2023湖南省五市十校教研教改共同体、三湘名校教育联盟、湖湘名校教育联合体高二上学期期中考试数学试题含答案

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2022年下学期高二期中考试

数学

命题：双峰一中数学备课组  审题：南县一中  郭劲松  永州一中数学备课组

本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2.已知圆C的圆心坐标为，且过坐标原点，则圆C的方程为（    ）

A. B.

C. D.

3.党的十八大报告指出，必须坚持在发展中保障和改善民生，不断实现人民对美好生活的向往，为响应中央号召，某社区决定在现有的休闲广场内修建一个半径为4m的圆形水池来规划喷泉景观.设计如下：在水池中心竖直安装一根高出水面为2m的喷水管（水管半径忽略不计），它喷出的水柱呈抛物线型，要求水柱在与水池中心水平距离为处达到最高，且水柱刚好落在池内，则水柱的最大高度为（    ）

A. B. C. D.

4.已知是等比数列的前n项和，，，成等差数列，则下列结论正确的是（    ）

A. B. C. D.

5.已知幂函数的图象是等轴双曲线C，且它的焦点在直线上，则下列曲线中，与曲线C的实轴长相等的双曲线是（    ）

A. B. C. D.

6.已知函数，下列说法正确的是（    ）

A.函数的最小正周期是 B.函数的最大值为

C.函数的图象关于点对称 D.函数在区间上单调递增

7.如图水平放置的边长为1的正方形沿x轴正向滚动，初始时顶点A在坐标原点，（沿x轴正向滚动指的是先以顶点B为中心顺时针旋转，再以顶点C为中心顺时针旋转，如此继续），设顶点的轨迹方程式，则（    ）

A.0 B.1 C. D.

8.已知三棱锥中，，，，若二面角的大小为120°，则三棱锥的外接球的表面积为（    ）

A. B. C. D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是（    ）

A.命题“，”的否定为“，”

B.在中，若“”，则“”

C.若，则的充要条件是

D.若直线与平行，则或2

10.已知各项均为正数的等差数列单调递增，且，则（    ）

A.公差d的取值范围是 B.

C.  D.的最小值为1

11.已知直线l与抛物线（）交于A，B两点，，，则下列说法正确的是（    ）

A.若点D的坐标为，则

B.直线过定点

C.D点的轨迹方程为（原点除外）

D.设与x轴交于点M，则的面积最大时，直线的斜率为1

12.在正方体中，，点M在正方体内部及表面上运动，下列说法正确的是（    ）

A.若M为棱的中点，则直线平面

B.若M在线段上运动，则的最小值为

C.当M与重合时，以M为球心，为半径的球与侧面的交线长为

D.若M在线段上运动，则M到直线的最短距离为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.某中学高一年级有600人，高二年级有480人，高三年级有420人，因新冠疫情防控的需要，现用分层抽样从中抽取一个容量为300人的样本进行核酸检测，则高三年级被抽取的人数为___________.

14.设双曲线C：（，）的左、右焦点分别为、，P是渐近线上一点，且满足，，则双曲线C的离心率为___________.

15.已知动点在运动过程中总满足关系式，记，，则面积的最大值为___________.

16.意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时发现了数列1，1，2，3，5，8，13，…，数列中的每一项被称为斐波那契数，用符号表示（），已知，，（）.

（1）若，则___________（2分）；

（2）若，则___________（3分）.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

17.（本小题满分10分）

已知双曲线C：（，）的左右焦点分别为，，点M在双曲线C的右支上，且，离心率.

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）若，求的面积.

18.（本小题满分12分）

10月9日晚，2022年世界乒乓球团体锦标赛在中国成都落幕.中国队女团与男团分别完成了五连冠与十连冠的霸业.乒乓球运动在我国一直有着光荣历史，始终领先世界水平，被国人称为“国球”，在某次团体选拔赛中，甲乙两队进行比赛，采取五局三胜制（即先胜三局的团队获得比赛的胜利），假设在一局比赛中，甲队获胜的概率为0.6，乙队获胜的概率为0.4，各局比赛结果相对独立.

（1）求这场选拔赛三局结束的概率；

（2）若第一局比赛乙队获胜，求比赛进入第五局的概率.

19.（本小题满分12分）

已知锐角三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且.

（1）求角B的大小；

（2）若，求面积的取值范围.

20.（本小题满分12分）

已知数列满足，且，数列是各项均为正数的等比数列，为的前n项和，满足，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，记数列的前n项和为，求的取值范围.

21.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，，，，平面平面，E为中点.

（1）求证：面；

（2）求证：面；

（3）点Q在棱上，设（），若二面角的余弦值为，求.

22.（本小题满分12分）

已知椭圆C：（）过点，A为左顶点，且直线的斜率为.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设在椭圆内部，在椭圆外部，过Ｍ作斜率不为0的直线交椭圆C于P，Q两点，若，求证：为定值，并求出这个定值.

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2022年下学期高二期中考试

数学

参考答案、提示及评分细则

一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.【答案】C

【解析】∵，∴.

