2021-2022学年山西省朔州市怀仁市八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年山西省朔州市怀仁市八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是

A.  B.  C.  D.

2. 下列各组数，可以作为直角三角形的三边长的是

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3. 如果有意义，那么的取值范围是

A.  B.  C.  D.

4. 不能判定四边形为平行四边形的条件是

A. ， B. ，
C. ， D. ，

5. 已，化简二次根式的正确结果是

A.  B.  C.  D.

6. 在▱中，的平分线分成和两条线段，则▱的周长为

A.  B.  C. 或 D. 或

7. 下列计算正确的是

A.  B.
C.  D.

8. 在菱形中，如果，那么的度数是

A.  B.  C.  D.

9. 如果，，那么下面各式：；；，其中正确的是

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在中，，，下列四个判断不正确的是

A. 四边形是平行四边形
B. 如果，那么四边形是矩形
C. 如果平分，那么四边形是矩形
D. 如果，且，那么四边形是菱形
 

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 小红说：“因为，所以不是二次根式．”你认为小红的说法对吗？______ 填对或错．
12. 在中，斜边，则______．
13. 若最简二次根式与能合并为一个二次根式，则 ______ ．
14. 九章算术中记载：“今有竹高一丈，未折抵地，去根三尺，问折者高几何？”译文：有一根竹子原高一丈丈尺，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根尺，试问折断处离地面多高？我们用线段和线段来表示竹子，其中线段表示竹子折断部分，用线段表示竹梢触地处离竹根的距离，则竹子折断处离地面的高度是______尺．
15. 如图，直线经过正方形的顶点，分别过点、作于点，于点，若，，则的长为______．
    
     

16. 如图所示，菱形中，对角线，相交于点，为边中点，菱形的周长为，则的长等于______．
     

三、计算题（本大题共1小题，共8分）

17. 计算：
    
    ．

四、解答题（本大题共6小题，共64分）

18. 已知，，满足，求：
    ，，的值．
    试问以，，为边能否构成直角三角形？
19. 嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图的四边形，并写出了如下不完整的已知和求证．
    已知：如图，在四边形中，，______
    求证：四边形是______四边形．
    填空，补全已知和求证；
    按嘉淇的想法写出证明；
    用文字叙述所证命题的逆命题为______．

20. 已知：如图，四边形四条边上的中点分别为、、、，顺次连接、、、，得到四边形即四边形的中点四边形．
    
    四边形的形状是______，证明你的结论．
    当四边形的对角线满足______条件时，四边形是矩形．
    你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是菱形？______．
21. 如图，矩形纸片的边长，同学小明现将该矩形纸片沿折痕，使点与点重合，折痕后在其一面着色如图，观察图形对比前后变化，回答下列问题：
    ______ ：直接填写、、
    判断的形状，并说明理由；
    小明通过此操作有以下两个结论：
    四边形的面积为
    整个着色部分的面积为
    运用所学知识，请论证小明的结论是否正确．

22. 阅读下列材料，然后解答问题：
    在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如：，，一样的式子．其实我们还可以将其进一步化简：
    ：一：二
    ：三
    以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
    还可以用以下方法化简：
    四
    请解答下列问题：
    请用不同的方法化简．
    参照三式得 ______ ；
    参照四式得 ______ ；
    化简：；保留过程
    猜想：的值．直接写出结论
23. 某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：
    操作发现：
    已知，，如图，分别以和为边向外侧作等边和等边，连接、，请你完成作图，并猜想与的数量关系是______要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹
    类比探究：
    如图，分别以和为边向外侧作正方形和正方形，连接、，则线段、有什么关系？说明理由．
    灵活运用：
    如图，已知中，，，，过点作，垂足为，且满足，求的长．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

【分析】
此题考查最简二次根式问题，在判断最简二次根式的过程中要注意：
在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；
在二次根式的被开方数中的每一个因式 或因数 ，如果幂的指数等于或大于 ，也不是最简二次根式．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【解答】
解： 、 是最简根式，正确；
B 、 被开方数中有小数，错误；
C 、 被开方数中含有分母，错误；
D 、 二次根式的被开方数中含有没开的尽方的数，错误；
故选： ．   

