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江苏省扬州市五年（2017-2021）中考数学真题分类汇编
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这是一份江苏省扬州市五年（2017-2021）中考数学真题分类汇编，文件包含05解答题提升题知识点分类-江苏省扬州市五年2017-2021中考数学真题分类汇编含答案32题docx、04解答题基础题知识点分类-江苏省扬州市五年2017-2021中考数学真题分类汇编含答案18题docx、01选择题知识点分类-江苏省扬州市五年2017-2021中考数学真题分类汇编含答案40题docx、02填空题基础题知识点分类-江苏省扬州市五年2017-2021中考数学真题分类汇编含答案27题docx、03填空题提升题知识点分类-江苏省扬州市五年2017-2021中考数学真题分类汇编含答案23题docx等5份试卷配套教学资源，其中试卷共137页， 欢迎下载使用。
05解答题（提升题）知识点分类
一．平方差公式（共1小题）
1．（2018•扬州）计算或化简
（1）（2x+3）2﹣（2x+3）（2x﹣3）
二．二元一次方程组的解（共1小题）
2．（2021•扬州）已知方程组的解也是关于x、y的方程ax+y＝4的一个解，求a的值．
三．解二元一次方程组（共1小题）
3．（2018•扬州）对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：a⊗b＝2a+b．例如3⊗4＝2×3+4＝10．
（1）求2⊗（﹣5）的值；
（2）若x⊗（﹣y）＝2，且2y⊗x＝﹣1，求x+y的值．
四．分式方程的应用（共3小题）
4．（2021•扬州）为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天．问原先每天生产多少万剂疫苗？
5．（2018•扬州）京沪铁路是我国东部沿海地区纵贯南北的交通大动脉，全长1462km，是我国最繁忙的铁路干线之一．如果从北京到上海的客车速度是货车速度的2倍，客车比货车少用6h，那么货车的速度是多少？（精确到0.1km/h）
6．（2017•扬州）星期天，小明和小芳从同一小区门口同时出发，沿同一路线去离该小区1800米的少年宫参加活动，为响应“节能环保，绿色出行”的号召，两人都步行，已知小明的速度是小芳的速度的1.2倍，结果小明比小芳早6分钟到达，求小芳的速度．
五．一元一次不等式组的整数解（共2小题）
7．（2019•扬州）解不等式组，并写出它的所有负整数解．
8．（2017•扬州）解不等式组，并求出它的所有整数解．
六．二次函数的应用（共3小题）
9．（2021•扬州）甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：
甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元．
乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元．
说明：①汽车数量为整数；②月利润＝月租车费﹣月维护费；③两公司月利润差＝月利润较高公司的利润﹣月利润较低公司的利润．
在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：
（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是 元；当每个公司租出的汽车为 辆时，两公司的月利润相等；
（2）求两公司月利润差的最大值；
（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元（a＞0）给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a的取值范围．
10．（2017•扬州）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量n（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如表：
销售价格x（元/千克）
30
35
40
45
50
日销售量n（千克）
600
450
300
150
0
（1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定n与x之间的函数表达式，并直接写出n与x的函数表达式为 ；
（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？
（3）农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元（a＞0）的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a的值．（日获利＝日销售利润﹣日支出费用）
11．（2018•扬州）“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围．
七．二次函数综合题（共2小题）
12．（2021•扬州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．
（1）b＝ ，c＝ ；
（2）若点D在该二次函数的图象上，且S△ABD＝2S△ABC，求点D的坐标；
（3）若点P是该二次函数图象上位于x轴上方的一点，且S△APC＝S△APB，直接写出点P的坐标．
13．（2018•扬州）如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，6），点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A运动，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止．设运动时间为t秒．
（1）当t＝2时，线段PQ的中点坐标为 ；
（2）当△CBQ与△PAQ相似时，求t的值；
（3）当t＝1时，抛物线y＝x2+bx+c经过P，Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K，如图2所示，问该抛物线上是否存在点D，使∠MQD＝∠MKQ？若存在，求出所有满足条件的D的坐标；若不存在，说明理由．
八．三角形综合题（共3小题）
14．（2017•扬州）我们规定：三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在△ABC中，AO是BC边上的中线，AB与AC的“极化值”就等于AO2﹣BO2的值，可记为AB△AC＝AO2﹣BO2．
（1）在图1中，若∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，AO是BC边上的中线，则AB△AC＝ ，OC△OA＝ ；
（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，求AB△AC、BA△BC的值；
（3）如图3，在△ABC中，AB＝AC，AO是BC边上的中线，点N在AO上，且ON＝AO．已知AB△AC＝14，BN△BA＝10，求△ABC的面积．
15．（2019•扬州）如图，平面内的两条直线l1、l2，点A，B在直线l1上，点C、D在直线l2上，过A、B两点分别作直线l2的垂线，垂足分别为A1，B1，我们把线段A1B1叫做线段AB在直线l2上的正投影，其长度可记作T（AB，CD）或T，特别地线段AC在直线l2上的正投影就是线段A1C．
请依据上述定义解决如下问题：
（1）如图1，在锐角△ABC中，AB＝5，T（AC，AB）＝3，则T（BC，AB）＝ ；
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，T（AC，AB）＝4，T（BC，AB）＝9，求△ABC的面积；
（3）如图3，在钝角△ABC中，∠A＝60°，点D在AB边上，∠ACD＝90°，T（AD，AC）＝2，T（BC，AB）＝6，求T（BC，CD），
16．（2018•扬州）问题呈现
如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点D，N和E，C，DN和EC相交于点P，求tan∠CPN的值．
方法归纳
求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点M，N，可得MN∥EC，则∠DNM＝∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变换到Rt△DMN中．
问题解决
（1）直接写出图1中tan∠CPN的值为 ；
（2）如图2，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，求cos∠CPN的值；
思维拓展
（3）如图3，AB⊥BC，AB＝4BC，点M在AB上，且AM＝BC，延长CB到N，使BN＝2BC，连接AN交CM的延长线于点P，用上述方法构造网格求∠CPN的度数．
九．平行四边形的性质（共1小题）
17．（2019•扬州）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，已知CE＝6，BE＝8，DE＝10．
（1）求证：∠BEC＝90°；
（2）求cos∠DAE．
一十．菱形的判定与性质（共1小题）
18．（2018•扬州）如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．
（1）求证：四边形AEBD是菱形；
（2）若DC＝，tan∠DCB＝3，求菱形AEBD的面积．
一十一．四边形综合题（共3小题）
19．（2020•扬州）如图1，已知点O在四边形ABCD的边AB上，且OA＝OB＝OC＝OD＝2，OC平分∠BOD，与BD交于点G，AC分别与BD、OD交于点E、F．
（1）求证：OC∥AD；
（2）如图2，若DE＝DF，求的值；
（3）当四边形ABCD的周长取最大值时，求的值．
20．（2019•扬州）如图，四边形ABCD是矩形，AB＝20，BC＝10，以CD为一边向矩形外部作等腰直角△GDC，∠G＝90°．点M在线段AB上，且AM＝a，点P沿折线AD﹣DG运动，点Q沿折线BC﹣CG运动（与点G不重合），在运动过程中始终保持线段PQ∥AB．设PQ与AB之间的距离为x．
（1）若a＝12．
①如图1，当点P在线段AD上时，若四边形AMQP的面积为48，则x的值为 ；
②在运动过程中，求四边形AMQP的最大面积；
（2）如图2，若点P在线段DG上时，要使四边形AMQP的面积始终不小于50，求a的取值范围．
