广东省2022届高三5月联考数学试题

高三数学考试

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

4．本试卷主要考试内容：高考全部内容．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（    ）

A．3    B．    C．10    D．100

2．已知集，则集合的子集有（    ）

A．2个    B．4个    C．8个    D．16个

3．若双曲线的两条渐近线与直线围成了一个等边三角形，则C的离心率为（    ）

A．    B．    C．    D．2

4．已知向量满足，则（    ）

A．2    B．    C．    D．

5．“圆柱容球”是指圆柱形容器里放了一个球，且球与圆柱的侧面及上、下底面均相切，则该圆柱的体积与球的体积之比为（    ）

A．2    B．    C．    D．

6．数据的平均数为，数据的平均数为，则数据的平均数为（    ）

A．    B．    C．    D．

7．如图，A，B是函数的图象与x轴的两个交点，若，则（    ）

A．1    B．    C．2    D．

8．已知函数，若对任意恒成立，则m的最大值为（    ）

A．    B．0    C．1    D．e

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知，且，则（    ）

A．    B．    C．    D．

10．甲、乙两人解关于x的方程，甲写错了常数b，得到的根为或，乙写错了常数c，得到的根为或，则下列是原方程的根的是（    ）

A．    B．    C．    D．

11．已知函数满足，且函数与的图象的交点为，则（    ）

A．    B．    C．    D．

12．在平面直角坐标系中，圆，若曲线上存在四个点，过动点作圆O的两条切线，A，B为切点，满足，则k的值可能为（    ）

A．    B．    C．    D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．

13．若，则____________．

14．已知等差数列的前n项和为，若，则_________，_________．（本题第一空2分，第二空3分）

15．3名女生和4名男生随机站成一排，则每名女生旁边都有男生的概率为__________．

16．如图，正方体的棱长为4，M是棱的中点，点P是底面内的动点，且P到平面的距离等于线段的长度，则线段长度的最小值为____________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为1，．

（1）求A的大小；

（2）求外接圆面积的最小值．

18．（12分）已知数列满足，且，且数列是等比数列．

（1）求的值；

（2）若，求．

19．（12分）为落实党中央的“三农”政策，某市组织该市所有乡镇干部进行了一期“三农”政策专题培训，并在培训结束时进行了结业考试．从该次考试成绩中随机抽取样本，以，，，，分组绘制的频率分布直方图如图所示．

（1）根据频率分布直方图中的数据，估计该次考试成绩的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）

（2）取（1）中的值，假设本次考试成绩X服从正态分布，且，从所有参加考试的乡镇干部中随机抽取3人，记考试成绩在范围内的人数为Y，求Y的分布列及数学期望．

20．（12分）在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，E为的中点，点P在平面内的投影F恰好在直线上．

（1）证明：．

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

21．（12分）已知椭圆为其左焦点，在椭圆C上．

（1）求椭圆C的方程．

（2）若A，B是椭圆C上不同的两点，O为坐标原点，且，问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

22．（12分）已知函数．

（1）若，求曲线在处的切线方程；

（2）若，求a的取值范围．

高三数学考试参考答案

1．C  【解析】本题考查复数的四则运算，考查运算求解能力．

．

2．B  【解析】本题考查集合的运算，考查运算求解能力．

因为，所以，则集合的子集有4个．

3．D  【解析】本题考查双曲线的渐近线，考查运算求解能力，

由题可知，则C的离心率．

4．A  【解析】本题考查平面向量的数量积公式，考查运算求解能力．

由，可得，所以，

则，即．

5．B  【解析】本题考查空间几何体的体积，考查空间想象能力．

设球的半径为R，则圆柱的底面圆半径为R，高为，

则圆柱的体积，球的体积，则．

6．D  【解析】本题考查统计相关知识，考查数据分析的核心素养．

数据的平均数为．

7．B  【解析】本题考查三角函数的图象，考查数形结合的数学思想．

令，则，解得，令，则，解得，所以，．因为，所以，解得．

8．C  【解析】本题考查导数的应用，考查逻辑推理的核心素养．

因为，所以，即．令，则，令，则，因为在上单调递增，且，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即m的最大值为1．

