重庆市主城区六校2020-2021学年高一下学期期末联考数学试题及解析

2020-2021学年（下）期末考试

高2023级数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设（是虚数单位），则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 已知，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 如图，在棱长为的正方体中，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（    ）

A.  B.

C.  D.

4. 已知是单位向量，与的夹角是，且， 则=（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 口袋中装有编号为①、②的2个红球和编号为①、②、③、④、⑤的5个黑球，小球除颜色、编号外形状大小完全相同，现从中取出1个小球，记事件为“取到的小球的编号为②”，事件为“取到的小球是黑球”，则下列说法正确的是（    ）

A. 与互斥 B. 与对立 C.  D.

6. 一个骑行爱好者从地出发向西骑行了到达地，然后再由地向北偏西骑行到达地，再从地向南偏西骑行了到达地，则地到地的直线距离是（    ）

A.  B.  C.  D. 5

7. 在正三棱锥中，，，顶点在底面内的射影为，点、分别是棱、的中点，则下列说法错误的是（    ）

A.  B.  C. 平面 D.

8. 奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9. 若复数，，其中是虚数单位，则下列说法正确的是（    ）

A. 在复平面内对应的点位于第四象限

B. 若是纯虚数，那么

C.

D. 若、在复平面内对应的向量分别为、（为坐标原点），则

10. 随着互联网的发展，网上购物几乎成为了人们日常生活中不可或缺的一部分，这也使得快递行业市场规模呈现出爆发式的增长.渝北区的陈先生计划在家所在的小区内开一家菜鸟驿站，为了确定驿站规模的大小，他统计了隔壁小区的菜鸟驿站和小兵驿站一周的日收件量（单位：件），得到折线图如下，则下列说法正确的是（    ）

A. 菜鸟驿站一周的日收件量的极差小于小兵驿站一周的日收件量的极差

B. 菜鸟驿站星期三的日收件量小于小兵驿站星期六的日收件量

C. 菜鸟驿站日收件量的平均值大于小兵驿站的日收件量的平均值

D. 菜鸟驿站和小兵驿站日收件量的方差分别记为、，则

11. 已知是两条不重合的直线，是三个不重合的平面，则下列结论正确的是（    ）

A. 若，，与相交，则与也相交

B. 若，，则

C. 若，与所成角等于与所成角，则

D. 若，，，则

12. 在中，内角所对的边分别为，的面积为．下列与有关的结论，正确的是（    ）

A. 若，，，则或

B. 若为锐角三角形，则

C. 若为外接圆半径，则

D. 若，，则是直角三角形

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 某大学为提高数学系学生的数学素养，开设了“数学在19世纪的发展”、“拓扑学”、“数学思想史”三门选修课程，要求数学系每位同学在大学一年级时选修1门，则甲乙两名同学选到不同课程的概率是__________.

14. 已知一个圆锥的轴截面(过圆锥轴的一个截面)是一个等腰直角三角形，且圆锥的底面半径为，则该圆锥的侧面积为__________.

15. 将一个边长为的正三角形沿其中线折成一个直二面角，则所得三棱锥的外接球的体积为_________.

16. 已知在中，，，，为的中点，，交于，则_______；若，则_______.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 甲、乙两名篮球运动员进行投篮比赛，甲投篮命中的概率为，乙投篮命中的概率为，在每次投篮中，甲和乙投篮是否命中相互没有影响.

（1）求甲乙各投篮一次，恰好有1人命中的概率；

（2）求甲乙各投篮一次，至少有1人命中概率.

18. 在△中，内角、、的对边分别为、、，已知__________.（在以下这三个条件中任选一个填入上方的横线上作为已知条件，并解答下面两个问题，如果选择多个条件解答，按第一个解答计分）

①；②；③（是锐角△的外接圆半径）.

（1）求；

（2）若，△的面积为，求△的周长.

19. 重庆市某报社发起了建党100周年主题征文活动，报社收到了来自社会各界的大量文章，打算从众多文章中选取60篇文章以专栏形式在报纸上发表，其参赛作者年龄集中在[15，65]之间，根据统计结果，作出频率分布直方图如图：

（1）求频率分布直方图中的值，并根据频率分布直方图，求这60位作者年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和80%分位数（结果保留一位小数）；

（2）为了展示不同年龄作者心中的党的形象，报社按照分层抽样的方法，计划从这60篇文章中抽出20篇最佳文章，并邀请相应作者参加座谈会.若从年龄在[15，35）的作者中选出2人作为代表发言，求这2人的年龄都在[25，35）的概率.

20. 如图所示，图（1）中的中，，，是的中点，现将沿折起，使点到达点的位置，且满足，得到如图（2）所示的三棱锥，点、分别是棱、的中点，、分别在棱、上，满足， .

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

21. 如图，在中，已知，，点在上，且，点是中点，连接，相交于点.

（1）求线段，的长；

（2）求余弦值.

22. 如图，四棱柱的底面为菱形，，其中侧面为矩形，分别为的中点，在线段上，且满足，过和点的平面交于，交于.

（1）证明：；

（2）证明：平面；

（3）若，且，求四棱锥的体积.