21．（2017•扬州）如图，将△ABC沿着射线BC方向平移至△A'B'C'，使点A'落在∠ACB的外角平分线CD上，连接AA'．
（1）判断四边形ACC'A'的形状，并说明理由；
（2）在△ABC中，∠B＝90°，AB＝24，cos∠BAC＝，求CB'的长．
一十二．直线与圆的位置关系（共1小题）
22．（2017•扬州）如图，已知平行四边形OABC的三个顶点A、B、C在以O为圆心的半圆上，过点C作CD⊥AB，分别交AB、AO的延长线于点D、E，AE交半圆O于点F，连接CF．
（1）判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由；
（2）①求证：CF＝OC；
②若半圆O的半径为12，求阴影部分的周长．
一十三．切线的判定与性质（共2小题）
23．（2019•扬州）如图，AB是⊙O的弦，过点O作OC⊥OA，OC交AB于P，CP＝BC．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）已知∠BAO＝25°，点Q是上的一点．
①求∠AQB的度数；
②若OA＝18，求的长．
24．（2018•扬州）如图，在△ABC中，AB＝AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE为半径作半圆，交AO于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点F是OA的中点，OE＝3，求图中阴影部分的面积；
（3）在（2）的条件下，点P是BC边上的动点，当PE+PF取最小值时，直接写出BP的长．
一十四．圆的综合题（共2小题）
25．（2021•扬州）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：
已知线段BC＝2，使用作图工具作∠BAC＝30°，尝试操作后思考：
（1）这样的点A唯一吗？
（2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？
“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外），…．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．
（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．
①该弧所在圆的半径长为 ；
②△ABC面积的最大值为 ；
（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为A′，请你利用图1证明∠BA′C＞30°．
（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形ABCD的边长AB＝2，BC＝3，点P在直线CD的左侧，且tan∠DPC＝．
①线段PB长的最小值为 ；
②若S△PCD＝S△PAD，则线段PD长为 ．
26．（2017•扬州）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以 PE为边作正方形PEFG，顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O．
（1）若AP＝1，则AE＝ ；
（2）①求证：点O一定在△APE的外接圆上；
②当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；
（3）在点P从点A到点B的运动过程中，△APE的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到AB边的距离的最大值．
一十五．几何变换综合题（共1小题）
27．（2019•扬州）如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）．直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B′．
（1）如图1，当PB＝4时，若点B′恰好在AC边上，则AB′的长度为 ；
（2）如图2，当PB＝5时，若直线l∥AC，则BB′的长度为 ；
（3）如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线l始终垂直于AC，△ACB′的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；
（4）当PB＝6时，在直线l变化过程中，求△ACB′面积的最大值．
一十六．频数（率）分布直方图（共1小题）
28．（2019•扬州）扬州市“五个一百工程“在各校普遍开展，为了了解某校学生每天课外阅读所用的时间情况，从该校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将结果绘制成如图不完整的频数分布表和频数分布直方图．
每天课外阅读时间t/h
频数
频率
0＜t≤0.5
24
0.5＜t≤1
36
0.3
1＜t≤1.5
0.4
1.5＜t≤2
12
b
合计
a
1
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中a＝ ，b＝ ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若该校有学生1200人，试估计该校学生每天课外阅读时间超过1小时的人数．
一十七．条形统计图（共1小题）
29．（2017•扬州）“富春包子”是扬州特色早点，富春茶社为了了解顾客对各种早点的喜爱情况，设计了如右图的调查问卷，对顾客进行了抽样调查．根据统计数据绘制了如下尚不完整的统计图．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）条形统计图中“汤包”的人数是 ，扇形统计图中“蟹黄包”部分的圆心角为 °；
（2）根据抽样调查结果，请你估计富春茶社1000名顾客中喜欢“汤包”的有多少人？
一十八．列表法与树状图法（共3小题）
30．（2019•扬州）只有1和它本身两个因数且大于1的正整数叫做素数．我国数学家陈景润从哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是：“每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和”．如20＝3+17．
（1）若从7、11、19、23这4个素数中随机抽取一个，则抽到的数是7的概率是 ；
（2）从7、11、19、23这4个素数中随机抽取1个数，再从余下的3个数中随机抽取1个数，再用画树状图或列表的方法，求抽到的两个素数之和等于30的概率．
31．（2018•扬州）4张相同的卡片分别写着数字﹣1、﹣3、4、6，将卡片的背面朝上，并洗匀．
（1）从中任意抽取1张，抽到的数字是奇数的概率是 ；
（2）从中任意抽取1张，并将所取卡片上的数字记作一次函数y＝kx+b中的k；再从余下的卡片中任意抽取1张，并将所取卡片上的数字记作一次函数y＝kx+b中的b．利用画树状图或列表的方法，求这个一次函数的图象经过第一、二、四象限的概率．
32．（2017•扬州）车辆经过润扬大桥收费站时，4个收费通道 A、B、C、D中，可随机选择其中的一个通过．
（1）一辆车经过此收费站时，选择 A通道通过的概率是 ；
（2）求两辆车经过此收费站时，选择不同通道通过的概率．
参考答案与试题解析
一．平方差公式（共1小题）
1．（2018•扬州）计算或化简
（1）（2x+3）2﹣（2x+3）（2x﹣3）
【解析】解：（1）（2x+3）2﹣（2x+3）（2x﹣3）
＝（2x）2+12x+9﹣[（2x）2﹣9]
＝（2x）2+12x+9﹣（2x）2+9
＝12x+18
二．二元一次方程组的解（共1小题）
2．（2021•扬州）已知方程组的解也是关于x、y的方程ax+y＝4的一个解，求a的值．
【解析】解：方程组，
把②代入①得：2(y﹣1)+y＝7，
解得：y＝3，代入①中，
解得：x＝2，
把x＝2，y＝3代入方程ax+y＝4得，2a+3＝4，
解得：a＝．
三．解二元一次方程组（共1小题）
3．（2018•扬州）对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：a⊗b＝2a+b．例如3⊗4＝2×3+4＝10．
（1）求2⊗（﹣5）的值；
（2）若x⊗（﹣y）＝2，且2y⊗x＝﹣1，求x+y的值．
【解析】解：（1）∵a⊗b＝2a+b，
∴2⊗（﹣5）＝2×2+（﹣5）＝4﹣5＝﹣1；
（2）∵x⊗（﹣y）＝2，且2y⊗x＝﹣1，
∴，
两式相加，可得
3x+3y＝1，
∴x+y＝．
四．分式方程的应用（共3小题）
4．（2021•扬州）为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天．问原先每天生产多少万剂疫苗？
【解析】解：设原先每天生产x万剂疫苗，
由题意可得：，
解得：x＝40，
经检验：x＝40是原方程的解，
∴原先每天生产40万剂疫苗．
5．（2018•扬州）京沪铁路是我国东部沿海地区纵贯南北的交通大动脉，全长1462km，是我国最繁忙的铁路干线之一．如果从北京到上海的客车速度是货车速度的2倍，客车比货车少用6h，那么货车的速度是多少？（精确到0.1km/h）
【解析】解：设货车的速度是x千米/小时，则客车的速度是2x千米/小时，
根据题意得：﹣＝6，
解得：x＝121≈121.8．
经检验，x＝121.8为此分式方程的解．
答：货车的速度约是121.8千米/小时．
6．（2017•扬州）星期天，小明和小芳从同一小区门口同时出发，沿同一路线去离该小区1800米的少年宫参加活动，为响应“节能环保，绿色出行”的号召，两人都步行，已知小明的速度是小芳的速度的1.2倍，结果小明比小芳早6分钟到达，求小芳的速度．
【解析】解：设小芳的速度是x米/分钟，则小明的速度是1.2x米/分钟，根据题意得：
﹣＝6，
解得：x＝50，
经检验x＝50是原方程的解，
答：小芳的速度是50米/分钟．
五．一元一次不等式组的整数解（共2小题）
7．（2019•扬州）解不等式组，并写出它的所有负整数解．
【解析】解：解不等式4（x+1）≤7x+13，得：x≥﹣3，
解不等式x﹣4＜，得：x＜2，
则不等式组的解集为﹣3≤x＜2，
所以不等式组的所有负整数解为﹣3、﹣2、﹣1．
8．（2017•扬州）解不等式组，并求出它的所有整数解．
【解析】解：解不等式2x+3≥0，得：x≥﹣1.5，
解不等式5﹣x＞0，得：x＜3，
则不等式组的解集为﹣1.5≤x＜3，
