期末复习模拟测试卷03-2021-2022学年八年级数学下学期期末复习常考点知识巩固+例题练习+期末模拟测试卷（人教版）

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2021—2022学年八年级下期末模拟测试卷——卷3（答案卷）
一、选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑）
1．（4分）若与最简二次根式5可以合并，则a＝（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】先化简二次根式，根据同类二次根式的概念列出方程即可得出答案．
【解答】解：＝2，
∵若与最简二次根式5可以合并，
∴a﹣1＝6，
∴a＝7，
故选：C．
2．（4分）八年级（1）班30名学生的身高情况如表：
身高（m）
1.45
1.48
1.50
1.53
1.55
1.65
1.70
人数
x
y
6
8
5
3
1
关于身高的统计量中，不随x、y的变化而变化的有（　　）
A．众数，中位数 B．中位数，方差
C．平均数，方差 D．平均数，众数
【分析】根据总人数确定x+y的值，然后根据表格确定众数和中位数即可得到结论．
【解答】解：由题意得：x+y＝30﹣6﹣8﹣5﹣3﹣1＝7，
所以众数为1.53，中位数也是1.53，
所以众数、中位数不会随着x、y的变化而变化，
故选：A．
3．（4分）小华和小侨合作，用一块含30°的直角三角板，旗杆顶端垂到地面的绳子，测量长度的工具，测量学校旗杆的高度．如图，测得AD＝0.5米，绳子部分长CD＝6米，则学校旗杆AB的高度为（　　）
A．6.5米 B．（6+0.5）米
C．12.5米 D．（6+0.5）米
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质得出2DC＝BC，进而利用勾股定理解答即可．
【解答】解：由题意知∠ABC＝30°，CD⊥AB，
∴BC＝2CD＝12米，BD＝6米，
∵AD＝0.5米，
∴AB＝（6+0.5）米，
故选：B．
4．（4分）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是，它介于整数n和n+1之间，则n的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据二次根式的范围解答即可．
【解答】解：∵≈2.236，
∴，
∴，
∴，
即介于整数0和1之间，
∴n＝0，
故选：A．
5．（4分）定义max（a，b），当a≥b时，max（a，b）＝a，当a＜b时，max（a，b）＝b；已知函数y＝max（﹣x﹣3，2x﹣9），则该函数的最小值是（　　）
A．﹣9 B．﹣3 C．﹣6 D．﹣5
【分析】根据新定义内容分情况讨论，然后结合一次函数的增减性求得函数最小值．
【解答】解：当﹣x﹣3≥2x﹣9时，
解得：x≤2，
此时y＝﹣x﹣3，
∵﹣1＜0，
∴y随x的增大而减小，
当x＝2时，y最小值为﹣5；
当﹣x﹣3＜2x﹣9时，
解得：x＞2，
此时y＝2x﹣9，
∵2＞0，
∴y随x的增大而增大，
综上，当x＝2时，y最小值为﹣5，
故选：D．
6．（4分）如图，▱ABCD中，AB＞AD，AE，BE，CM，DM分别为∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA的平分线，AE与DM相交于点F，BE与CM相交于点N，连接EM．FM＝3cm，EF＝4cm，则EM为（　　）

A．3cm B．4cm C．5cm D．7cm
【分析】由条件易证∠AEB＝∠AFD＝∠DMC＝90°，进而可证到四边形EFMN是矩形及∠EFM＝90°，由FM＝3cm，EF＝4cm可求出EM．
【解答】解：∵AE为∠DAB的平分线，
∴∠DAE＝∠EAB＝∠DAB，
同理：∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，
∠BCM＝∠DCM＝∠BCD，
∠CDM＝∠ADM＝∠ADC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，AD＝BC，
∴∠DAF＝∠BCN，∠ADF＝∠CBN，
在△ADF和△CBN中，
，
∴△ADF≌△CBN（ASA），
∴DF＝BN，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∴∠EAB+∠EBA＝90°，
∴∠AEB＝90°，
同理可得：∠AFD＝∠DMC＝90°，
∴∠EFM＝90°，
∵FM＝3cm，EF＝4cm，
∴ME＝＝5（cm）．
故选：C．
7．（4分）如图，点A，B，C在一次函数y＝﹣2x+m的图象上，它们的横坐标依次为﹣1，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（　　）

