重庆市七校2020-2021学年高二下学期期末联考数学试题（学生版）

2020——2021学年度第二学期期末七校联考

高二数学试题

本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.

2.答选择题时，必须使用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.

3.答非选择题时，必须使用毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.

4.考试结束后，将答题卡交回.

第Ⅰ卷(选择题共60分)

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1. 函数的定义域为(    )

A.  B.

C.  D.

2. 的展开式中的系数为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 设随机变量服从正态分布，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

4. 甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率为，乙解决这个问题的概率为，那么以为概率的事件是(    )

A. 甲乙两人至少有一人解决了这个问题 B. 甲乙两人都解决了这个问题

C. 甲乙两人至多有一人解决了这个问题 D. 甲乙两人都未能解决这个问题

5. 函数的导函数的图象如图所示，则(    )

A. 是函数的极大值点

B. 在区间上单调递增

C. 是函数的最小值点

D. 在处切线斜率小于零

6. 2021年春节临近在河北省某地新冠肺炎疫情感染人数激增，为防控需要，南通市某医院呼吸科准备从5名男医生和3名女医生中选派3人前往3个隔离点进行核酸检测采样工作，则选派的三人中至少有1名女医生的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 设函数是奇函数的导函数，且满足，当时，，则使得成立的的取值范围是(    )

A.  B.

C.  D.

8. 1999年12月1日，大足石刻被联合国教科文组织列为《世界遗产名录》，大足石刻创于晚唐，盛于两宋，是中国晚期石窟艺术的杰出代表作.考古科学家在测定石刻年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳的含量(单位：太贝克)随时间(单位：年)的衰变规律满足函数关系：，其中为时碳的含量，已知时，碳的含量的瞬时变化率是(太贝克/年)，则(    )太贝克.

A.  B.  C.  D.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.)

9. 已知函数，则下列说法不正确的是(    )

A. 是非奇非偶函数 B. 是增函数

C. 是周期函数 D. 的值域是

10. 下列说法正确的是(    )

A. 根据一组样本数据的散点图判断出两个变量，线性相关，由最小二乘法求得其回归方程为，若样本中心点为，则

B. 已知随机变量的数学期望，若，则

C. 用相关指数来刻画回归的效果，的值越接近，说明模型的拟合效果越好

D. 已知袋中装有大小完全相同的个红球和个黑球，若有放回地从中摸球，用事件表示“第一次摸到红球”，事件表示“第二次摸到黑球”，则事件与事件是相互独立事件

11. 欧拉在1748年发现了三角函数与复指数函数可以巧妙地关联起来：(把称为复数的三角形式，其中从轴的正半轴到向量的角叫做复数的辐角，把向量的长度叫做复数的模)，之后法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：若复数，，则我们可以简化复数乘法：.根据以上信息，下列说法正确的是(    )

A. 若，则有

B 若，，则

C. 若，则

D. 设，则在复平面上对应的点在第一象限

12. 下列命题为真命题的是(    )

A.  B.  C.  D.

第Ⅱ卷(非选择题共90分)

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)

13. 已知随机变量，则_______________________.

14. 函数在上单调递增，则实数的取值范围是_______________________.

15. 学校拟安排位老师在今年月日至日端午值班，每天安排人，每人值班天；若位老师中的甲不值日，乙不值日且甲、乙不在同一天值班，则不同的安排方法共有__________种.

16. 设是的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数的图象都有对称中心，其中满足.

(1)函数的对称中心为______________；

(2)现已知当直线和的图象交于、、三点时，的图象在点、点处的切线总平行，则过点可作的___________条切线.

四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17. 已知复数满足，的实部与虚部的积为.

(1)求；

(2)设，                       ，求的值.

从①；②为纯虚数；③在复平面上对应点的坐标为.这三个条件中选一个，将问题(2)补充完整，并作答.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.)

18. 设，且已知展开式中所有二项式系数之和为.

(1)求的值以及二项式系数最大的项；

(2)求值.

19. 为了丰富高2022届学生的课余活动，年级决定进行班级之间的乒乓球比赛.甲、乙两个班进行比赛，每场比赛采取“局胜制”(即有一个班先胜3局即获胜，比赛结束).比赛排名采用积分制，规则如下：比赛中，以或获胜方记分，失败方记分；以获胜方记分，失败方记分.已知甲、乙两个班比赛，假设每局比赛甲获胜的概率都是.

(1)求比赛结束时恰好打了局的概率；

(2)甲、乙两个班比赛场后，求乙班的积分的分布列及期望.

20. 某传染病感染人群大多数是岁以上人群，某传染病进入人体后有潜伏期，潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间.潜伏期越长，感染到他人的可能性越高.如果认为超过天的潜伏期为“长潜伏期”，现对个病例的潜伏期(单位：天)进行调查，其中岁以上的人群共人，岁以上的人群中潜伏期为“长潜伏期”有人，岁及岁以下潜伏期为“非长潜伏期”有人.按照年龄统计样本，得到下面的列联表.

(1)完成上面的列联表，并判断是否有的把握认为“长期潜伏”与年龄有关；

(2)以题目中的样本频率视为概率，设个病例中恰有个属于“长期潜伏”的概率是，当为何值时，取得最大值.

附：

21 已知函数.

(1)若，求函数的极值；

(2)若是函数的极小值点，求实数的取值范围.

22. 已知函数.

(1)设曲线在处的切线为，求证：；

(2)若关于的方程有两个实数根，，求证：.