∴不等式组的整数解为﹣1、0、1、2．
六．二次函数的应用（共3小题）
9．（2021•扬州）甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：
甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元．
乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元．
说明：①汽车数量为整数；②月利润＝月租车费﹣月维护费；③两公司月利润差＝月利润较高公司的利润﹣月利润较低公司的利润．
在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：
（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是 48000 元；当每个公司租出的汽车为 37 辆时，两公司的月利润相等；
（2）求两公司月利润差的最大值；
（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元（a＞0）给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a的取值范围．
【解析】解：（1）[（50﹣10）×50+3000]×10﹣200×10＝48000元，
当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是48000元；
设每个公司租出的汽车为x辆，
由题意可得：[（50﹣x）×50+3000]x﹣200x＝3500x﹣1850，
解得：x＝37或x＝﹣1（舍），
∴当每个公司租出的汽车为37辆时，两公司的月利润相等；
（2）设两公司的月利润分别为y甲，y乙，月利润差为y，
则y甲＝[（50﹣x）×50+3000]x﹣200x，
y乙＝3500x﹣1850，
当甲公司的利润大于乙公司时，0＜x＜37，
y＝y甲﹣y乙＝[（50﹣x）×50+3000]x﹣200x﹣（3500x﹣1850）
＝﹣50x2+1800x+1850，
当x＝＝18时，利润差最大，且为18050元；
当乙公司的利润大于甲公司时，37＜x≤50，
y＝y乙﹣y甲＝3500x﹣1850﹣[（50﹣x）×50+3000]x+200x
＝50x2﹣1800x﹣1850，
∵对称轴为直线x＝＝18，50＞0，
∴当37＜x≤50时，y随x的增大而增大，
∴当x＝50时，利润差最大，且为33150元，
综上：两公司月利润差的最大值为33150元；
（3）∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，
则利润差为y＝﹣50x2+1800x+1850﹣ax＝﹣50x2+（1800﹣a）x+1850，
对称轴为直线x＝，
∵x只能取整数，且当两公司租出的汽车均为17辆时，月利润之差最大，
∴16.5＜＜17.5，
解得：50＜a＜150．
10．（2017•扬州）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量n（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如表：
销售价格x（元/千克）
30
35
40
45
50
日销售量n（千克）
600
450
300
150
0
（1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定n与x之间的函数表达式，并直接写出n与x的函数表达式为 n＝﹣30x+1500 ；
（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？
（3）农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元（a＞0）的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a的值．（日获利＝日销售利润﹣日支出费用）
【解析】解：（1）假设n与x成一次函数关系，设n与x之间的函数表达式为n＝kx+b，
将（30，600），40，300）代入，得：
，
解得：，
∴n＝﹣30x+1500，
检验：当x＝35时，n＝450；当x＝45，n＝4150；当x＝50，n＝0，表中数据均符合上述一次函数解析式，
故答案为：n＝﹣30x+1500；
（2）设日销售利润为w元，由题意得：
w＝n（x﹣30）
＝（﹣30x+1500）（x﹣30）
＝﹣30x2+2400x﹣45000
＝﹣30（x﹣40）2+3000，
∵a＝﹣30＜0，抛物线开口向下，
∴当x＝40时，w有最大值3000．
∴这批农产品的销售价格定为40元/千克，才能使日销售利润最大；
（3）设日获利为W元，由题意得：
W＝n（x﹣30﹣a）
＝（﹣30x+1500）（x﹣30﹣a）
＝﹣30x2+（2400+30a）x﹣（1500a+45000），
对称轴为x＝﹣＝40+a．
①若a≥10，则当x＝45时，W有最大值，最大值为：
W＝﹣30×452+（2400+30×a）×45﹣（1500a+45000）
＝2250﹣150a＜2430，
∴x＝45不符合题意，舍去；
②若a＜10，则当x＝40+a时，W有最大值，将x＝40+a代入，得：
W＝30（a2﹣10a+100），
当W＝2430时，
2430＝30（a2﹣10a+100），
解得a1＝2，a2＝38（舍），
综上所述，a的值为2．
11．（2018•扬州）“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围．
【解析】解：（1）设y＝kx+b，
∵直线y＝kx+b经过点（40，300），（55，150），
∴，
解得：．
故y与x之间的函数关系式为：y＝﹣10x+700，
（2）由题意，得
﹣10x+700≥240，
解得x≤46，
∴30＜x≤46，
设利润为w＝（x﹣30）•y＝（x﹣30）（﹣10x+700），
w＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000，
∵﹣10＜0，
∴x＜50时，w随x的增大而增大，
∴x＝46时，w最大＝﹣10（46﹣50）2+4000＝3840，
答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元；
（3）w﹣150＝﹣10x2+1000x﹣21000﹣150＝3600，
﹣10（x﹣50）2＝﹣250，
x﹣50＝±5，
x1＝55，x2＝45，
如图所示，由图象得：
当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．
七．二次函数综合题（共2小题）
12．（2021•扬州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．
（1）b＝ ﹣2 ，c＝ ﹣3 ；
（2）若点D在该二次函数的图象上，且S△ABD＝2S△ABC，求点D的坐标；
（3）若点P是该二次函数图象上位于x轴上方的一点，且S△APC＝S△APB，直接写出点P的坐标．
【解析】解：（1）∵点A和点B在二次函数y＝x2+bx+c图象上，
则，解得：，
故答案为：﹣2，﹣3；
（2）连接BC，由题意可得：
A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），y＝x2﹣2x﹣3，
∴S△ABC＝＝6，
∵S△ABD＝2S△ABC，设点D（m，m2﹣2m﹣3），
∴|yD|＝2×6，即×4×|m2﹣2m﹣3|＝2×6，
解得：m＝或，代入y＝x2﹣2x﹣3，
可得：y值都为6，
∴D（，6）或（，6）；
（3）设P（n，n2﹣2n﹣3），
∵点P在抛物线位于x轴上方的部分，
∴n＜﹣1或n＞3，
当点P在点A左侧时，即n＜﹣1，
可知点C到AP的距离小于点B到AP的距离，
∴S△APC＜S△APB，不成立；
当点P在点B右侧时，即n＞3，
∵△APC和△APB都以AP为底，若要面积相等，
则点B和点C到AP的距离相等，即BC∥AP，
设直线BC的解析式为y＝kx+p，
则，解得：，
则设直线AP的解析式为y＝x+q，将点A（﹣1，0）代入，
则﹣1+q＝0，解得：q＝1，
则直线AP的解析式为y＝x+1，将P（n，n2﹣2n﹣3）代入，
即n2﹣2n﹣3＝n+1，
解得：n＝4或n＝﹣1（舍），
n2﹣2n﹣3＝5，
∴点P的坐标为（4，5）．
13．（2018•扬州）如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，6），点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A运动，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止．设运动时间为t秒．
（1）当t＝2时，线段PQ的中点坐标为 （，2） ；
（2）当△CBQ与△PAQ相似时，求t的值；
（3）当t＝1时，抛物线y＝x2+bx+c经过P，Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K，如图2所示，问该抛物线上是否存在点D，使∠MQD＝∠MKQ？若存在，求出所有满足条件的D的坐标；若不存在，说明理由．
【解析】解：（1）如图1，∵点A的坐标为（3，0），
∴OA＝3，
当t＝2时，OP＝t＝2，AQ＝2t＝4，
∴P（2，0），Q（3，4），
∴线段PQ的中点坐标为：（，），即（，2）；
故答案为：（，2）；
（2）如图1，∵当点P与点A重合时运动停止，且△PAQ可以构成三角形，
∴0＜t＜3，
∵四边形OABC是矩形，
∴∠B＝∠PAQ＝90°，
∴当△CBQ与△PAQ相似时，存在两种情况：
①当△PAQ∽△QBC时，，
∴，
4t2﹣15t+9＝0，
（t﹣3）（t﹣）＝0，
t1＝3（舍），t2＝，
②当△PAQ∽△CBQ时，，
∴，
t2﹣9t+9＝0，
t＝，
∵＞3，
∴t＝不符合题意，舍去，
综上所述，当△CBQ与△PAQ相似时，t的值是或；
（3）当t＝1时，P（1，0），Q（3，2），
把P（1，0），Q（3，2）代入抛物线y＝x2+bx+c中得：
，解得：，
∴抛物线：y＝x2﹣3x+2＝（x﹣）2﹣，
∴顶点K（，﹣），
∵Q（3，2），M（0，2），
∴MQ∥x轴，
作抛物线对称轴，交MQ于E，设DQ交y轴于H，
∴KM＝KQ，KE⊥MQ，
∴∠MKE＝∠QKE＝∠MKQ，
如图2，∠MQD＝∠MKQ＝∠QKE，
∴tan∠MQD＝tan∠QKE＝，
