陕西省西安市临潼区2022届高三下学期二模理科数学试题及参考答案

西安市临潼区高三第二次模拟考试

数学（理科）试题

一､选择题（本题共12小题，每小题5分，计60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 设，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

2. 2022年1月，中科大潘建伟团队和南科大范靖云团队发表学术报告，分别独立通过实验，验证了虚数i在量子力学中的必要性，再次说明了虚数i的重要性．对于方程，它的两个虚数根分别为（    ）

A  B.

C.  D.

3. 以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周，所得到的几何体的体积为（    ）.

A.  B.  C.  D.

4. 下列说法正确的是（    ）

A. “A与B是互斥事件”是“A与B互为对立事件”的充分不必要条件

B. 设具有线性相关关系两个变量x，y的相关系数为r，则越接近于0，x，y之间线性相关程度越强

C. 已知随机变量X的方差为，则

D. 若，，则

5. 已知是单位向量，且，若向量，则与的夹角为（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 设x∈（0，），则事件“2sinx＞tanx”发生的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 如图，圆柱的轴截面是正方形，D，E分别是边和的中点，C是的中点，则经过点C，D，E的平面与圆柱侧面相交所得到曲线的离心率是（    ）

A.  B.  C.  D. 2

8. 若，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 各种不同的进制在我们生活中随处可见，计算机使用的是二进制，数学运算一般用的十进制.通常我们用函数表示在x进制下表达M（M>1）个数字的效率，则下列选项中表达效率最高的是（    ）

A. 二进制 B. 三进制 C. 八进制 D. 十进制

10. 已知一个平放各棱长为4的三棱锥内有一个小球，现从该三棱锥顶端向锥内注水，小球慢慢上浮.当注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球恰与该三棱锥各侧面及水面相切（小球完全浮在水面上方），则小球的表面积等于.

A.  B.  C.  D.

11. 阿基米德（公元前287年-公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，称三角形PAB为“阿基米德三角形”.已知抛物线C：的焦点为F，过A，B两点的直线的方程为，关于“阿基米德三角形”△PAB，下列结论不正确的是（    ）

A.  B.

C.  D. 点P的坐标为

12. 已知函数(为自然对数的底数) ，若函数恰好有两个零点，则实数等于（    ）

A.  B.  C.  D.

二､填空题（本题共4小题，每小题5分，计20分）

13. 已知，方程表示圆，则圆心坐标是______．

14. 设，则…______．

15. 2022年北京冬奧会开幕式始于24节气倒计时，它将中国人的物候文明传承久远的诗歌、现代生活的画面和谐统一起来．我国古人将一年分为24个节气，如图，相邻两个节气的日晷长变化量相同，冬至日晷长最长，夏至日晷长最短，周而复始．已知冬至日晷长为13.5尺，芒种日晷长为2.5尺，则一年中秋分到大雪的日晷长之和为___________尺．

16. 已知函数，若函数的部分图象如图，函数，则下列结论正确的是___________．（填序号）

①函数的图象关于直线对称；

②函数的图象关于点对称；

③将函数的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象；

④函数在区间上的单调递减区间为．

三､解答题（本题共6小题，计70分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）

17. 已知数列满足 ，

（Ⅰ）求数列通项公式；

（Ⅱ）求数列的前项和．

18. 如图①所示，平面五边形ABCDE中，四边形ABCD为直角梯形，∠B=90°且AD∥BC，若AD=2BC=2，AB=，△ADE是以AD为斜边的等腰直角三角形，现将△ADE沿AD折起，连接EB，EC得如图②的几何体．

图①                                图②

（1）若点M是ED的中点，求证：CM∥平面ABE；

（2）若EC=2，在棱EB上是否存在点F，使得二面角E-AD-F的大小为60°？若存在，求出点F的位置；若不存在，请说明理由．

19. 甲､乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为.假设两人射击是否击中目标，互不影响；每次射击是否击中目标，互不影响.

（1）记甲击中目标的次数为X，求X的分布列；

（2）在①甲恰好比乙多击中目标2次，②乙击中目标的次数不超过2次，③甲击中目标3次且乙击中目标2次这三个条件中任取一个，补充在横线中，并解答问题.求___________事件的概率.

（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

20. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，．椭圆C的长轴长与焦距比为，过的直线l与C交于A、B两点．

（1）当l的斜率为1时，求的面积；

（2）当线段AB的垂直平分线在y轴上的截距最小时，求直线l的方程．

21. 已知函数，其中且．

（1）当时，求函数在处切线方程；

（2）若函数在上恰有两个极小值点，求a的取值范围．

22. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）写出曲线的直角坐标方程；

（2）若直线与曲线交于、两点，且的长度为，求直线的普通方程．

23. 已知关于的不等式对恒成立．

（1）求实数的最小值；

（2）若，，为正实数，为实数的最小值，且，求证：