A．1 B．3（m﹣1） C．3 D．
【分析】设AD⊥y轴于点D；BF⊥y轴于点F；BG⊥CG于点G，然后求出A、B、C、D、E、F、G各点的坐标，计算出长度，利用三角形面积公式即可计算出答案．
【解答】解：如图，
由题意可得：A点坐标为（﹣1，2+m），B点坐标为（1，﹣2+m），C点坐标为（2，m﹣4），D点坐标为（0，2+m），E点坐标为（0，m），F点坐标为（0，﹣2+m），G点坐标为（1，m﹣4）．
所以，DE＝EF＝BG＝2+m﹣m＝m﹣（﹣2+m）＝﹣2+m﹣（m﹣4）＝2，
又因为AD＝BF＝GC＝1，
所以图中阴影部分的面积和等于S＝3××1×2＝3．
故选：C．
8．（4分）通过统计甲、乙丙丁四名同学某学期的四次数学测试成绩，得到甲、乙、丙丁三名同学四次数学测试成绩的方差分别为S甲2＝24，S乙2＝18，S丙2＝21，丁同学四次数学测试成绩（单位：分）如表：

第一次
第二次
第三次
第四次
丁同学
100
100
110
110
则这四名同学四次数学测试成绩最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】求得丁同学的方差后与前三个同学的方差比较，方差最小的成绩最稳定．
【解答】解：丁同学的平均成绩为：×（100+100+110+110）＝105；
方差为S丁2＝×[2×（100﹣105）2+2×（110﹣105）2]＝25，
所以四个人中乙的方差最小，成绩最稳定，
故选：B．
9．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，分别以AB，AC，BC为边向△ABC外作正方形ABED，正方形ACHI，正方形BCGF．直线ED，HI交于点J，过点F作KF∥HI，交DE于点K，过点G作GM∥DE，与HI，KF分别交于点M，L．则四边形KLMJ的面积为（　　）

A．90 B．100 C．110 D．120
【分析】先由勾股定理得出BC＝5．在由正方形的性质推出四边形KLMJ，DGLI都是矩形，再由矩形的性质得出DJ＝AI＝4，J1＝DA＝3，延长AC至O，则CO⊥ML，可证△ABC≌△OCG（AAS），继而得出四边形COMH是矩形，可得CO＝HM＝3，同理可得，四边形EKQB是矩形，KE＝QB＝4，即可求解四边形KLMJ的面积．
【解答】解：延长AC至O，则CO⊥ML，如图：