即，MH＝2，
∴H（0，4），
易得HQ的解析式为：y＝﹣x+4，
则，
x2﹣3x+2＝﹣x+4，
解得：x1＝3（舍），x2＝﹣，
∴D（﹣，）；
同理，在M的下方，y轴上存在点H，如图3，使∠HQM＝∠MKQ＝∠QKE，
由对称性得：H（0，0），
易得OQ的解析式：y＝x，
则，
x2﹣3x+2＝x，
解得：x1＝3（舍），x2＝，
∴D（，）；
综上所述，点D的坐标为：D（﹣，）或（，）．
八．三角形综合题（共3小题）
14．（2017•扬州）我们规定：三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在△ABC中，AO是BC边上的中线，AB与AC的“极化值”就等于AO2﹣BO2的值，可记为AB△AC＝AO2﹣BO2．
（1）在图1中，若∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，AO是BC边上的中线，则AB△AC＝ 0 ，OC△OA＝ 7 ；
（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，求AB△AC、BA△BC的值；
（3）如图3，在△ABC中，AB＝AC，AO是BC边上的中线，点N在AO上，且ON＝AO．已知AB△AC＝14，BN△BA＝10，求△ABC的面积．
【解析】解：①∵∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，
∴BC＝10，
∵点O是BC的中点，
∴OA＝OB＝OC＝BC＝5，
∴AB△AC＝AO2﹣BO2＝25﹣25＝0，
②如图1，取AC的中点D，连接OD，
∴CD＝AC＝3，
∵OA＝OC＝5，
∴OD⊥AC，
在Rt△COD中，OD＝＝4，
∴OC△OA＝OD2﹣CD2＝16﹣9＝7，
故答案为0，7；
（2）①如图2，取BC的中点O，连接AO，
∵AB＝AC，
∴AO⊥BC，
在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝30°，
在Rt△AOB中，AB＝4，∠ABC＝30°，
∴AO＝2，OB＝2，
∴AB△AC＝AO2﹣BO2＝4﹣12＝﹣8，
②取AC的中点D，连接BD，
∴AD＝CD＝AC＝2，
过点B作BE⊥AC交CA的延长线于E，
在Rt△ABE中，∠BAE＝180°﹣∠BAC＝60°，
∴∠ABE＝30°，
∵AB＝4，
∴AE＝2，BE＝2，
∴DE＝AD+AE＝4，
在Rt△BED中，根据勾股定理得，BD＝＝＝2，
∴BA△BC＝BD2﹣CD2＝24；
（3）如图3，
设ON＝x，OB＝OC＝y，
∴BC＝2y，OA＝3x，
∵AB△AC＝14，
∴OA2﹣OB2＝14，
∴9x2﹣y2＝14①，
取AN的中点F，连接BF，
∴AF＝FN＝AN＝×OA＝ON＝x，
∴OF＝ON+FN＝2x，
在Rt△BOF中，BF2＝OB2+OF2＝y2+4x2，
∵BN△BA＝10，
∴BF2﹣FN2＝10，
∴y2+4x2﹣x2＝10，
∴3x2+y2＝10②
联立①②得，或（舍），
∴BC＝4，OA＝3，
∴S△ABC＝BC×AO＝6．
15．（2019•扬州）如图，平面内的两条直线l1、l2，点A，B在直线l1上，点C、D在直线l2上，过A、B两点分别作直线l2的垂线，垂足分别为A1，B1，我们把线段A1B1叫做线段AB在直线l2上的正投影，其长度可记作T（AB，CD）或T，特别地线段AC在直线l2上的正投影就是线段A1C．
请依据上述定义解决如下问题：
（1）如图1，在锐角△ABC中，AB＝5，T（AC，AB）＝3，则T（BC，AB）＝ 2 ；
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，T（AC，AB）＝4，T（BC，AB）＝9，求△ABC的面积；
（3）如图3，在钝角△ABC中，∠A＝60°，点D在AB边上，∠ACD＝90°，T（AD，AC）＝2，T（BC，AB）＝6，求T（BC，CD），
【解析】解：（1）如图1中，作CH⊥AB．
∵T（AC，AB）＝3，
∴AH＝3，
∵AB＝5，
∴BH＝5﹣3＝2，
∴T（BC，AB）＝BH＝2，
故答案为2．
（2）如图2中，作CH⊥AB于H．
∵T（AC，AB）＝4，T（BC，AB）＝9，
∴AH＝4，BH＝9，
∵∠ACB＝∠CHA＝∠CHB＝90°，
∴∠A+∠ACH＝90°，∠ACH+∠BCH＝90°，
∴∠A＝∠BCH，
∴△ACH∽△CBH，
∴＝，
∴＝，
∴CH＝6，
∴S△ABC＝•AB•CH＝×13×6＝39．
（3）如图3中，作CH⊥AD于H，BK⊥CD于K．
∵∠ACD＝90°，T（AD，AC）＝2，
∴AC＝2，
∵∠A＝60°，
∴∠ADC＝∠BDK＝30°，
∴CD＝AC＝2，AD＝2AC＝4，AH＝AC＝1，DH＝AD﹣AH＝3，
∵T（BC，AB）＝6，CH⊥AB，
∴BH＝6，
∴DB＝BH﹣DH＝3，
在Rt△BDK中，∵∠K＝90°，BD＝3，∠BDK＝30°，
∴DK＝BD•cos30°＝，
∴CK＝CD+DK＝2+＝，
∴T（BC，CD）＝CK＝．
16．（2018•扬州）问题呈现
如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点D，N和E，C，DN和EC相交于点P，求tan∠CPN的值．
方法归纳
求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点M，N，可得MN∥EC，则∠DNM＝∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变换到Rt△DMN中．
问题解决
（1）直接写出图1中tan∠CPN的值为 2 ；
（2）如图2，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，求cos∠CPN的值；
思维拓展
（3）如图3，AB⊥BC，AB＝4BC，点M在AB上，且AM＝BC，延长CB到N，使BN＝2BC，连接AN交CM的延长线于点P，用上述方法构造网格求∠CPN的度数．
【解析】解：（1）如图1中，
∵EC∥MN，
∴∠CPN＝∠DNM，
∴tan∠CPN＝tan∠DNM，
∵∠DMN＝90°，
∴tan∠CPN＝tan∠DNM＝＝＝2，
故答案为2．
（2）如图2中，取格点D，连接CD，DM．
∵CD∥AN，
∴∠CPN＝∠DCM，
∵△DCM是等腰直角三角形，
∴∠DCM＝∠D＝45°，
∴cos∠CPN＝cos∠DCM＝．
（3）如图3中，如图取格点H，连接AH、HN．
∵PC∥HN，
∴∠CPN＝∠ANH，
∵AH＝HN，∠AHN＝90°，
∴∠ANH＝∠HAN＝45°，
∴∠CPN＝45°．
九．平行四边形的性质（共1小题）
17．（2019•扬州）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，已知CE＝6，BE＝8，DE＝10．
（1）求证：∠BEC＝90°；
（2）求cos∠DAE．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB，AD＝BC，DC∥AB，
∴∠DEA＝∠EAB，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠EAB，
∴∠DAE＝∠DEA
∴AD＝DE＝10，
∴BC＝10，AB＝CD＝DE+CE＝16，
∵CE2+BE2＝62+82＝100＝BC2，
∴△BCE是直角三角形，∠BEC＝90°；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠BEC＝90°，
∴AE＝＝＝8，
∴cos∠DAE＝cos∠EAB＝＝＝．
一十．菱形的判定与性质（共1小题）
18．（2018•扬州）如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．
（1）求证：四边形AEBD是菱形；
（2）若DC＝，tan∠DCB＝3，求菱形AEBD的面积．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CE，
∴∠DAF＝∠EBF，
∵∠AFD＝∠EFB，AF＝FB，
∴△AFD≌△BFE，
∴AD＝EB，∵AD∥EB，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵BD＝AD，
∴四边形AEBD是菱形．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠DCB，
∴tan∠ABE＝tan∠DCB＝3，
∵四边形AEBD是菱形，
∴AB⊥DE，AF＝FB，EF＝DF，
∴tan∠ABE＝＝3，
∵BF＝，
∴EF＝，
∴DE＝3，
∴S菱形AEBD＝•AB•DE＝•3＝15．
一十一．四边形综合题（共3小题）
19．（2020•扬州）如图1，已知点O在四边形ABCD的边AB上，且OA＝OB＝OC＝OD＝2，OC平分∠BOD，与BD交于点G，AC分别与BD、OD交于点E、F．
（1）求证：OC∥AD；
（2）如图2，若DE＝DF，求的值；
（3）当四边形ABCD的周长取最大值时，求的值．
【解析】（1）证明：∵AO＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
∵OC平分∠BOD，
∴∠DOC＝∠COB，
又∵∠DOC+∠COB＝∠OAD+∠ADO，
∴∠ADO＝∠DOC，
∴CO∥AD；
（2）解：如图1，
∵OA＝OB＝OD，
∴∠ADB＝90°，
设∠DAC＝α，则∠ACO＝∠DAC＝α．
∵OA＝OD，DA∥OC，
∴∠ODA＝∠OAD＝2α，
∴∠DFE＝3α，
∵DF＝DE，
∴∠DEF＝∠DFE＝3α，
∴4α＝90°，
∴α＝22.5°，
∴∠DAO＝45°，
∴△AOD和△ABD为等腰直角三角形，
∴AD＝AO，
∴，
∵DE＝DF，
∴∠DFE＝∠DEF，
∵∠DFE＝∠AFO，
∴∠AFO＝∠AED，
又∠ADE＝∠AOF＝90°，
∴△ADE∽△AOF，
∴．
（3）解：如图2，
∵OD＝OB，∠BOC＝∠DOC，
∴△BOC≌△DOC（SAS），
∴BC＝CD，
设BC＝CD＝x，CG＝m，则OG＝2﹣m，
∵OB2﹣OG2＝BC2﹣CG2，
∴4﹣（2﹣m）2＝x2﹣m2，
解得：m＝，
∴OG＝2﹣，
∵OD＝OB，∠DOG＝∠BOG，
∴G为BD的中点，
又∵O为AB的中点，
∴AD＝2OG＝4﹣，
∴四边形ABCD的周长为2BC+AD+AB＝2x+4﹣+4＝﹣+2x+8＝﹣+10，
∵﹣＜0，
