2023届广东省六校联考高三第四次联考数学试题

这是一份2023届广东省六校联考高三第四次联考数学试题，共13页。试卷主要包含了 证明， 解等内容，欢迎下载使用。
广东省2023届高三六校第四次联考数  学满分：150分。考试时间：120分钟。注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。并用2B铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效。2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回。一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求。1. 已知集合，集合，则(    )                                             2. 如图，在复平面内，复数对应的点为，则复数的虚部为(    )                       3. 已知是空间中两个不同的平面，是空间中两条不同的直线，则下列命题中正确的是(    )A. 若，，则       B. 若，，则C. 若，，则      D. 若，，则4．已知数列{an}的前n项和为Tn，数列{Tn}是递增数列是a2023≥a2022的（　　）A．充分不必要条件              B．必要不充分条件 C．充要条件                      D．既不充分也不必要条件5. 八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹。八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样。八角星纹以白彩绘成，黑线勾边，中为方形或圆形，具有向四面八方扩张的感觉。八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹。图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形(如)为等腰直角三角形，点为圆心，中间部分是正方形且边长为2，定点,所在位置如图所示，则的值为（   ）            图1                              图2A. 10           B.12             C.14             D.166、把二项式的所有展开项重新排列，求有理项不相邻的概率为（  ）A.             B.            C.            D.7、已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，记|F1F2|＝2c，以坐标原点O为圆心，c为半径的圆与双曲线M在第一象限的交点为P.若，则双曲线的离心率为(　　)A.          B.          C.         D.8、已知函数，对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（  ）A． B． C． D． 二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对 5 分，部分选对得 2 分，有选错得 0 分。9、已知的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，则下列说法正确的是(   )A．的最小正周期为 B．在上单调递增 C．当时，的取值范围为  D．是偶函数10．若抛物线C：的焦点为，准线为l,点M在抛物线C上且在第一象限，直线MF的斜率为，M在直线l上的射影为A,则下列选项正确的是（  ）A到直线的距离为       B.△MAF的面积为4C.的垂直平分线过点M            D. 以MF为直径的圆过点(0，2)11、已知函数，则下列结论正确的是（     ）A．函数只有两个极值点B．方程有且只有两个实根,则的取值范围为C. 方程共有4个根D．若当时，，则t的最大值为212、如图，矩形中，，为边的中点，沿将折起，点折至处（平面），若为线段的中点，平面与平面所成锐二面角，直线与平面所成角为，则在折起过程中，下列说法正确的是（   ）A．  存在某个位置，使得               B．  面积的最大值为C.                  D． 三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球的表面积16 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13、已知，且，则的最小值是         ．14、若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则　　．15、某公司在某地区进行商品A的调查，随机调查了100位购买商品A的顾客的性别，其中男性顾客18位，已知该地区商品A的购买率为，该地区女性人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人是男性，求此人购买商品A的概率         .16、数列中，表示自然数的所有因数中最大的那个奇数，例如：的因数有的因数有那么数列前项的和=          .四、解答题：本题共 6 小题，第 17 题 10 分，第 18—22 题各 12 分，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17、（10分）已知等差数列的前项和为，数列是公比为2的等比数列，且，，．（1）求数列,的通项公式；（2）数列与中的所有项分别构成集合，.将集合中的所有元素从小到大依次排列构成新数列，求数列的前20项和.   18、（12分）已知的角的对边分别为 ，且，(1)求角;(2)若平分交线段于点，且，，求的周长.   19、（12分）如图，在三棱柱中，平面平面，侧面是边长为2的正方形，，、分别为、的中点.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.   20、（12分）为了增强学生的国防意识，某中学组织了一次国防知识竞赛，高一和高二两个年级学生参加知识竞赛，（1）两个年级各派50名学生参加国防知识初赛，成绩均在区间上，现将成绩制成如图所示频率分布直方图（每组均包括左端点，最后一组包括右端点），估计学生的成绩的平均分（若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）两个年级各派一位学生代表参加国防知识决赛，决赛的规则如下：①决赛一共五轮，在每一轮中，两位学生各回答一次题目，两队累计答对题目数量多者胜；若五轮答满，分数持平，则并列为冠军；②如果在答满5轮前，其中一方答对题目数量已经多于另一方答满5次题可能答对的题目数量，则不需再答题，譬如：第3轮结束时，双方答对题目数量比为3：0，则不需再答第4轮了；③设高一年级的学生代表甲答对比赛题目的概率是，高二年级的学生代表乙答对比赛题目的概率是，每轮答题比赛中，答对与否互不影响，各轮结果也互不影响.