2.【答案】

【解析】解：、，，
，
，，不能作为直角三角形的三边长；
B、，，
，
，，可以作为直角三角形的三边长；
C、，，
，
，，不能作为直角三角形的三边长；
D、，，
，
，，不能作为直角三角形的三边长．
故选B．
根据勾股定理的逆定理，验证四个选项中数据是否满足“较小两边平方的和等于最大边的平方”，由此即可得出结论．
本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是根据勾股定理的逆定理验证四个选项．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，套入数据验证“较小两边平方的和是否等于最大边的平方”是关键．
 

3.【答案】

【解析】解：由题意得：，
解得：．
故选：．
直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
 

4.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查平行四边形的判定，需注意一组对边相等，另一组对边相互平行的四边形不一定是平行四边形，等腰梯形也满足该条件．根据平行四边形的判定定理进行判断．
【解答】
解： “ ， ”是四边形 的一组对边平行，另一组对边相等，该四边形可以是等腰梯形，不可以判定四边形 是平行四边形．故本选项符合题意；
B. 根据“ ， ”可以判定 ，由“两组对边相互平行的四边形为平行四边形”可以判定四边形 为平行四边形．故本选项不符合题意；
C. “ ， ”是四边形 的一组对边平行且相等，可以判定四边形 是平行四边形．故本选项不符合题意；
D. “ ， ”是四边形 的两组对角相等，可以判定四边形 是平行四边形；故本选项不合题意；
故选 A ．   

5.【答案】

【解析】

【解答】
解：原式


，
原式 ．
故选 A ．
【分析】
原式变形为式 ，然后利用二次根式的乘法公式得到原式 ，最后利用二次根式的性质即可得到结论．
本题考查了二次根式的性质与化简： ， ．   

6.【答案】

【解析】解：设的平分线交于点，
，
，
又，

而．
当时，，▱的周长；
当时，，▱的周长．
所以▱的周长为或．
故选D．
的平分线分成和的两条线段，设的平分线交于点，有两种可能，或，证明是等腰三角形，分别求周长．
主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题，平行四边形基本性质：
平行四边形两组对边分别平行；
平行四边形的两组对边分别相等；
平行四边形的两组对角分别相等；
平行四边形的对角线互相平分
 

7.【答案】

【解析】解：、，故本选项错误；
B、，故本选项错误；
C、，故本选项错误；
D、，故本选项正确．
故选D．
根先化简二次根式，再计算．，．
本题考查了二次根式的混合运算，在进行此类运算时，一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算．
 

8.【答案】

【解析】解：四边形是菱形，
，
，
．
故选C．
根据菱形的对角相等即可求解．
本题考查了菱形的性质，掌握菱形的对角相等是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：，，
，，
，正确；，错误；，正确，
故选：．
根据题意得出，的值，进而利用二次根式的性质化简求出即可．
此题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．
 

10.【答案】

【解析】解：由，，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形；
又有，根据有一角是直角的平行四边形是矩形，可得四边形是矩形．故A、B正确；
如果平分，那么，又有，可得，
，
，那么根据邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形是菱形，而不一定是矩形．故C错误；
如果且，那么平分，同上可得四边形是菱形．故D正确．
故选C．
本题考查平行四边形、矩形及菱形的判定，具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定．
 

11.【答案】错

【解析】解：中被开放数且含有“”，
是二次根式．
小红的说法错误．
故答案为：错．
依据二次根式的定义解答即可．
本题主要考查的是二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：，，
．
故答案为：．
根据勾股定理即可求得该代数式的值．
本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
 

13.【答案】

【解析】解：由最简二次根式与能合并为一个二次根式，得
．
解得，
故答案为：．
根据最简二次根式能合并，可得同类二次根式，根据个最简同类二次根式的被开方数相同，可得关于的方程．
本题考查了同类二次根式，利用同类二次根式得出方程是解题关键．
 

14.【答案】

【解析】解：设折断处离地面的高度是尺，根据题意可得：
，
解得：，
答：折断处离地面的高度是尺．
故答案为：．
根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可．
此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．
 

15.【答案】

【解析】解：四边形是正方形，
，，
，，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
．
故答案为：．
只要证明≌得，，由此即可解决问题．
本题考查全等三角形的判定和性质、正方形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，学会利用等角的余角相等证明角相等，属于中考常考题型．
 