∴x＝2时，四边形ABCD的周长有最大值为10．
∴BC＝2，
∴△BCO为等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∵OC∥AD，
∴∠DAO＝∠COB＝60°，
∴∠ADF＝∠DOC＝60°，∠DAE＝30°，
∴∠AFD＝90°，
∴，DF＝DA，
∴．
20．（2019•扬州）如图，四边形ABCD是矩形，AB＝20，BC＝10，以CD为一边向矩形外部作等腰直角△GDC，∠G＝90°．点M在线段AB上，且AM＝a，点P沿折线AD﹣DG运动，点Q沿折线BC﹣CG运动（与点G不重合），在运动过程中始终保持线段PQ∥AB．设PQ与AB之间的距离为x．
（1）若a＝12．
①如图1，当点P在线段AD上时，若四边形AMQP的面积为48，则x的值为 3 ；
②在运动过程中，求四边形AMQP的最大面积；
（2）如图2，若点P在线段DG上时，要使四边形AMQP的面积始终不小于50，求a的取值范围．
【解析】（1）解：①P在线段AD上，PQ＝AB＝20，AP＝x，AM＝12，
四边形AMQP的面积＝（12+20）x＝48，
解得：x＝3；
故答案为：3；
②当P，在AD上运动时，P到D点时四边形AMQP面积最大，四边形AMQP为直角梯形，
∴0＜x≤10时，四边形AMQP面积的最大值＝（12+20）10＝160，
当P在DG上运动，10＜x＜20，四边形AMQP为不规则梯形，
作PK⊥AB于K，交CD于N，作GE⊥CD于E，交AB于F，如图2所示：
则PK＝x，PN＝x﹣10，EF＝BC＝10，
∵△GDC是等腰直角三角形，
∴DE＝CE，GE＝CD＝10，
∴GF＝GE+EF＝20，
∴GH＝20﹣x，
由题意得：PQ∥CD，
∴△GPQ∽△GDC，
∴＝，
即＝，
解得：PQ＝40﹣2x，
∴梯形AMQP的面积＝（12+40﹣2x）×x＝﹣x2+26x＝﹣（x﹣13）2+169，
∴当x＝13时，四边形AMQP的面积最大＝169；
（2）解：P在DG上，则10≤x＜20，AM＝a，PQ＝40﹣2x，
梯形AMQP的面积S＝（a+40﹣2x）×x＝﹣x2+x，对称轴为：x＝10+，
∵0≤a≤20，
∴10≤10+≤15，对称轴在10和15之间，
∵10≤x＜20，二次函数图象开口向下，
∴当x无限接近于20时，S最小，
∴﹣202+×20≥50，
∴a≥5；
综上所述，a的取值范围为5≤a≤20．
21．（2017•扬州）如图，将△ABC沿着射线BC方向平移至△A'B'C'，使点A'落在∠ACB的外角平分线CD上，连接AA'．
（1）判断四边形ACC'A'的形状，并说明理由；
（2）在△ABC中，∠B＝90°，AB＝24，cos∠BAC＝，求CB'的长．
【解析】解：（1）四边形ACC'A'是菱形．理由如下：
由平移的性质得到：AC∥A′C′，且AC＝A′C′，
则四边形ACC'A'是平行四边形．
∴∠ACC′＝∠AA′C′，
又∵CD平分∠ACB的外角，即CD平分∠ACC′，
∴CD也平分∠AA′C′，
∴四边形ACC'A'是菱形．
（2）∵在△ABC中，∠B＝90°，AB＝24，cos∠BAC＝，
∴cos∠BAC＝＝，即＝，
∴AC＝26．
∴由勾股定理知：BC＝＝＝10．
又由（1）知，四边形ACC'A'是菱形，
∴AC＝AA′＝26．
由平移的性质得到：AB∥A′B′，AB＝A′B′，则四边形ABB′A′是平行四边形，
∴AA′＝BB′＝26，
∴CB′＝BB′﹣BC＝26﹣10＝16．
一十二．直线与圆的位置关系（共1小题）
22．（2017•扬州）如图，已知平行四边形OABC的三个顶点A、B、C在以O为圆心的半圆上，过点C作CD⊥AB，分别交AB、AO的延长线于点D、E，AE交半圆O于点F，连接CF．
（1）判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由；
（2）①求证：CF＝OC；
②若半圆O的半径为12，求阴影部分的周长．
【解析】解：（1）结论：DE是⊙O的切线．
理由：∵CD⊥AD，
∴∠D＝90°，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AD平行OC，
∴∠D＝∠OCE＝90°，
∴CO⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．
（2）①连接BF．
∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC∥AF，AB＝OC，
∴∠AFB＝∠CBF，
∴＝，
∴AB＝CF，
∴CF＝OC．
②∵CF＝OC＝OF，
∴△COF是等边三角形，
∴∠COF＝60°，
在Rt△OCE中，∵OC＝12，∠COE＝60°，∠OCE＝90°，
∴OE＝2OC＝24，EC＝12，
∵OF＝12，
∴EF＝12，
∴的长＝＝4π，
∴阴影部分的周长为4π+12+12．
一十三．切线的判定与性质（共2小题）
23．（2019•扬州）如图，AB是⊙O的弦，过点O作OC⊥OA，OC交AB于P，CP＝BC．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）已知∠BAO＝25°，点Q是上的一点．
①求∠AQB的度数；
②若OA＝18，求的长．
【解析】（1）证明：连接OB，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵PC＝CB，
∴∠CPB＝∠PBC，
∵∠APO＝∠CPB，
∴∠APO＝∠CBP，
∵OC⊥OA，
∴∠AOP＝90°，
∴∠OAP+∠APO＝90°，
∴∠CBP+∠ABO＝90°，
∴∠CBO＝90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：①∵∠BAO＝25°，
∴∠ABO＝25°，∠APO＝65°，
∴∠POB＝∠APO﹣∠ABO＝40°，
∴∠AQB＝（∠AOP+∠POB）＝130°＝65°；
②∵∠AQB＝65°，
∴∠AOB＝130°，
∴弧AQB的度数＝360°﹣130°＝230°，
∵m在弧AB上，
∴的长＝的长＝＝23π．
24．（2018•扬州）如图，在△ABC中，AB＝AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE为半径作半圆，交AO于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点F是OA的中点，OE＝3，求图中阴影部分的面积；
（3）在（2）的条件下，点P是BC边上的动点，当PE+PF取最小值时，直接写出BP的长．
【解析】（1）证明：作OH⊥AC于H，如图，
∵AB＝AC，AO⊥BC于点O，
∴AO平分∠BAC，
∵OE⊥AB，OH⊥AC，
∴OH＝OE，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：∵点F是AO的中点，
∴AO＝2OF＝6，
而OE＝3，
∴∠OAE＝30°，∠AOE＝60°，
∴AE＝OE＝3，
∴图中阴影部分的面积＝S△AOE﹣S扇形EOF＝×3×3﹣＝；
（3）解：作F点关于BC的对称点F′，连接EF′交BC于P，如图，
∵PF＝PF′，
∴PE+PF＝PE+PF′＝EF′，此时EP+FP最小，
∵OF′＝OF＝OE，
∴∠F′＝∠OEF′，
而∠AOE＝∠F′+∠OEF′＝60°，
∴∠F′＝30°，
∴∠F′＝∠EAF′，
∴EF′＝EA＝3，
即PE+PF最小值为3，
在Rt△OPF′中，OP＝OF′＝，
在Rt△ABO中，OB＝OA＝×6＝2，
∴BP＝2﹣＝，
即当PE+PF取最小值时，BP的长为．
一十四．圆的综合题（共2小题）
25．（2021•扬州）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：
已知线段BC＝2，使用作图工具作∠BAC＝30°，尝试操作后思考：
（1）这样的点A唯一吗？
（2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？
“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外），…．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．
（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．
①该弧所在圆的半径长为 2 ；
②△ABC面积的最大值为 ；
（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为A′，请你利用图1证明∠BA′C＞30°．
（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形ABCD的边长AB＝2，BC＝3，点P在直线CD的左侧，且tan∠DPC＝．
①线段PB长的最小值为 ；
②若S△PCD＝S△PAD，则线段PD长为 ．
【解析】解：（1）①设O为圆心，连接BO，CO，
∵∠BAC＝30°，
∴∠BOC＝60°，又OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝OC＝BC＝2，即半径为2；
②∵△ABC以BC为底边，BC＝2，
∴当点A到BC的距离最大时，△ABC的面积最大，
如图，过点O作BC的垂线，垂足为E，延长EO，交圆于D，
∴BE＝CE＝1，DO＝BO＝2，
∴OE＝，
∴DE＝，
∴△ABC的最大面积为＝；
（2）如图，延长BA′，交圆于点D，连接CD，
∵点D在圆上，
∴∠BDC＝∠BAC，
∵∠BA′C＝∠BDC+∠A′CD，
∴∠BA′C＞∠BDC，
∴∠BA′C＞∠BAC，即∠BA′C＞30°；
（3）①如图，当点P在BC上，且PC＝时，
∵∠PCD＝90°，AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，
∴tan∠DPC＝，为定值，
连接PD，设点Q为PD中点，以点Q为圆心，PD为半径画圆，
∴当点P在优弧CPD上时，tan∠DPC＝，连接BQ，与圆Q交于P′，
此时BP′即为BP的最小值，过点Q作QE⊥BE，垂足为E，
∵点Q是PD中点，
∴点E为PC中点，即QE＝CD＝1，PE＝CE＝PC＝，
∴BE＝BC﹣CE＝3﹣＝，
∴BQ＝，
∵PD＝，
∴圆Q的半径为，
∴BP′＝BQ﹣P′Q＝，即BP的最小值为；
②∵AD＝3，CD＝2，S△PCD＝S△PAD，
则，
∴△PAD中AD边上的高＝△PCD中CD边上的高，
即点P到AD的距离和点P到CD的距离相等，
