠ACB＝90°，图中以AB、BC、AC为边的四边形都是正方形，并且经测量得到三个正方形的面积分别为225、400、S，则S的值为（　　）

A．25 B．175 C．600 D．625
【分析】由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，直接代入计算即可．
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，
由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，
∴225+400＝S，
∴S＝625．
故选：D．
15．如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形N、M、Q、P的边长分别是1，3，3，5，则最大正方形G的面积为（　　）

A．12 B．15 C．38 D．44
【分析】根据勾股定理的几何意义解答即可．
【解答】解：根据勾股定理的几何意义，可知

SG＝SA+SB
＝SM+SN+SQ+SP
＝12+32+32+52
＝44；
故选：D．
16．如图1，分别以直角三角形三边为边向外作正方形，面积分别为S1，S2，S3；如图2，分别以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为S4，S5，S6.其中S1＝1，S2＝3，S5＝2，S6＝4，则S3+S4＝（　　）

A．10 B．9 C．8 D．7
【分析】根据图形和勾股定理，可以得到S1+S2＝S3，同理可得，S5+S6＝S4，然后根据S1＝1，S2＝3，S5＝2，S6＝4，即可得到S3+S4的值，本题得以解决．
【解答】解：如右图所示，
∵S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2，a2+b2＝c2，
∴S1+S2＝S3，
同理可得，S5+S6＝S4，
∵S1＝1，S2＝3，S5＝2，S6＝4，
∴S3+S4＝（1+3）+（2+4）＝4+6＝10，
故选：A．
【例题：勾股定理的应用—无理数线段】
17．如图，以数轴上数1表示的点为圆心，正方形对角线的长为半径画弧交数轴于点P，则点P对应的实数为（　　）

A．﹣ B． C．﹣1 D．1﹣
【分析】先根据勾股定理求出正方形对角线的长，再根据负半轴上点的坐标特点求出P点坐标即可．
【解答】解：∵正方形的边长为1，
∴其对角线长＝＝，
∴OP＝﹣1，
∵点P在数轴的负半轴上，
∴点P对应的实数为1﹣．
故选：D．
18．如图，数轴上的点A表示的数是﹣2，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC＝2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（　　）

A． B．+2 C．﹣2 D．2
【分析】根据题意，利用勾股定理可以求得AC的长，从而可以求得AD的长，进而可以得到点D表示的数．
【解答】解：由题意可得，
AB＝3，BC＝2，AB⊥BC，
∴AC＝＝＝，
∴AD＝．
∴点D表示数为﹣2．
故选：C．
19．如图，Rt△OAB的直角边OA＝2，AB＝1，OA在数轴上，在OB上截取BC＝BA，以原点O为圆心，OC为半径画弧，交数轴于点P，则OP的中点D对应的实数是（　　）

A． B． C．﹣1 D．﹣1
【分析】根据勾股定理求出OB，求出BC＝AB＝1，求出OC＝OP＝﹣1，再根据线段的中点定义求出OD即可．
【解答】解：在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，AB＝1，OA＝2，由勾股定理得：OB＝＝，
∵BC＝AB，AB＝1，
∴BC＝1，
∴OC＝OB﹣BC＝﹣1，
即OP＝﹣1，
∵OP的中点是D，
∴OD＝OP＝×（﹣1）＝，
即点D表示的数是，
故选：A．
【例题：勾股定理的应用—求两点之间的距离】
20．平面直角坐标系内，点P（﹣3，﹣4）到原点的距离是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．3或4
【分析】根据勾股定理计算即可．
【解答】解：P（3，﹣4）到原点的距离＝＝5，
故选：C．
21．如图，直角坐标系中有两点A（5，0），B（0，4），A，B两点间的距离为（　　）

A．3 B．7 C． D．9
【分析】根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵点A（5，0），B（0，4），∠AOB＝90°，
∴OA＝5，OB＝4，
∴AB＝＝＝，
故选：C．
22．在平面直角坐标系中，已知点A（1，﹣5），B（﹣3，7），求线段AB长为（　　）
A．12 B．4 C．4 D．16
【分析】直接根据两点间的距离公式求解．
【解答】解：∵点A（1，﹣5）和点B（﹣3，7），
∴AB＝＝4．
故选：C．
【例题：勾股定理的实际应用】
23．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条长16的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（　　）

A．4≤a≤5 B．3≤a≤4 C．2≤a≤3 D．1≤a≤2
【分析】如图，当吸管底部在O点时吸管在罐内部分a最短，此时a就是圆柱形的高；当吸管底部在A点时吸管在罐内部分a最长，此时a可以利用勾股定理在Rt△ABO中即可求出
【解答】解：如图，
当吸管底部在地面圆心时吸管在罐内部分b最短，
此时b就是圆柱形的高，
即b＝12；
∴a＝16﹣12＝4，
当吸管底部在饮料罐的壁底时吸管在罐内部分b最长，
b＝＝13，
∴此时a＝3，
所以3≤a≤4．
故选：B．
24．如图长方体木箱的长、宽、高分别为12m，4m，3m，则能放进木箱中的直木棒最长为（　　）

A．12m B．13m C．15m D．24m
【分析】首先利用勾股定理计算出BC的长，再利用勾股定理计算出AB的长即可．
【解答】解：∵侧面对角线BC2＝32+42＝52，
∴CB＝5m，
∵AC＝12m，
∴AB＝＝13（m），
∴空木箱能放的最大长度为13m，
故选：B．