(i)在一次赛前训练中，学生代表甲同学答了3轮题，且每次答题互不影响，记X为答对题目的数量，求X的分布列及数学期望.(ii)求在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出的概率. 21、（12分）已知椭圆（a＞b＞0），A、B两点分别为椭圆的左顶点、下顶点，F是椭圆的右焦点，且∠FAB＝，直线l与椭圆相切与P（P在第一象限），与y轴相交于Q（Q异于P）．记O为坐标原点，若△OPQ是等边三角形，且△OPQ的面积为，（1）求椭圆的标准方程．（2）C、D两点均在直线m：x＝a上，且C在第一象限．设直线AD、BC分别交椭圆于点S、点T，若S、T关于原点对称，求|CD|的最小值.22、（12分）已知函数有两个零点，，且（1）求的取值范围；（2）证明：
数学参考答案 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求。12345678DCBAB二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对5分，部分选对得2分，有选错得0分。9101112ABBCACDBCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.25      14.        15.        16. 四、解答题：本题共6小题，第17题10分，第18~22题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分） 解：(1)数列为等差数列，且，    ........2分数列是公比为2的等比数列,    ........4分（2）由（1）知   数列中去掉2,4,8,16，........6分.......10分18．（12分）解：（1）由余弦定理得.......2分所以可化为再由正弦定理得，得，所以.因为， 所以.......5分（2）因为平分，所以.由，得........7分作于，则........9分由，解得由余弦定理，得，所以故的周长为 .......12分19. （12分）(1)证明：面面，面面，，面，面，                                ……1分面，  ，                                     又，，面，                                 ……2分取的中点，连接、，面,,                                        ……3分又，，四边形为平行四边形，，                                       ……4分.                                       ……5分(2)解：方法一：面，，如图，以为坐标原点，, , 的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，，   ……6分设平面的一个法向量为，则，可取，                                  ……8分设平面的一个法向量为，则，可取，                   ……10分设二面角为，则，所以二面角的余弦值为.                  ……12分方法二：取的中点，过点作于点，连接, ，……6分，为的中点，，由(1)可知，面，，且，面，                       ……7分，又，，面， ，即为二面角的平面角，         ……8分又，，，，，                                     ……9分而，，                      …….10分，                           ……11分所以二面角的余弦值为.               ……12分20. （12分）解：(1) 由频率分布直方图可知：可得    ……2分平均分的估计值为:   ……3分学生的成绩的平均分的估计值为分.(2) (i) 由题可得, , 的可能取值为                 ……4分              ……5分 的分布列为                 ……7分(2) (ii) 将“在第轮结束时, 学生代表甲答对道题并刚好胜出”记为事件, “在第轮结束时, 学生代表乙答对道题”记为事件,“在第轮结束时, 学生代表乙答对道题”记为事件,     ……9分                ……11分.         ……12分  21．（12分）（1）解：∠FAB＝，则                  ……1分△OPQ是等边三角形，=，则……3分，，则，     ……4分将代入，解得椭圆的标准方程为                   ……6分（2）（0，﹣1），（cosθ，sinθ），，则直线：，所以C（，），……7分A（﹣，0），S（﹣cosθ，﹣sinθ），则直线AS：，所以D（，），……8分所以=    ……10分设=t，则，，，当且仅当时，等号成立，所以即|CD|的最小值为6．……12分 22. （12分）（1）解：因为的定义域为（0，+∞），所以…1分当a≤0时，恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，故f（x）不可能有两个零点，故舍去；……2分当a＞0肘，令，解得，令，解得，所以f（x）在上单调递增，在上单调递减，……3分所以f（x）max＝＝，要使f（x）有两个零点，则f（x）max＝＝＞0，解得，……4分又，，所以当0＜a＜1时，f（x）在和上各有一个零点x2，x1……5分且x1＞2x2， 所以，由f（x）单调性知，当x∈（x2，x1）时，f（x）＞0，当x∈（x1，+∞）时f（x）＜0，因为x2＜2x2＜x1，所以f（2x2）＞0，即ln（2x2）﹣a﹣2x2+1＞lnx2﹣ax2+1， 所以ax2＜ln2，而ax2﹣lnx2+1＜ln2，所以0＜x2＜，所以a＝，……6分令h（x）＝，x∈（0，）， 则h′（x）＝＝＞0，所以h（x）在（0，）上单调递增，所以h（x）＜h（）＝＝，所以a∈（0，）．……7分（2）要证，即证，即证，即证，设……9分，，令，  令，∴   ∴  ∴  ∴得证……12分