则点P到AD和CD的距离相等，即点P在∠ADC的平分线上，如图，
过点C作CF⊥PD，垂足为F，
∵PD平分∠ADC，
∴∠ADP＝∠CDP＝45°，
∴△CDF为等腰直角三角形，又CD＝2，
∴CF＝DF＝，
∵tan∠DPC＝，
∴PF＝，
∴PD＝DF+PF＝．
解法二：如图，作直径DG，连接PG，
∵△CDF为等腰直角三角形，又CD＝2，
∴∠CDF＝∠CED＝45°，
∴CD＝CE＝2，
∴DE＝2，
∵∠DPC＝∠GDC，
∴tan∠DGC＝tan∠DPC＝＝，
∴CG＝1.5，EG＝0.5，
∵DG是直径，
∴∠DPG＝∠EPG＝90°，
∴PE＝EG＝，
∴PD＝DE﹣PE＝2﹣＝．
26．（2017•扬州）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以 PE为边作正方形PEFG，顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O．
（1）若AP＝1，则AE＝ ；
（2）①求证：点O一定在△APE的外接圆上；
②当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；
（3）在点P从点A到点B的运动过程中，△APE的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到AB边的距离的最大值．
【解析】（1）解：∵四边形ABCD、四边形PEFG是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠EPG＝90°，PF⊥EG，AB＝BC＝4，∠OEP＝45°，
∴∠AEP+∠APE＝90°，∠BPC+∠APE＝90°，
∴∠AEP＝∠BPC，
∴△APE∽△BCP
∴，即，
解得：AE＝；
故答案为：；
（2）①证明：如图3，
取PE的中点Q，连接AQ，OQ，
∵∠POE＝90°，
∴OQ＝PE，
∵△APE是直角三角形，
∴点Q是Rt△APE外接圆的圆心，
∴AQ＝PE，
∴OQ＝AQ，
∴点O一定在△APE的外接圆上；（到圆心的距离等于半径的点必在此圆上）
②解：连接OA、AC，如图1所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，∠BAC＝45°，
∴AC＝＝4，
∵A、P、O、E四点共圆，
∴∠OAP＝∠OEP＝45°，
∴点O在AC上，
当P运动到点B时，O为AC的中点，OA＝AC＝2，
即点O经过的路径长为2；
（3）解：设△APE的外接圆的圆心为M，作MN⊥AB于N，如图2所示：
则MN∥AE，
∵ME＝MP，
∴AN＝PN，
∴MN＝AE，
设AP＝x，则BP＝4﹣x，
由（1）得：△APE∽△BCP，
∴，即，
解得：AE＝x﹣x2＝﹣（x﹣2）2+1，
∴x＝2时，AE的最大值为1，此时MN的值最大＝×1＝，
即△APE的圆心到AB边的距离的最大值为．
一十五．几何变换综合题（共1小题）
27．（2019•扬州）如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）．直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B′．
（1）如图1，当PB＝4时，若点B′恰好在AC边上，则AB′的长度为 4或0 ；
（2）如图2，当PB＝5时，若直线l∥AC，则BB′的长度为 5 ；
（3）如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线l始终垂直于AC，△ACB′的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；
（4）当PB＝6时，在直线l变化过程中，求△ACB′面积的最大值．
【解析】解：（1）如图1中，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，AB＝BC＝AC＝8，
∵PB＝4，
∴PB′＝PB＝PA＝4，
∵∠A＝60°，
∴△APB′是等边三角形，
∴AB′＝AP＝4．
当直线l经过C时，点B′与A重合，此时AB′＝0
故答案为4或0．
（2）如图2中，设直线l交BC于点E．连接BB′交PE于O．
∵PE∥AC，
∴∠BPE＝∠A＝60°，∠BEP＝∠C＝60°，
∴△PEB是等边三角形，
∵PB＝5，
∴∵B，B′关于PE对称，
∴BB′⊥PE，BB′＝2OB
∴OB＝PB•sin60°＝，
∴BB′＝5．
故答案为5．
（3）如图3中，结论：面积不变．
∵B，B′关于直线l对称，
∴BB′⊥直线l，
∵直线l⊥AC，
∴AC∥BB′，
∴S△ACB′＝S△ACB＝×8××8＝16．
（4）如图4中，当B′P⊥AC时，△ACB′的面积最大，
设直线PB′交AC于E，
在Rt△APE中，∵PA＝2，∠PAE＝60°，
∴PE＝PA•sin60°＝，
∴B′E＝6+，
∴S△ACB′的最大值＝×8×（6+）＝4+24．
解法二：如图5中，过点P作PH垂直于AC，
由题意可得：B′在以P为圆心半径长为6的圆上运动，
当PH的延长线交圆P于点B′时面积最大，
此时BH＝6+，S△ACB′的最大值＝×8×（6+）＝4+24．
一十六．频数（率）分布直方图（共1小题）
28．（2019•扬州）扬州市“五个一百工程“在各校普遍开展，为了了解某校学生每天课外阅读所用的时间情况，从该校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将结果绘制成如图不完整的频数分布表和频数分布直方图．
每天课外阅读时间t/h
频数
频率
0＜t≤0.5
24
0.5＜t≤1
36
0.3
1＜t≤1.5
0.4
1.5＜t≤2
12
b
合计
a
1
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中a＝ 120 ，b＝ 0.1 ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若该校有学生1200人，试估计该校学生每天课外阅读时间超过1小时的人数．
【解析】解：（1）a＝36÷0.3＝120，b＝12÷120＝0.1，
故答案为：120，0.1；
（2）1＜t≤1.5的人数为120×0.4＝48，
补全图形如下：
（3）估计该校学生每天课外阅读时间超过1小时的人数为1200×（0.4+0.1）＝600（人）．
一十七．条形统计图（共1小题）
29．（2017•扬州）“富春包子”是扬州特色早点，富春茶社为了了解顾客对各种早点的喜爱情况，设计了如右图的调查问卷，对顾客进行了抽样调查．根据统计数据绘制了如下尚不完整的统计图．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）条形统计图中“汤包”的人数是 48人 ，扇形统计图中“蟹黄包”部分的圆心角为 72 °；
（2）根据抽样调查结果，请你估计富春茶社1000名顾客中喜欢“汤包”的有多少人？
【解析】解：（1）8÷5%＝160（人），
160×30%＝48（人），
32÷160×360°
＝0.2×360°
＝72°．
故条形统计图中“汤包”的人数是48人，扇形统计图中“蟹黄包”部分的圆心角为72°；
故答案为：48人，72．
（2）30%×1000＝300（人）．
故估计富春茶社1000名顾客中喜欢“汤包”的有300人．
一十八．列表法与树状图法（共3小题）
30．（2019•扬州）只有1和它本身两个因数且大于1的正整数叫做素数．我国数学家陈景润从哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是：“每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和”．如20＝3+17．
（1）若从7、11、19、23这4个素数中随机抽取一个，则抽到的数是7的概率是 ；
（2）从7、11、19、23这4个素数中随机抽取1个数，再从余下的3个数中随机抽取1个数，再用画树状图或列表的方法，求抽到的两个素数之和等于30的概率．
【解析】解：（1）从7、11、19、23这4个素数中随机抽取一个，则抽到的数是7的概率是．
故答案为．
（2）树状图如图所示：
共有12种可能，满足条件的有4种可能，
所以抽到的两个素数之和等于30的概率＝＝
31．（2018•扬州）4张相同的卡片分别写着数字﹣1、﹣3、4、6，将卡片的背面朝上，并洗匀．
（1）从中任意抽取1张，抽到的数字是奇数的概率是 ；
（2）从中任意抽取1张，并将所取卡片上的数字记作一次函数y＝kx+b中的k；再从余下的卡片中任意抽取1张，并将所取卡片上的数字记作一次函数y＝kx+b中的b．利用画树状图或列表的方法，求这个一次函数的图象经过第一、二、四象限的概率．
【解析】解：（1）从中任意抽取1张，抽到的数字是奇数的概率＝；
故答案为；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中k＜0，b＞0有4种结果，
所以这个一次函数的图象经过第一、二、四象限的概率＝＝．
32．（2017•扬州）车辆经过润扬大桥收费站时，4个收费通道 A、B、C、D中，可随机选择其中的一个通过．
（1）一辆车经过此收费站时，选择 A通道通过的概率是 ；
（2）求两辆车经过此收费站时，选择不同通道通过的概率．
【解析】解：（1）选择 A通道通过的概率＝，
故答案为：，
（2）设两辆车为甲，乙，
如图，两辆车经过此收费站时，会有16种可能的结果，其中选择不同通道通过的有12种结果，
∴选择不同通道通过的概率＝＝．
05解答题（提升题）知识点分类
一．平方差公式（共1小题）
1．（2018•扬州）计算或化简
（1）（2x+3）2﹣（2x+3）（2x﹣3）
二．二元一次方程组的解（共1小题）
2．（2021•扬州）已知方程组的解也是关于x、y的方程ax+y＝4的一个解，求a的值．
三．解二元一次方程组（共1小题）
3．（2018•扬州）对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：a⊗b＝2a+b．例如3⊗4＝2×3+4＝10．
（1）求2⊗（﹣5）的值；
（2）若x⊗（﹣y）＝2，且2y⊗x＝﹣1，求x+y的值．
四．分式方程的应用（共3小题）
4．（2021•扬州）为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天．问原先每天生产多少万剂疫苗？
5．（2018•扬州）京沪铁路是我国东部沿海地区纵贯南北的交通大动脉，全长1462km，是我国最繁忙的铁路干线之一．如果从北京到上海的客车速度是货车速度的2倍，客车比货车少用6h，那么货车的速度是多少？（精确到0.1km/h）