在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
由勾股定理可得BC＝5，
∵四边形ABED，ACHI，BCGF都是正方形，
∴四边形的四个角都是90°，四条边平行且相等，
∵KF∥HI，GM∥DE，
∴∠JKL＝∠KJM＝90°，
∴四边形KLMJ，DGLA都是矩形，
∴ED＝DA＝AB＝3，AI＝AC＝IH＝4，BC＝BF＝CG＝5，
∴DJ＝AI＝4，JI＝DA＝3，
∵∠ACB+∠GCO＝90°＝∠ACB+∠ABC，
∴∠ABC＝∠GCO，
∴∠BAC＝∠COG，BC＝CG，
∴△ABC≌△OCG（AAS），
∴AB＝OC＝3，
∴∠COG＝90°，
∴∠JML＝90°，
∴四边形COMH是矩形，
∴CO＝HM＝3，
同理可得，四边形EKQB是矩形，
∴KE＝QB＝4，
∴四边形KLMJ的面积＝HJ•JM＝（KE+ED+DJ）•（JI+IH+HM）＝（4+3+4）×（3+4+3）＝110．
故选：C．
10．（4分）某快递公司每天上午7：00﹣8：00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，下列说法：①15分钟后，甲仓库内快件数量为180件；②乙仓库每分钟派送快件数量为4件；③8：00时，甲仓库内快件数为600件；④7：20时，两仓库快递件数相同．其中正确的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由图象可知，对于甲仓库，当x＝15时，y＝130，可判断①错误；
对于乙仓库，当x＝15时，y＝180；当x＝60，y＝0，可知乙仓库45分钟派送180件，可求出乙仓库每分钟派送快件4件，可判断②正确；
由图象可知，当x＝0时，y＝40；当x＝15时，y＝130，用待定系数法求出甲仓库y与x的函数关系式为y＝6x+40，当时间为8：00，则x＝60，再求出当x＝60时的函数值y＝400，可判断③错误；
用待定系数法求出乙仓库y关于x的函数关系式为y＝﹣4x+240，时间为7：20，则x＝20，再求出当x＝20时相应的函数值都是160，可判断④正确．
【解答】解：由图象可知，对于甲仓库，当x＝15时，y＝130，
∴15分钟后，甲仓库内快件数量为130件，
故①错误；
对于乙仓库，当x＝15时，y＝180；当x＝60，y＝0，
∴180÷（60﹣15）＝4（件），
∴乙仓库每分钟派送快件数量为4件，
故②正确；
设甲仓库：y关于x的函数关系式为y＝kx+b，
由函数图象得当x＝0时，y＝40；当x＝15时，y＝130，
∴，
解得，
∴y＝6x+40，
8：00时，x＝60，
当x＝60时，y＝6×60+40＝400，
∴8：00时，甲仓库内快件数为400件，
故③错误；
设乙仓库：y关于x的函数关系式为y＝mx+n，
由函数图象得当x＝15时，y＝180；当x＝60，y＝0，
∴，
解得，
∴y＝﹣4x+240，
7：20时，x＝20，
对于函数y＝6x+40，当x＝20时，y＝6×20+40＝160，
对于函数y＝﹣4x+240，当x＝20时，y＝﹣4×20+240＝160，
∴7：20时，两仓库快递件数相同，
故④正确，
∴②正确、④正确，
故选：B．
11．（4分）如图，点A，B，C在同一直线上，且AB＝AC，点D，E分别是AB，BC的中点．分别以AB，DE，BC为边，在AC同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分）的面积分别记作S1，S2，S3，若S1＝，则S2+S3等于（　　）

A． B． C． D．
【分析】设BE＝x，根据正方形的性质、平行四边形的面积公式分别表示出S1，S2，S3，根据题意计算即可．
【解答】解：∵点D，E分别是AB，BC的中点，AB＝2BC，
∴设BE＝x，则EC＝x，AD＝BD＝2x，
∵四边形ABGF是正方形，
∴∠ABF＝45°，
∴△BDH是等腰直角三角形，
∴BD＝DH＝2x，
∴S1＝DH•AD＝，即2x•2x＝，
∴x2＝，
∵BD＝2x，BE＝x，
∴S2＝MH•BD＝（3x﹣2x）•2x＝2x2，
S3＝EN•BE＝x•x＝x2，
∴S2+S3＝2x2+x2＝3x2＝，
故选：B．
12．（4分）在平面直角坐标系中，直线l：y＝x﹣1与x轴交于点A1，如图所示，依次作正方形A1B1C1O，正方形A2B2C2C1，…，正方形AnBn∁nCn﹣1，使得点A1，A2，A3，…在直线l上，点C1，C2，C3，…在y轴正半轴上，则点B2022的坐标为（　　）

A．（22022，22022） B．（22021，22022﹣1）
C．（22022，22022﹣1） D．（22022，22022+1）
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质可得出点A1、B1的坐标，同理可得出A2、A3、A4、A5、…及B2、B3、B4、B5、…的坐标，根据点的坐标的变化可找出变化规律“Bn（2n﹣1，2n﹣1）（n为正整数）”，依此规律即可得出结论．
【解答】解：当y＝0时，有x﹣1＝0，
解得：x＝1，
∴点A1的坐标为（1，0）．
∵四边形A1B1C1O为正方形，
∴点B1的坐标为（1，1）．
同理，可得出：A2（2，1），A3（4，3），A4（8，7），A5（16，15），…，
∴B2（2，3），B3（4，7），B4（8，15），B5（16，31），…，
∴Bn（2n﹣1，2n﹣1）（n为正整数），
∴点B2022的坐标为（22021，22022﹣1）．
故选：B．
二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分，答题请用黑色墨水笔或签字笔直接答在答题卡相应的位置上）
13．（4分）已知y＝+x﹣2，则＝　 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件得到x的值，进而得到y的值，代入代数式求值即可．
【解答】解：∵x﹣1≥0，1﹣x≥0，
∴x＝1，
∴y＝﹣1，
∴原式＝＝＝3．
故答案为：3．
14．（4分）如图，在数轴上，点A、B表示的数分别为0、2，BC⊥AB于点B，且BC＝1，连接AC，在AC上截取CD＝BC，以A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点E，则点E表示的实数是　 　．

