2022年河南省师范大学附属中学九年级学业水平三模数学试题(word版含答案)

2021—2022学年第二学期

九年级《数学》学业水平三模试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分）

1.的相反数是（    ）

A.2 B. C. D.

2.如图，该几何体的主视图是（    ）

A. B. C. D.

3.2021年2月10日19时52分，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器成功“刹车”被火星“捕获”.在制动捕获过程中，探测器距离地球的距离为192000000公里.数字192000000用科学记数法表示为（    ）

A. B. C. D.

4.下列运算正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

5.将一块含有30°角的直角三角板和一把直尺按如图所示方式摆放，若，则的度数是（    ）

A.70° B.65° C.55° D.60°

6.从甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名去参加“喜迎二十大”演讲比赛，则恰好抽到乙、丁两位同学的概率是（    ）

A. B. C. D.

7.若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

8.如图，在四边形中，且，，，平分交的延长线于点，则的长是（    ）

A.2 B.3 C.4 D.5

9.如图，的顶点，，点在轴的正半轴上，延长交轴于点.将绕点顺时针旋转得到，当点的对应点落在上时，的延长线恰好经过点，则点的横坐标是（    ）

A.8 B.9 C. D.

10.如图，点是菱形对角线上一动点，点是线段上一点，且，连接、，设的长为，，点从点运动到点时，随变化的关系图象，图象最低点的纵坐标是（    ）

A. B. C. D.

二、填空题（共5小题，每小题3分）

11.计算______.

12.小明在计算一组数据的方差时，列出的算式如下：，根据算式信息，这组数据的众数是______.

13.已知二次函数的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两根之积是______.

14.如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，，均在小正方形的顶点上，且点在上，与交于点，则的长为______.

15.在中，，，，点是的中点，点、分别是线段上任意两点，连接、，将和分别沿、折叠，点和点的对称点分别是点和点，当和点重合时，的长是______.

三、解答题（共8小题，共75分）

16.（8分）先化简，再求值：，其中.

17.（9分）为了解地铁14号线与7号线的日客运强度，获得了它们2022年1月份工作日（共21天）日客运强度（单位：万人/公里）的数据，并对数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息：

a.地铁14号线2022年1月份工作日日客运强度的数据的频数分布直方图如下（数据分成6组：，，，，，）；

b.地铁14号线2022年1月份工作日日客运强度的数据在这一组是：

1.37  1.37  1.37  1.38  1.41  1.47  1.48  1.48  1.49

c.地铁14号线与7号线2022年1月份工作日日客运强度的平均数、中位数如下：

根据以上信息，回答下列问题：

（1）写出表中的值；

（2）日客运强度反映了地铁的拥挤程度，小明每天上班均需乘坐地铁，可以选择乘坐地铁14号线或乘坐地铁7号线.请帮助小明选择一种乘坐地铁的方式，并说明理由；

（3）2022年一共有249个工作日，请估计2022年全年的工作日中，地铁14号线日客运强度不低于1.3万人/公里的天数（直接写出结果）.

18.（9分）为了响应节能减排的号召，李豪同学决定骑自行车上下学，他将自行车放在水平的地面上，如图，车把头下方处与坐垫下方处平行于地面水平线，测得，，与的夹角分别为45°与60°.

（1）求点到的距离（结果保留一位小数）；

（2）若点到地面的距离为30cm，坐垫中轴与点的距离为6cm.根据李豪同学身高比例，坐垫到地面的距离为73cm至74cm之间时，骑乘该自行车最舒适.请你通过计算判断出李豪同学骑乘该自行车是否能达到最佳舒适度.（参考数据：，）

19.（9分）如图，为的直径，为上一点，为延长线上一点，且.

（1）求证：是的切线；

（2）若，，求的半径.

20.（9分）如图，矩形的边在轴上，为对角线，的交点，点，的坐标分别为，.

（1）反比例函数在第三象限的图象经过点，求这个函数的解析式；

（2）点是否在函数的图象上？说明理由；

（3）一次函数的图象经过点，点，根据图象直接写出不等式的解集.

21.（10分）冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物.将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员.冬奥会来临之际，冰墩墩玩偶非常畅销.小冬在某网店选中，两款冰墩墩玩偶，决定从该网店进货并销售.两款玩偶的进货价和销售价如下表：

（1）第一次小冬550元购进了，两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个.