2.【答案】B

【解析】圆心，半径，

故圆C方程为.

3.【答案】C

【解析】取一截面建系如图，设抛物线方程为（），记最大高度为h，如图：，在抛物线上，故，

两式相除有，解得.

4.【答案】AB

【解析】若公比有，，，此时，故公比，由题意，化简有，故有或，选答案AB.

5.【答案】B

【解析】由双曲线几何性质知，双曲线的焦点在实轴上，实轴与双曲线的交点，是双曲线的顶点，故双曲线C的实轴长，选答案B.

6.【答案】D

【解析】由知A，B错误.由，所以C错误.当时，，所以D正确.

7.【答案】D

【解析】A点运动轨迹最终构成图象如图：

由图可知.故，

在B→D段时，A点的轨迹方程为（），∴.

8.【答案】C

【解析】由题意，取中点，中点，连接，则，分别是与的外心，且，分别过，作面，面，记，则O为外接球球心，在中，，∴，故，选C.

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，在每小题给出的选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）

9.【答案】BC

【解析】对A：否定为：，，所以A错误；

对D，当时，两直线重合，所以D错误.

10.【答案】AB

【解析】由题意得，，∴，故A正确；

由，故B正确；

由，知故C错误；

由有，

当且仅当时取到等号，但，故不能取“=”，所以D错.

11.【答案】ABC

【解析】，由知方程为，联立，

消去x有，记，，

则，由，∴，故A正确；

对选项BCD，可设：，代入有，

则，由，

故直线为，过定点，即，故B正确；

由，得D在以为直径的圆：上运动（原点除外），故C正确；

当时，面积最大，此时，有，故D错误.

12.【答案】ACD

【解析】易知A，D正确；

对选项B：展开与到同一平面上如图.

知，故B错误；

对选项C：M与重合时，在侧面上的射影为，故交线是以为圆心的一段圆弧（个圆），且圆半径，故圆弧长，所以C正确.

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.【答案】84

【解析】由分层抽样易得.

14.【答案】

【解析】不妨设P在第一象限，则，

依题意：，

∴离线率.

15.【答案】18

【解析】易得M在椭圆上运动，且B在椭圆上，A为左顶点，由方程：，

设直线l：与椭圆相切于点M.

联立，消去x得，

由，依题意，时，面积最大，

此时直线l与距离为，又，

∴.

16.【答案】（1）11（2分）  （2）（3分）

【解析】（1），∴；

（2）.

四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.【答案】（1）  （2）

【解析】（1）由题意，································································1分

∴，···············································································2分

又，···············································································3分

∴，···············································································4分

故双曲线C的方程为；··································································5分

（2），，

则由双曲线定义可得  ①，

由三角形余弦定理得  ②，······························································7分

有，···············································································9分

∴的面积.··········································································10分

18.【答案】（1）0.28  （2）0.432

【解析】设“第i局甲胜”为事件，“第j局乙胜”为事件（i，，2，3，4，5），

（1）记“三局结束比赛”，则，·························································2分

∴

；·················································································6分

（2）记“决胜局进入第五局比赛”，则，··················································8分

∴

.·················································································12分

19.【答案】（1）  （2）

【解析】（1）由，···································································2分

由正弦定理得，······································································4分

又，∴，···········································································6分

（2）解法一：在锐角中，由（1）知，，有，令，则，，

由正弦定理得，的面积  ································································8分

，················································································10分

由得，，则，

于是得，

所以面积的取值范围是.································································12分

解法二：由（1）可知，，故，

又因为，

所以，·············································································8分

又因为，，

所以，

故，

即有，则，·········································································10分

又由，

即，

所以面积的取值范围是.································································12分

20【答案】（1）  （2）

【解析】（1）由，···································································1分

∴（常数），········································································2分

故数列是以为公差的等差数列，

且首项为，··········································································3分

∴，···············································································4分

故；···············································································5分

（2）设公比为q（），由题意：，

∴，

解得或（舍），

∴，

∴，···············································································7分

∴，

有，

两式相减得

，·················································································9分

∴，··············································································10分

由，知在上单调递增，································································11分

∴.···············································································12分

21.【答案】（1）略  （2）略  （3）

【解析】（1）证明：取中点F，连接，，

则，又，

∴，

∴四边形是平行四边形，

∴，

又面，面，

∴面；·············································································4分

（2）证明：由题意：，，

∴，同理，

又，∴，

∴，···············································································6分

又面面，

∴面，

∴.又且，

∴面；·············································································8分

（3）以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

∴，，，

由，有，··········································································10分

令是面的法向量，

则，

令，有，··········································································11分

取面的法向量，

由.···············································································12分

22.【答案】（1）  （2）为定值4，证明略

【解析】（1）由题意：，

∴，

故椭圆C的标准方程为；································································4分

（2）设：，

联立消去x，

有，

记，，

则且，，···········································································7分

若，则·············································································9分

（），

∴（定值），

综上：为定值4.····································································...12分