16.【答案】

【解析】解：菱形的周长等于，
，
在中，为斜边上的中线，
．
故答案为：．
根据已知可求得菱形的边长，再根据对角线互相垂直平分，为的中点，从而求得的长．
此题主要考查直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，还综合利用了菱形的性质．
 

17.【答案】解：原式

；
原式

．

【解析】根据二次根式的乘法法则运算；
先把化简和除法运算化为乘法运算，然后根据二次根式的乘法法则运算即可．
本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
 

18.【答案】解：，
，，，
，，；

，即，
以，，为边能构成直角三角形．

【解析】由非负数的性质可求，，的值；
利用勾股定理的逆定理即可判断以，，为边能否构成直角三角形．
本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了非负数的性质，正确求出，，的值是解题的关键．
 

19.【答案】解：；平行；
证明：连接，
在和中，
，
≌，
，，
，，
四边形是平行四边形；
平行四边形两组对边分别相等．

【解析】

【分析】
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
命题的题设为“两组对边分别相等的四边形”，结论是“是平行四边形”，根据题设可得已知：在四边形 中， ， ，求证：四边形 是平行四边形；
连接 ，利用 定理证明 ≌ 可得 ， ，进而可得 ， ，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形 是平行四边形；
把命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的题设和结论对换可得平行四边形两组对边分别相等．
【解答】
解： 已知：如图 ，在四边形 中， ， ，

求证：四边形 是平行四边形．
故答案为： ；平行；
见答案；
用文字叙述所证命题的逆命题为：平行四边形两组对边分别相等．
故答案为：平行四边形两组对边分别相等．   

20.【答案】平行四边形；证明如下：
如图，

连结．
、分别是、中点，
，，
同理，，
，，
四边形是平行四边形；
；
矩形．

【解析】

解： 四边形 的形状是平行四边形．
故答案为：平行四边形；
证明见答案．
当四边形 的对角线满足互相垂直的条件时，四边形 是矩形．理由如下：
如图 ，连结 、 ．

、 、 、 分别为四边形 四条边上的中点，
， ，
，
，
又 四边形 是平行四边形，
平行四边形 是矩形；
故答案为： ；
矩形的中点四边形是菱形．理由如下：
如图 ，连结 、 ．

、 、 、 分别为四边形 四条边上的中点，
， ， ， ，
四边形 是矩形，
， ，
四边形 是菱形．
【分析】
连接 ，根据三角形的中位线定理得到 ， ， ， ，推出， ， ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形 是平行四边形；
根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可知当四边形 的对角线满足 的条件时，四边形 是矩形；
根据三角形的中位线定理和矩形的性质得出 即可得出结论．
此题考查学生灵活运用三角形的中位线定理，平行四边形的判定及菱形的判定方法；熟记三角形中位线定理是解决问题的关键．   

21.【答案】
是等腰三角形．
矩形，，，由翻折的性质，，
，，
故为等腰三角形；
由翻折的性质，，，，；
设，则，，，解得，，；综上所述，小明的结论正确．

【解析】根据翻折的性质解答；
根据两直线平行，内错角相等可得，再根据翻折的性质可得，从而得到，根据等角对等边可得，从而得解；
根据翻折的性质可得，然后求出，再根据图形的面积公式列式计算即可得解；
设，表示出，然后在中，利用勾股定理列式求出，根据三角形的面积公式求出，然后计算即可得解．
本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，以及勾股定理的应用，熟记翻折前后的两个图形能够完全重合是解题的关键．
 

22.【答案】；
化简：
；
猜想：．

【解析】

解： 式得 ；
参照 四 式得 ；
见答案
见答案
【分析】
根据分母有理化，可得答案．
本题考查了分母有理化，利用平方差公式是解题关键．   

23.【答案】，作图如下：

结论：且．
理由：在正方形和正方形中，设交于，交于．

，，，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，．

以为腰向外作等腰直角三角形，连接．

在中，
，
，
，
，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
．

【解析】解：作图见答案，
猜想：．
理由：，，
，
在和中，
，
≌，
．
故答案为：．

见答案．

见答案．
如图所示，结论：只要证明≌即可；
结论：且在正方形和正方形中，设交于，交于只要证明≌即可解决问题；
以为腰向外作等腰直角三角形，连接首先求出，再证明≌，即可推出；
本题考查四边形综合题、等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加辅助线，构造全等三角形，属于中考压轴题．