6．（2017•扬州）星期天，小明和小芳从同一小区门口同时出发，沿同一路线去离该小区1800米的少年宫参加活动，为响应“节能环保，绿色出行”的号召，两人都步行，已知小明的速度是小芳的速度的1.2倍，结果小明比小芳早6分钟到达，求小芳的速度．
五．一元一次不等式组的整数解（共2小题）
7．（2019•扬州）解不等式组，并写出它的所有负整数解．
8．（2017•扬州）解不等式组，并求出它的所有整数解．
六．二次函数的应用（共3小题）
9．（2021•扬州）甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：
甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元．
乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元．
说明：①汽车数量为整数；②月利润＝月租车费﹣月维护费；③两公司月利润差＝月利润较高公司的利润﹣月利润较低公司的利润．
在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：
（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是 元；当每个公司租出的汽车为 辆时，两公司的月利润相等；
（2）求两公司月利润差的最大值；
（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元（a＞0）给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a的取值范围．
10．（2017•扬州）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量n（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如表：
销售价格x（元/千克）
30
35
40
45
50
日销售量n（千克）
600
450
300
150
0
（1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定n与x之间的函数表达式，并直接写出n与x的函数表达式为 ；
（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？
（3）农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元（a＞0）的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a的值．（日获利＝日销售利润﹣日支出费用）
11．（2018•扬州）“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围．
七．二次函数综合题（共2小题）
12．（2021•扬州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．
（1）b＝ ，c＝ ；
（2）若点D在该二次函数的图象上，且S△ABD＝2S△ABC，求点D的坐标；
（3）若点P是该二次函数图象上位于x轴上方的一点，且S△APC＝S△APB，直接写出点P的坐标．
13．（2018•扬州）如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，6），点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A运动，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止．设运动时间为t秒．
（1）当t＝2时，线段PQ的中点坐标为 ；
（2）当△CBQ与△PAQ相似时，求t的值；
（3）当t＝1时，抛物线y＝x2+bx+c经过P，Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K，如图2所示，问该抛物线上是否存在点D，使∠MQD＝∠MKQ？若存在，求出所有满足条件的D的坐标；若不存在，说明理由．
八．三角形综合题（共3小题）
14．（2017•扬州）我们规定：三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在△ABC中，AO是BC边上的中线，AB与AC的“极化值”就等于AO2﹣BO2的值，可记为AB△AC＝AO2﹣BO2．
（1）在图1中，若∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，AO是BC边上的中线，则AB△AC＝ ，OC△OA＝ ；
（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，求AB△AC、BA△BC的值；
（3）如图3，在△ABC中，AB＝AC，AO是BC边上的中线，点N在AO上，且ON＝AO．已知AB△AC＝14，BN△BA＝10，求△ABC的面积．
15．（2019•扬州）如图，平面内的两条直线l1、l2，点A，B在直线l1上，点C、D在直线l2上，过A、B两点分别作直线l2的垂线，垂足分别为A1，B1，我们把线段A1B1叫做线段AB在直线l2上的正投影，其长度可记作T（AB，CD）或T，特别地线段AC在直线l2上的正投影就是线段A1C．
请依据上述定义解决如下问题：
（1）如图1，在锐角△ABC中，AB＝5，T（AC，AB）＝3，则T（BC，AB）＝ ；
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，T（AC，AB）＝4，T（BC，AB）＝9，求△ABC的面积；
（3）如图3，在钝角△ABC中，∠A＝60°，点D在AB边上，∠ACD＝90°，T（AD，AC）＝2，T（BC，AB）＝6，求T（BC，CD），
16．（2018•扬州）问题呈现
如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点D，N和E，C，DN和EC相交于点P，求tan∠CPN的值．
方法归纳
求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点M，N，可得MN∥EC，则∠DNM＝∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变换到Rt△DMN中．
问题解决
（1）直接写出图1中tan∠CPN的值为 ；
（2）如图2，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，求cos∠CPN的值；
思维拓展
（3）如图3，AB⊥BC，AB＝4BC，点M在AB上，且AM＝BC，延长CB到N，使BN＝2BC，连接AN交CM的延长线于点P，用上述方法构造网格求∠CPN的度数．
九．平行四边形的性质（共1小题）
17．（2019•扬州）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，已知CE＝6，BE＝8，DE＝10．
（1）求证：∠BEC＝90°；
（2）求cos∠DAE．
一十．菱形的判定与性质（共1小题）
18．（2018•扬州）如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．
（1）求证：四边形AEBD是菱形；
（2）若DC＝，tan∠DCB＝3，求菱形AEBD的面积．
一十一．四边形综合题（共3小题）
19．（2020•扬州）如图1，已知点O在四边形ABCD的边AB上，且OA＝OB＝OC＝OD＝2，OC平分∠BOD，与BD交于点G，AC分别与BD、OD交于点E、F．
（1）求证：OC∥AD；
（2）如图2，若DE＝DF，求的值；
（3）当四边形ABCD的周长取最大值时，求的值．
20．（2019•扬州）如图，四边形ABCD是矩形，AB＝20，BC＝10，以CD为一边向矩形外部作等腰直角△GDC，∠G＝90°．点M在线段AB上，且AM＝a，点P沿折线AD﹣DG运动，点Q沿折线BC﹣CG运动（与点G不重合），在运动过程中始终保持线段PQ∥AB．设PQ与AB之间的距离为x．
（1）若a＝12．
①如图1，当点P在线段AD上时，若四边形AMQP的面积为48，则x的值为 ；
②在运动过程中，求四边形AMQP的最大面积；
（2）如图2，若点P在线段DG上时，要使四边形AMQP的面积始终不小于50，求a的取值范围．
21．（2017•扬州）如图，将△ABC沿着射线BC方向平移至△A'B'C'，使点A'落在∠ACB的外角平分线CD上，连接AA'．
（1）判断四边形ACC'A'的形状，并说明理由；
（2）在△ABC中，∠B＝90°，AB＝24，cos∠BAC＝，求CB'的长．
一十二．直线与圆的位置关系（共1小题）
22．（2017•扬州）如图，已知平行四边形OABC的三个顶点A、B、C在以O为圆心的半圆上，过点C作CD⊥AB，分别交AB、AO的延长线于点D、E，AE交半圆O于点F，连接CF．
（1）判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由；
（2）①求证：CF＝OC；
②若半圆O的半径为12，求阴影部分的周长．
一十三．切线的判定与性质（共2小题）
23．（2019•扬州）如图，AB是⊙O的弦，过点O作OC⊥OA，OC交AB于P，CP＝BC．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）已知∠BAO＝25°，点Q是上的一点．
①求∠AQB的度数；
②若OA＝18，求的长．
24．（2018•扬州）如图，在△ABC中，AB＝AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE为半径作半圆，交AO于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点F是OA的中点，OE＝3，求图中阴影部分的面积；
（3）在（2）的条件下，点P是BC边上的动点，当PE+PF取最小值时，直接写出BP的长．
一十四．圆的综合题（共2小题）
25．（2021•扬州）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：
已知线段BC＝2，使用作图工具作∠BAC＝30°，尝试操作后思考：
（1）这样的点A唯一吗？
（2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？