（2）第二次小冬进货时，网店规定款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半.小冬计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？

（3）小冬第二次进货时采取了（2）中设计的方案，并且两次购进的玩偶全部售出，请从利润率的角度分析，对于小冬来说哪一次更合算？（注：利润率）

22.（10分）已知抛物线的顶点为，且过点.

（I）求抛物线的解析式；

（II）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移个单位长度后得到新抛物线.

①若新抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），且，求的值；

②若，是新抛物线上的两点，当，时，均有，求的取值范围.

23.（11分）将等边三角形的边绕点逆时针旋转至，记旋转角为，连接，过点作垂直于直线，垂足为，连接.取边的中点，连接.

（1）如图1，当时，的度数为______，连接，可求出的值为

（2）当且时，

①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；

②当，，三点共线时，请直接写出的值.

图1           图2

九年级《数学》学业水平三模试卷答案

一、选择题（共10小题，每小题3分）

二.填空题（共5小题，每小题3分）

11.1 12.5 13. 14. 15.

三.解答题（共8小题，共75分）

16.解：

当时，原式

17.（1）；

（2）从中位数、平均数上看，地铁7号线的中位数较小，平均数也较小，说明地铁7号线的拥挤程度较小，

因此，小明乘坐地铁7号线比较合适；

（3）估计2022年全年的工作日中，地铁14号线日客运强度不低于1.3万人/公里的天数为：（天）

18.解：（1）过点作，垂足为

设

在中，，

∴，

∵，

∴，

在中，，

∴，

∴

经检验：是原方程的根，

∴

∴点到的距离为38.1cm；

（2）过点作，垂足为.

由题意得：

在中，

∴

∴坐垫到地面的距离为：

∵坐垫到地面的距离为73cm至74cm之间时，骑乘该自行车最舒适.

∴李豪同学骑乘该自行车能达到最佳舒适度

19.（1）证明：连接，∵为的直径，

∴.

∴，

∵

∴

∴

∵是的半径，

∴是的切线；

（2）解：∵，

∴设，

∴

∵，

∴，

∴，

∴

在中，，，

∴，

解得，

∴的半径为3.

20.解：（1）∵矩形的边在轴上，，，

∴，

∵反比例函数在第三象限的图象经过点，

∴，

∴这个函数的解析式为；

（2）∵四边形是矩形，

∴为对角线、的交点，

∴为的中点，

∵，.

∴；

把代入得，

∴点在函数的图象上：

（3）由图象可知：不等式的解集是或.

21.解：（1）设款玩偶购进个，款玩偶购进个，

由题意，得，

解得：

（个）.

答：款玩偶购进20个，款玩偶购进10个；

（2）设款玩偶购进个，款玩偶购进个，获利元，

由题意，得

∵款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半.

∴，

∴，

∵

∴

∴随的增大而增大.

∴时，元.

∴款玩偶为：（个）

答：按照款玩偶购进10个、款玩偶购进20个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是180元；

（3）第一次的利润率：，

第二次的利润率=，

∵，

∴对于小李来说第一次的进货方案更合算

22.解：（1）∵顶点为，

∴

又∵抛物线过点，

∴，

∴

∴；

（2）由平移的性质知，平移后的抛物线的表达式为，

①分情况讨论：

若点，均在轴正半轴上，设，则，

由对称性可知：，解得，

故点的坐标为，

将点的坐标代入得：，

解得

若点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，设，则，

由对称性可知：，

解得，

故点的坐标为，

同理可得，

综上：或；

②∵新抛物线开口向上，对称轴为直线，

∴当和时，函数值相等.

又∵当，时，均有，

∴结合图象，得，

∴

21.解：（1）由旋转的性质，可知，

∵是等边三角形，

∴，，

∴，

∴，

同理可得，

∴，

连接，

图1

∵是的中点，

∴是的斜边上的中线，

∴，

∴，

∴，

故答案为：；2

（2）①仍然成立，理由如下：

由旋转的性质，可知，，

∴

∵是等边三角形，

∴，

∴.

同理可得，，

∴，

连接，

图2

∵是的中点.∴，

∴是的斜边上的中线，

∴，

∴，

∴

②当，，三点共线时，分以下两种情况讨论，

（1）当点在线段上时，如图3，

图3

由①可知，，

∵，

∴，

设，则

在中，，

∴，

在中，，

∴

（II）当点在线段的延长线上时，如图4，

图4

同（I），可得，

∴

综上所述，的值为或.