2021-2022学年河南省南阳六校高二下学期期中数学（文）试题（解析版）

2021-2022学年河南省南阳六校高二下学期期中数学（文）试题

一、单选题

1．（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】依据复数除法和复数乘方去化简即可解决.

【详解】

故选：A

2．已知变量x和y的回归直线方程为，变量y与z负相关．下列结论中正确的是（       ）

A．x与y正相关，x与z正相关 B．x与y正相关，x与z负相关

C．x与y负相关，x与z负相关 D．x与y负相关，x与z正相关

【答案】B

【分析】根据变量x和y的回归直线方程判断.

【详解】解：因为变量x和y的回归直线方程为，且，

所以变量x与y正相关，

又变量y与z负相关，

所以x与z负相关，

故选：B

3．有一段演绎推理：所有的质数是奇数，是质数，所以是奇数.这段推理（       ）

A．大前提错误 B．小前提错误

C．推理形式错误 D．是正确的

【答案】A

【分析】由是质数，但不是奇数可知大前提错误.

【详解】大前提为所有的质数是奇数，但是质数，但不是奇数，大前提错误.

故选：A.

4．下面的结构图中1，2，3三个方框中依次应填入的内容是（       ）

A．复数、整数、小数 B．复数、无理数、整数

C．复数、无理数、自然数 D．复数、小数、整数

【答案】B

【分析】由复数、实数、有理数的分类分析即得解

【详解】由复数的分类可得：1处填入复数

由实数的分类可得：2处填入无理数

由有理数的分类可得：3处填入整数

故选：B

5．观察下面的数表：

1     2

1     2     3

1     2     3     4

1     2     3     4     5

……

若第n行的各数之和为231，则（       ）

A．15 B．18 C．20 D．21

【答案】C

【分析】观察数表的规律，利用等差数列的前 项和公式求解即可

【详解】设第 行的各数之和为 ，

则 ;

；

；

，

令 ，即 ，

解得 或 （舍）

故选：C

6．若复数z满足，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】应用复数的除法求得，进而确定其共轭复数的点坐标，即可得答案.

【详解】由题设，，故，

所以对应点为在第四象限.

故选：D

7．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点，且法向量为的直线（点法式）方程为，化简得．类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面的方程为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】类比平面中求动点轨迹方程的方法，在空间任取一点P（x，y，z），则（x﹣1，y+1，z+2），利用平面法向量为，即可求得结论．

【详解】类比平面中求动点轨迹方程的方法，在空间任取一点P（x，y，z），则（x﹣1，y+1，z+2）

∵平面法向量为

所求的平面方程为，

化简得．

故选：D

8．下列推理正确的是（       ）

A．如果不买体育彩票，那么就不能中大奖，因为你买了体育彩票，所以你一定能中大奖

B．若命题“．使得”为假命题，则实数m的取值范围是

C．在等差数列中，若，公差．则有，类比上述性质，在等比数列中，若．公比，则

D．如果均为正实数，则

【答案】C

【分析】利用否命题判断选项A的正误；求出，所以B错误；可以利用类比推理证明选项C的正确性；，不一定为正数，所以不一定成立，所以D错误．

【详解】解：即使买了体育彩票，也不一定能中大奖，所以A错误；

因命题“，使得”为假命题，故其否定“，恒成立”为真命题，因为二次函数的图象开口向上，所以，所以，所以B错误；

在等差数列中，若，公差，当时有

所以在等比数列中，若，公比，由于，所以应有证明 如下，，所以，故C正确；

当，均为正实数时，，不一定为正数，所以不一定成立，所以D错误．

故选: C.

9．是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）．为了探究车流量与的浓度是否有关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与的浓度的数据如下表．由最小二乘法求得回归直线方程．表中一个数据模糊不清，请你推断出该数据为

A．78 B．79 C．80 D．81

【答案】C

【分析】设表中模糊不清的数据为，然后求出，代入回归方程中求得结果

【详解】解： 设表中模糊不清的数据为，由表中数据得：，，因为由最小二乘法求得回归方程为，将，代入回归直线方程，得．

故选：C

10．已知数列中．，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由递推关系式可推导得到，可知数列周期为，则.

【详解】，，，则，

，

数列是周期为的周期数列，.

故选：B.

11．有下列四个命题：（       ）

①在回归分析中，残差的平方和越小，模型的拟合效果越好；

②在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适；

③若数据，，…，的平均数为1，则，，…的平均数为2；

④对分类变量与的随机变量的观测值来说，越小，判断“与有关系”的把握越大．

其中真命题的个数为（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】根据残差的意义，可判定①②真命题；根据数据的平均的计算公式，可得③真命题；根据独立性检验中观测值的意义，可判定④为假命题.

【详解】根据残差的意义知，残差的平方和越小，模型的拟合效果越好，所以①为真命题；

由残差的意义知，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适，

所以②真命题；

若数据，，…，的平均数为1，则，，…的平均数为也扩大为原来的2倍，即平均数为2，所以③是真命题；

对分类变量与的随机变量的观测值来说，应该是越大，判断“与有关系”的把握越大，所以④是假命题．

故选C．

12．“”是“，”的(       )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据，求出a的范围：令，利用导数求f(x)的最小值.

【详解】若，，则，

令，

，

令，

，

在单调递增，

∵，，，

当时，，，单调递减；

当时，，，单调递增；

∴，，

∵(]，∴“”是“，”的必要不充分条件.

故选：B.

【点睛】本题关键是利用导数研究的单调性，求其最小值，利用充分条件和必要条件的概念即可解答.

二、填空题

13．数列的前5项分别为，，，，，归纳猜想数列的通项公式可以为______.

【答案】

【分析】化简数列为，，，，，结合分子、分母分别进行归纳，即可求解.