【分析】根据垂直的定义得到∠ABC＝90°，根据勾股定理得到AC＝＝，求得AD＝AC﹣CD＝﹣1，根据圆的性质得到AE＝AD，即可得到结论．
【解答】解：∵BC⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
∵AB＝2，BC＝1，
∴AC＝＝，
∵CD＝BC，
∴AD＝AC﹣CD＝﹣1，
∵AE＝AD，
∴AE＝﹣1，
∴点E表示的实数是﹣1．
故答案为：﹣1．
15．（4分）如图，直线y＝kx+b经过点A（m，﹣2）和点B（﹣2，0），直线y＝2x过点A，则不等式2x＞kx+b的解集为　 　．

【分析】直线y＝2x在直线y＝kx+b的上方对应的x的取值范围即为所求．
【解答】解：观察图象可知，当x＞﹣1时，直线y＝2x落在直线y＝kx+b的上方，
所以不等式2x＞kx+b的解集为x＞﹣1．
故答案为x＞﹣1．
16．（4分）如图，PA＝2，PB＝4，以AB为边作正方形ABCD，使得P、D两点落在直线AB的两侧，当∠APB变化时，则PD的最大值为　 ．

【分析】过点A作AQ⊥AP，使AQ＝AP＝2，连接BQ，先证明△QAB≌△PAD，得到BQ＝PD，得到当Q、P、B在同一直线时，BQ最大，最大值为PQ+PB，根据勾股定理求出PQ，即可求出PD最大值．
【解答】解：过点A作AQ⊥AP，使AQ＝AP＝2，连接BQ，

∴∠QAP＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠QAP＝∠BAD，
∴∠QAP+∠PAB＝∠BAD+∠PAB，
即∠QAB＝∠PAD，
∴△QAB≌△PAD（SAS），
∴BQ＝PD，
∴PD最大值即为BQ最大值，
∵BQ≤PQ+PB，
∴当Q、P、B在同一直线时，BQ最大，最大值为PQ+PB，
在Rt△AQP中，
PQ＝＝2，
∴PQ+PB最大值为2+4，
∴PD最大值为2+4，
故答案为：2+4．
三、解答题（本题共8个小题，共86分，答题请用黑色墨水笔或签字笔直接答在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的文字说明、证明步骤或演算步骤.）
17．（8分）（1）计算：4÷﹣+5﹣×；
（2）先化简，再求值：（a﹣）（a+）﹣a（a﹣8）其中a＝+．
【分析】（1）根据二次根式的乘除法和加减法可以解答本题；
（2）根据平方差公式和单项式乘多项式可以解答本题．
【解答】解：（1）4÷﹣+5﹣×
＝4﹣2+﹣
＝4﹣2+﹣4
＝﹣；
（2）（a﹣）（a+）﹣a（a﹣8）
＝a2﹣2﹣a2+8a
＝8a﹣2，
当a＝+时，原式＝8×（+）﹣2＝8．
18．（8分）已知a、b均为正数，且、、是一个三角形的三条边的长，求这个三角形的面积．
【分析】构造矩形ABCD，E、F分别为AD、AB的中点，设AD＝2b，AB＝2a，将所求三角形面积转化为S△CEF＝S矩形ABCD﹣S△AEF﹣S△BCF﹣S△CDE即可求解．
【解答】解：如图：
在矩形ABCD中，E、F分别为AD、AB的中点，
设AD＝2b，AB＝2a，
∴EF＝，CE＝，CF＝，
∴S△CEF＝S矩形ABCD﹣S△AEF﹣S△BCF﹣S△CDE＝（2a）•（2b）﹣ab﹣×2ba﹣×2ba＝ab．