9．ACD  【解析】本题考查不等式的应用，考查逻辑推理的核心素养．

对于A，，当且仅当-时，等号成立，故A正确；

对于B，，当且仅当时，等号成立，故B错误；

对于C，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故C正确；

对于D，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故D正确．

故选ACD．

10．AD  【解析】本题考查指数、对数的运算以及一元二次方程，考查逻辑推理的核心素养．

令，则方程可化为，甲写错了常数b，所以和是方程的两根，所以，乙写错了常数c，所以1和2是方程的两根，所以，则可得方程，解得，所以原方程的根是或．

11．BD  【解析】本题考查函数的性质，考查数学抽象的核心素养．

因为，所以的图象关于点对称，函数的图象关于点对称，所以．

12．ABC  【解析】本题考查圆的切线以及直线与圆的位置关系，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力．

设，则，解得（舍去）或，所以点P的轨迹方程为．曲线过点且关于直线对称，由题可知．当直线与相切时，解得或，所以k的取值范围是，故选ABC．

13．  【解析】本题考查三角恒等变换，考查运算求解能力．

，分子分母同时除以，得．

14．0；0  【解析】本题考查等差数列，考查运算求解能力．

设等差数列的公差为d，由，可得，即，

所以，解得，则．

15．  【解析】本题考查排列组合的应用，考查逻辑推理的核心素养．

3名女生和4名男生全排列共有种情况，每名女生旁边都有男生的情况分为两类，3名女生都不相邻，或恰有2名女生相邻，共有种情况，所求的概率为．

16．  【解析】本题考查空间几何体中的动点轨迹，考查空间想象能力以及直观想象的核心素养．

如图，以A为原点，以的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则，设，因为P到平面的距离等于线段的长度，则，则，所以，所以线段长度的最小值为．

17．解：（1）因为，结合余弦定理，可得，     2分

因为的面积为1，所以，即，        4分

则，即．           5分

（2）由（1）知，        6分

又因为，当且仅当时，等号成立．    8分

设外接圆的半径为r，则，即，      9分

所以外接圆面积的最小值为．         10分

评分细则：

【1】第（2）问中未说明时，等号成立，扣1分．

【2】其他方法参照评分标准按步骤给分．

18．解：（1）因为数列为等比数列，所以（常数），         2分

则，            3分

上式恒成立，可得所以．           5分

（2）由（1）可知，所以，即．    7分

，        8分

所以．              12分

评分细则：

【1】第（1）问另解：

由，可得，             2分

因为数列是等比数列，所以，        3分

解得．     5分

【2】其他方法参照评分标准按步骤给分．

19．解：（1）根据频率分布直方图可得，该次考试成绩的平均数约为

         4分

（2），           6分

因为，所以．        8分

所以Y的分布列为

           10分

所以．         12分

评分细则：

【1】第（1）问正确算出平均数得4分，否则不得分

【2第（2）问，求得得2分，未说明，不扣分，分布列正确可得4分，正确算出得2分．

20．（1）证明：因为点P在平面内的投影F恰好在直线上，所以平面，则．      2分

因为，所以四边形为矩形，则，          3分

因为，所以平面，           4分

因为平面，所以．           5分

（2）解：连接，由（1）可得，因为E为的中点，所以．     6分

在中，，则．         7分

以F点为坐标原点，直线为z轴，直线为y轴，过F点且平行于的直线为x轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

，           8分

设平面的法向量，则令，则．

故取．         10分

，所以直线与平面所成角的正弦值为．    12分

评分细则：

其他方法参照评分标准按步骤给分．

21．解：（1）椭圆C的右焦点为，根据椭圆的定义得，所以，     2分

又因为，所以，           3分

所以椭圆C的方程．           4分

（2）当直线的斜率不存在时，由对称性可知，

不妨设．则，此时的面积为．           6分

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

联立得，

由，得

由韦达定理得，          7分

，

即，满足式，              9分

，

当且仅当时，等号成立．        11分

又因为，所以面积的最大值为．       12分

评分细则：

【1】第（1）问可将的坐标代入椭圆方程，求得a，b，c．

【2】其他方法参照评分标准按步骤给分．

22．解：（1）因为，所以，则，           1分

又，则，           3分