【详解】由题意，数列，，，，，可化为，，，，，

则数列的分母构成的数列为：，其通项公式为，

数列的分子构成的数列为：，其通项公式为，

所以数列的通项公式可以为.

故答案为：

14．阅读下面的程序框图，运行相应的算法，输出的结果为______.

【答案】0.99

【分析】根据程序框图的功能，逐一循环，直至不满足，则终止循环，输出S.

【详解】由程序框图的功能知：

第一次循环后，

第二次循环后，

第三次循环后，

依次类推

第99次循环后，

不满足，则终止循环，输出，

故答案为：

15．甲、乙、丙三位同学是否去过，，三个城市时，甲说：我去过的城市比乙、丙多，但没去过城市；乙说：我去过某一个城市，但没去过城市；丙说：我去过的城市甲和乙都没去过．由此可以判断乙去过的城市为__________．

【答案】A

【分析】逐个分析甲、乙、丙三位同学所说的话，进而可得结论

【详解】解：甲去过的城市比乙、丙多，且甲没去过城市，

甲去过城市，城市，丙去过城市，乙没去过城市，则乙可能去过或城市，再根据丙的说法可知乙去过城市．

故答案为：A

三、双空题

16．某学生对其30名亲属的饮食习惯进行了一次调查，依据统计所得数据可得到如下的列联表：

根据以上列联表中的数据，可得的观测值__________，__________（填“有”或“没有”）的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关．

参考公式：，其中．

参考数据：

【答案】     10     有

【分析】根据列联表，求得的值，利用公式，求得的值，结合附表，即可得到结论.

【详解】由列联表可得，，，，

可得，

所以有的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关．

故答案为：；有.

四、解答题

17．某农科所针对当地家禽之间传播的禽流感研制了一种新型疫苗，科研人员利用100只鸡检验新疫苗的效果，将所得数据制成列联表，如下表所示：

(1)分别求注射了新疫苗和未注射新疫苗的情况下，鸡感染禽流感的概率；

(2)是否有99%的把握认为新疫苗对预防鸡感染禽流感有效？

附：，其中.

【答案】(1)0.64

(2)有99%的把握认为新疫苗对预防鸡感染禽流感有效

【分析】（1）根据列联表，利用古典概型的概率求解；

（2）根据列联表，求得的值，再与临界值表对照下结论.

【详解】(1)解：注射了新疫苗的情况下，鸡感染禽流感的概率为，

未注射新疫苗的情况下，鸡感染禽流感的概率为；

(2)由列联表得：，

因为，

故有99%的把握认为新疫苗对预防鸡感染禽流感有效

18．已知复数，且是纯虚数．

（1）求复数及；

（2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围．

【答案】（1），；（2）.

【分析】（1）计算出，根据纯虚数概念和模长公式即可得解；

（2）计算出，实部为正，虚部为负解不等式组.

【详解】（1），

由题意得，所以，

．

（2），

对应的点在第四象限，

所以

解得，所以的取值范围是．

19．下面是由大小相同的小正三角形按一定规律所拼成的几个图案，其中第1个图有1个小正三角形，第2个图有4个小正三角形，第3个图有9个小正三角形，按此规律，用表示第个图的小正三角形个数.

（1）试写出，的值；

（2）猜想出的表达式(不要求证明)；

（3）证明：当时，.

【答案】（1），；（2）；（3）证明见解析.

【分析】（1）直接写出，的值；

（2）根据规律猜想；

（3）当时，，再利用裂项相消化简即可证明.

【详解】本题考查归纳推理，综合法证明不等式.

（1），，

所以，.

（2）因为，

，

，

，

，

所以猜想.

（3）当时，，

所以

.

20．某医院统计了本月10~13号这4天某传染性疾病患者每天康复出院的人数情况，统计所得数据如下表：

(1)由表中数据可知，y与x线性相关，求y关于x的回归直线方程;

(2)预测大约从几号开始，每天康复出院人数超过50.

附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.

【答案】(1)

(2)21号

【解析】(1)

∵，

，，

∴，

，

∴y关于x的回归直线方程为

(2)由，得，

故大约从21号开始，每天康复出院人数超过50.

21．如图所示，正方体的棱长为3，是棱上的一个动点，为的中点．

（1）求证：平面平面；

（2）若，求证：平面．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）由，得平面，由面面垂直的判定定理可得答案；

（2）设与的交点为，过点作交于点，由线面平行的判定定理可得平面、平面，再由面面平行的判定定理可得平面平面，由面面平行的性质定理可得答案.

【详解】（1）因为底面是正方形，所以，

因为平面，平面，所以，

因为，平面，平面，

所以平面，

因为平面，所以平面平面．

（2）如图，设与的交点为，过点作交于点，

连接，，

因为，平面，平面，

所以平面，

因为为的中点，所以为的中点，

因为，，所以为的中点，

又易知是的中点，所以，

因为平面，平面，所以平面，

又，、平面，

所以平面平面，

又平面，所以平面．

22．已知函数，.

(1)若，求曲线在处的切线方程；

(2)当时，证明.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）当时，将求导，代入求出斜率，将代入求出切点坐标，利用点斜式方程写出切线方程；

（2）要证，只需证，因此对求导，通过单调性得出在处取得最大值，再去构造新函数，证明其最大值小于等于0即可.

【详解】(1)若，则，

则，

因为，，

所以曲线在处的切线方程为，

即.

(2)当时，，.

则当时，；

当时，

所以在上单调递增，在上单调递减.

故在处取得最大值，最大值为.

所以等价于，

即.

设，则.

当时，；当时，.

所以在上单调递增，在上单调递减.

故当时，取得最大值，最大值为.

所以.

从而当时，，即