19．（10分）如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD＝75°，
（1）请用尺规作图法，在AD上找点F；使AF＝BF（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数．
【分析】（1）分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可；
（2）根据∠DBF＝∠ABD﹣∠ABF计算即可．
【解答】解：（1）如图所示，点F即为所求；

（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴，DC∥AB，∠A＝∠C．
∴∠ABC＝150°，∠ABC+∠C＝180°，
∴∠C＝∠A＝30°，
∵EF垂直平分线段AB，
∴AF＝FB，
∴∠A＝∠FBA＝30°，
∴∠DBF＝∠ABD﹣∠FBE＝45°．
20．（10分）我市某中学有一块四边形的空地ABCD（如图所示），为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，DA＝4m，CD＝13m，BC＝12m．
（1）求出空地ABCD的面积．
（2）若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？
【分析】（1）直接利用勾股定理以及勾股定理的逆定理得出∠DBC＝90°，进而得出答案；
（2）利用（1）中所求得出所需费用．
【解答】解：（1）连接BD，
在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝32+42＝52，
在△CBD中，CD2＝132，BC2＝122，
而122+52＝132，即BC2+BD2＝CD2，
所以∠DBC＝90°，
则S四边形ABCD＝S△ABD+S△DBC＝3×4÷2+5×12÷2＝36m2；
（2）所需费用为36×200＝7200（元）．

21．（12分）在某学校组织的诗词比赛活动中，每个年级参加比赛的人数相同，成绩分为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的赋分依次为100分，90分，80分，70分．该校发展处的陈主任将七年级和八年级的成绩整理并绘制成如下的统计图：

请你根据以上提供的信息解答下列问题：
（1）此次竞赛中八年级成绩在80分及其以上的人数是　 　人；
（2）求出下表中a，b，c的值；

平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
方差
七年级
87.6
b
100
138.24
八年级
a
90
c
106.24
（3）学校准备在这两个年级中选一个年级参加市级诗词比赛，你建议学校选哪个年级参加最好？说说你的理由．
【分析】（1）根据题意和扇形统计图中的数据，表格中的数据，可以计算出此次竞赛中二班成绩在80分及其以上的人数；
（2）根据题意和表格中的数据，可以计算出a、b、c的值；
（3）根据表格中的数据，可以得到选择哪一个班参加，本题答案不唯一，只要合理即可．
【解答】解：（1）此次竞赛中八年级成绩在80分及其以上的人数是：（11+1+9+4）×（1﹣20%）＝20（人），
故答案为：20；
（2）由七年级比赛成绩统计图可知，一共有25个数据，按从大到小的顺序排列后，第13个数据是80，所以中位数b＝80，
每个年级参加比赛的人数相同，八年级参加的人数是：11+1+9+4＝25，
a＝100×24%+90×48%+80×8%+70×20%＝87.6，
c＝90，
即a＝87.6，b＝80，c＝90；
（3）选择八年级参加，
理由：由表格可知，两个班的平均数相同，八年级的中位数高于七年级，并且八年级的方差小于七年级，学生成绩发挥比较稳定，故选择八年级．
22．（12分）某游泳馆推出了两种收费方式．
方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30元．
方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元．
设小亮在一年内来此游泳馆的次数为x次，选择方式一的总费用为y1（元），选择方式二的总费用为y2（元）．
（1）请分别写出y1，y2与x之间的函数表达式．
（2）若小亮一年内来此游泳馆的次数为15次，选择哪种方式比较划算？
（3）若小亮计划拿出1400元用于在此游泳馆游泳，采用哪种付费方式更划算？
【分析】（1）根据题意可以写出y1，y2与x之间的函数表达式；
（2）将x＝15代入（1）中函数关系式，求出相应的函数值，然后比较大小即可解答本题；
（3）将y＝1400代入（1）中的函数关系式，求出相应的x的值，即可得到小亮计划拿出1400元用于在此游泳馆游泳，采用哪种付费方式更划算．
【解答】解：（1）当游泳次数为x时，
方式一费用为：y1＝30x+200，
方式二的费用为：y2＝40x；
（2）若小亮来此游泳馆的次数为15次，
方式一的费用为：30×15+200＝650（元），
方式二的费用为：40×15＝600（元），
∵650＞650，
∴若小亮一年内来此游泳馆的次数为15次，选择方式比二较划算；
（3）当y1＝1400时，即1400＝30x+200，得x＝40，
当y2＝1400时，即1400＝4x，得x＝35，
故采用方式一更划算．
23．（12分）如图，一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点B、A，以AB为边在第一象限内作等腰直角△ABC，且∠ABC＝90°，过C作CD⊥x轴于点D，OB的垂直平分线l交AB于点E，交x轴于点G，连接CE．
（1）求点C的坐标；
（2）判定四边形EGDC的形状，并说明理由；
（3）点M在直线l上，使得S△ABM＝S△ABC，求点M的坐标．