25．如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（　　）

A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺
【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．
【解答】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，
根据勾股定理得：x2+（）2＝（x+1）2，
解得：x＝12，
芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺），
故选：D．
26．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街道上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方30米C处，过了2秒后，小汽车行驶到B处，测得小汽车与车速检测仪间距离为50米，
（1）求BC的长；
（2）这辆小汽车超速了吗？
【分析】（1）在直角三角形ABC中，已知AB，AC根据勾股定理即可求出小汽车2秒内行驶的距离BC；
（2）根据小汽车在两秒内行驶的距离BC可以求出小汽车的平均速度，求得数值与70千米/时比较，即可计算小汽车是否超速．
【解答】解：（1）在直角△ABC中，已知AC＝30米，AB＝50米，
且AB为斜边，则BC＝＝40米．
答：小汽车在2秒内行驶的距离BC为40米；
（2）小汽车在2秒内行驶了40米，所以平均速度为20米/秒，
20米/秒＝72千米/时，
因为72＞70，
所以这辆小汽车超速了．
答：这辆小汽车的平均速度大于70千米/时，故这辆小汽车超速了．
考点二：勾股定理逆定理
【知识点巩固】
互逆命题与互逆定理
如果两个命题的题设与结论恰好 相反 ，则我们称这两个命题是 互逆命题 ，其中一个叫做 原命题 ，另一个叫做 逆命题 。如果原命题与逆命题推理论证之后都是 真命题 ，则这两个互逆命题又叫做 互逆定理 。
勾股定理逆定理：
如图，在三角形中，三角形的三边分别是，若满足 ，则三角形是直角三角形。
勾股数：
满足勾股定理的3个 正整数 。一组勾股数扩大 相同 的倍数仍然是勾股数。
常见的勾股数（勾3股4玄5）：
①倍数形：，，
②奇数：一个奇数的平方等于两个连续的自然数之和，则这个奇数与这两个连续的自然数是勾股数。
③偶数：一个偶数与这个偶数一半的平方加1和这个偶数一半的平方减1这三个数是勾股数。
【例题：勾股定理的逆定理】
27．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　）
A．1，1，1 B．2，3，4 C．1，， D．1，2，3
【分析】根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
【解答】解：A、∵1＝1＝1，
∴以1，1，1为边构成的是等边三角形，不是直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵22+32＝4+9＝13，42＝16，
∴22+32≠42，
∴以2，3，4为边不能构成直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵12+（）2＝1+2＝3，（）2＝3，
∴12+（）2＝（）2，
∴以1，，为边能构成直角三角形，
故C符合题意；
D、∵1+2＝3，
∴以1，2，3为边不能构成三角形，
故D不符合题意；
故选：C．
28．如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°，则四边形ABCD的面积等于 　 　．

【分析】先在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，再利用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，然后根据四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ACD的面积，进形计算即可解答．
【解答】解：∵AB＝3，BC＝4，∠B＝90°，
∴AC＝＝＝5，
∵CD＝12，AD＝13，
∴AC2+CD2＝52+122＝169，AD2＝132＝169，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ACD的面积
＝AB•BC+AC•CD
＝×3×4+×5×12
＝6+30
＝36，
故答案为：36．
29．已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，则四边形ABCD的面积为 　 　．

【分析】连接AC，根据勾股定理求出AC，求出AC2+CD2＝AD2，根据勾股定理的逆定理得出△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，根据图形得出四边形ABCD的面积S＝S△ABC+S△ACD，再求出答案即可．
【解答】解：连接AC，

∵AB⊥BC，
∴∠B＝90°，
∵AB＝1，BC＝2，
∴AC＝＝＝，
∵CD＝2，AD＝3，
∴AC2+CD2＝（）2+22＝5+4＝9，AD2＝32＝9，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，
∴四边形ABCD的面积S＝S△ABC+S△ACD
＝+
＝+×2
＝1+，
故答案为：1+．
【例题：勾股数的判定】
30．下列数组中，是勾股数的是（　　）
A．6、8、10 B．2、2、2 C．1、1、 D．1、2、3
【分析】三个正整数，其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，则这三个数就是勾股数，据此判断即可．
【解答】解：A、62+82＝102，三边是整数，同时能构成直角三角形，故符合题意．
B、22+22≠22，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、12+12≠（）2，不能构成直角三角形，故不符合题意；
D、12+22≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意；
故选：A．
31．在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．
a
6
8
10
12
14
…
b
8
15
24
35
48
…
C
10
17
26
37
50
…
则当a＝24时，b+c的值为（　　）
A．162 B．200 C．242 D．288
【分析】先根据表中的数据得出规律，根据规律求出b、c的值，再求出答案即可．
【解答】解：从表中可知：a依次为6，8，10，12，14，16，18，20，22，24，…，即24＝2×（10+2），
b依次为8，15，24，35，48，…，即当a＝24时，b＝122﹣1＝143，
c依次为10，17，26，37，50，…，即当a＝24时，c＝122+1＝145，
所以当a＝24时，b+c＝143+145＝288．
故选：D．
32．观察下列一组数：
列举：3、4、5，猜想：32＝4+5；
列举：5、12、13，猜想：52＝12+13；
列举：7、24、25，猜想：72＝24+25；
…
列举：13、b、c，猜想：132＝b+c；
请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b＝　 　，c＝　 　．
【分析】认真观察三个数之间的关系：首先发现每一组的三个数为勾股数，第一个数为从3开始连续的奇数，第二、三个数为连续的自然数；进一步发现第一个数的平方是第二、三个数的和；最后得出第n组数为（2n+1），（），（），由此规律解决问题．
【解答】解：在32＝4+5中，4＝，5＝；
在52＝12+13中，12＝，13＝；
…
则在13、b、c中，b＝＝84，c＝＝85．