【分析】（1）证明△AOB≌△BDC（AAS）即可解决问题．
（2）证明EG＝CD．EG∥CD，推出四边形EGDC是平行四边形，再证明∠EGD＝90°即可解决问题．
（3）设M（1，m），构建方程即可解决问题．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴，y轴分别交于点B、A．
∴A（0，4），B（2，0），
∴OA＝4，OB＝2，
∵CD⊥BD，
∴∠CDB＝∠AOB＝∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBD＝90°，∠CBD+∠BCD＝90°，
∴∠ABO＝∠BCD，
∵AB＝BC，
∴△AOB≌△BDC（AAS），
∴BD＝OA＝4，CD＝OB＝2，
∴OD＝6，
∴C（6，2）．
（2）结论：四边形EGDC是矩形．
理由：∵EG垂直平分线段OB，
∴OG＝GB，
∵EG∥OA，
∴AE＝EB，
∴EG＝OA＝2，
∵CD⊥OB，
∴CD∥EG．CD＝EG，
∴四边形EGDC是平行四边形，
∵∠EGD＝90°，
∴四边形EGDC是矩形．
（3）设M（1，m），
∵S△ABM＝S△ABC，
∴×|m﹣2|•2＝××2×2，
解得m＝7或﹣3，
∴M（1，7）或（1，﹣3）．
24．（14分）正方形ABCD中，M为射线CD上一点（不与D重合），以CM为边，在正方形ABCD的异侧作正方形CFGM，连接BM，DF，直线BM与DF交于点E．
（1）如图1，若M在CD的延长线上，求证：DF＝BM，DF⊥BM；
（2）如图2，若M移到边CD上．
①在（1）中结论是否仍成立？（直接回答不需证明）
②连接BD，若BD＝BF，且正方形CFGM的边长为1，试求正方形ABCD的周长．

【分析】（1）由正方形的性质得出条件，证明△BCM≌△DCF（SAS），由全等三角形的性质及角的互余关系可得结论；
（2）①结论仍成立；②设正方形ABCD的边长为x，则BC＝CD＝x，由勾股定理求得BD的长，再用含x的式子表示出BF，然后根据BD＝BF得出关于x的方程，解得x的值，再乘以4即可．
【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD与四边形CFGM都是正方形，
∴∠BCM＝∠FCD＝90°，BC＝CD，CM＝CF．
在△BCM和△DCF中，
，
∴△BCM≌△DCF（SAS）．
∴DF＝BM，∠CFD＝∠CMB．
∵∠BMC+∠CBM＝90°，
∴∠CBM+∠CFD＝90°，
∴∠BEF＝90°，
∴DF⊥BM；
（2）①成立．
∵四边形ABCD与四边形CFGM都是正方形，
∴∠BCM＝∠FCD＝90°，BC＝CD，CM＝CF．
在△BCM和△DCF中，
，
∴△BCM≌△DCF（SAS）．
∴DF＝BM，∠CFD＝∠CMB．
∵∠BMC+∠CBM＝90°，
∴∠CBM+∠CFD＝90°，
∴∠BEF＝90°，
∴DF⊥BM；
②设正方形ABCD的边长为x，则BC＝CD＝x，
∴BD＝＝x，
∵正方形CFGM的边长为1，
∴BF＝BC+CF＝x+1．
∵BD＝BF，
∴x＝x+1，
∴x＝+1．
∴4x＝4+4．
∴正方形ABCD的周长为4+4．