“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外），…．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．
（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．
①该弧所在圆的半径长为 ；
②△ABC面积的最大值为 ；
（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为A′，请你利用图1证明∠BA′C＞30°．
（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形ABCD的边长AB＝2，BC＝3，点P在直线CD的左侧，且tan∠DPC＝．
①线段PB长的最小值为 ；
②若S△PCD＝S△PAD，则线段PD长为 ．
26．（2017•扬州）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以 PE为边作正方形PEFG，顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O．
（1）若AP＝1，则AE＝ ；
（2）①求证：点O一定在△APE的外接圆上；
②当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；
（3）在点P从点A到点B的运动过程中，△APE的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到AB边的距离的最大值．
一十五．几何变换综合题（共1小题）
27．（2019•扬州）如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）．直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B′．
（1）如图1，当PB＝4时，若点B′恰好在AC边上，则AB′的长度为 ；
（2）如图2，当PB＝5时，若直线l∥AC，则BB′的长度为 ；
（3）如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线l始终垂直于AC，△ACB′的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；
（4）当PB＝6时，在直线l变化过程中，求△ACB′面积的最大值．
一十六．频数（率）分布直方图（共1小题）
28．（2019•扬州）扬州市“五个一百工程“在各校普遍开展，为了了解某校学生每天课外阅读所用的时间情况，从该校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将结果绘制成如图不完整的频数分布表和频数分布直方图．
每天课外阅读时间t/h
频数
频率
0＜t≤0.5
24
0.5＜t≤1
36
0.3
1＜t≤1.5
0.4
1.5＜t≤2
12
b
合计
a
1
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中a＝ ，b＝ ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若该校有学生1200人，试估计该校学生每天课外阅读时间超过1小时的人数．
一十七．条形统计图（共1小题）
29．（2017•扬州）“富春包子”是扬州特色早点，富春茶社为了了解顾客对各种早点的喜爱情况，设计了如右图的调查问卷，对顾客进行了抽样调查．根据统计数据绘制了如下尚不完整的统计图．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）条形统计图中“汤包”的人数是 ，扇形统计图中“蟹黄包”部分的圆心角为 °；
（2）根据抽样调查结果，请你估计富春茶社1000名顾客中喜欢“汤包”的有多少人？
一十八．列表法与树状图法（共3小题）
30．（2019•扬州）只有1和它本身两个因数且大于1的正整数叫做素数．我国数学家陈景润从哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是：“每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和”．如20＝3+17．
（1）若从7、11、19、23这4个素数中随机抽取一个，则抽到的数是7的概率是 ；
（2）从7、11、19、23这4个素数中随机抽取1个数，再从余下的3个数中随机抽取1个数，再用画树状图或列表的方法，求抽到的两个素数之和等于30的概率．
31．（2018•扬州）4张相同的卡片分别写着数字﹣1、﹣3、4、6，将卡片的背面朝上，并洗匀．
（1）从中任意抽取1张，抽到的数字是奇数的概率是 ；
（2）从中任意抽取1张，并将所取卡片上的数字记作一次函数y＝kx+b中的k；再从余下的卡片中任意抽取1张，并将所取卡片上的数字记作一次函数y＝kx+b中的b．利用画树状图或列表的方法，求这个一次函数的图象经过第一、二、四象限的概率．
32．（2017•扬州）车辆经过润扬大桥收费站时，4个收费通道 A、B、C、D中，可随机选择其中的一个通过．
（1）一辆车经过此收费站时，选择 A通道通过的概率是 ；
（2）求两辆车经过此收费站时，选择不同通道通过的概率．
参考答案与试题解析
一．平方差公式（共1小题）
1．（2018•扬州）计算或化简
（1）（2x+3）2﹣（2x+3）（2x﹣3）
【解析】解：（1）（2x+3）2﹣（2x+3）（2x﹣3）
＝（2x）2+12x+9﹣[（2x）2﹣9]
＝（2x）2+12x+9﹣（2x）2+9
＝12x+18
二．二元一次方程组的解（共1小题）
2．（2021•扬州）已知方程组的解也是关于x、y的方程ax+y＝4的一个解，求a的值．
【解析】解：方程组，
把②代入①得：2(y﹣1)+y＝7，
解得：y＝3，代入①中，
解得：x＝2，
把x＝2，y＝3代入方程ax+y＝4得，2a+3＝4，
解得：a＝．
三．解二元一次方程组（共1小题）
3．（2018•扬州）对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：a⊗b＝2a+b．例如3⊗4＝2×3+4＝10．
（1）求2⊗（﹣5）的值；
（2）若x⊗（﹣y）＝2，且2y⊗x＝﹣1，求x+y的值．
【解析】解：（1）∵a⊗b＝2a+b，
∴2⊗（﹣5）＝2×2+（﹣5）＝4﹣5＝﹣1；
（2）∵x⊗（﹣y）＝2，且2y⊗x＝﹣1，
∴，
两式相加，可得
3x+3y＝1，
∴x+y＝．
四．分式方程的应用（共3小题）
4．（2021•扬州）为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天．问原先每天生产多少万剂疫苗？
【解析】解：设原先每天生产x万剂疫苗，
由题意可得：，
解得：x＝40，
经检验：x＝40是原方程的解，
∴原先每天生产40万剂疫苗．
5．（2018•扬州）京沪铁路是我国东部沿海地区纵贯南北的交通大动脉，全长1462km，是我国最繁忙的铁路干线之一．如果从北京到上海的客车速度是货车速度的2倍，客车比货车少用6h，那么货车的速度是多少？（精确到0.1km/h）
【解析】解：设货车的速度是x千米/小时，则客车的速度是2x千米/小时，
根据题意得：﹣＝6，
解得：x＝121≈121.8．
经检验，x＝121.8为此分式方程的解．
答：货车的速度约是121.8千米/小时．
6．（2017•扬州）星期天，小明和小芳从同一小区门口同时出发，沿同一路线去离该小区1800米的少年宫参加活动，为响应“节能环保，绿色出行”的号召，两人都步行，已知小明的速度是小芳的速度的1.2倍，结果小明比小芳早6分钟到达，求小芳的速度．
【解析】解：设小芳的速度是x米/分钟，则小明的速度是1.2x米/分钟，根据题意得：
﹣＝6，
解得：x＝50，
经检验x＝50是原方程的解，
答：小芳的速度是50米/分钟．
五．一元一次不等式组的整数解（共2小题）
7．（2019•扬州）解不等式组，并写出它的所有负整数解．
【解析】解：解不等式4（x+1）≤7x+13，得：x≥﹣3，
解不等式x﹣4＜，得：x＜2，
则不等式组的解集为﹣3≤x＜2，
所以不等式组的所有负整数解为﹣3、﹣2、﹣1．
8．（2017•扬州）解不等式组，并求出它的所有整数解．
【解析】解：解不等式2x+3≥0，得：x≥﹣1.5，
解不等式5﹣x＞0，得：x＜3，
则不等式组的解集为﹣1.5≤x＜3，
∴不等式组的整数解为﹣1、0、1、2．
六．二次函数的应用（共3小题）
9．（2021•扬州）甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：
甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元．
乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元．
说明：①汽车数量为整数；②月利润＝月租车费﹣月维护费；③两公司月利润差＝月利润较高公司的利润﹣月利润较低公司的利润．
在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：
（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是 48000 元；当每个公司租出的汽车为 37 辆时，两公司的月利润相等；
（2）求两公司月利润差的最大值；
（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元（a＞0）给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a的取值范围．
【解析】解：（1）[（50﹣10）×50+3000]×10﹣200×10＝48000元，
当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是48000元；
设每个公司租出的汽车为x辆，
由题意可得：[（50﹣x）×50+3000]x﹣200x＝3500x﹣1850，
解得：x＝37或x＝﹣1（舍），
∴当每个公司租出的汽车为37辆时，两公司的月利润相等；
（2）设两公司的月利润分别为y甲，y乙，月利润差为y，
则y甲＝[（50﹣x）×50+3000]x﹣200x，
y乙＝3500x﹣1850，
当甲公司的利润大于乙公司时，0＜x＜37，
y＝y甲﹣y乙＝[（50﹣x）×50+3000]x﹣200x﹣（3500x﹣1850）
＝﹣50x2+1800x+1850，
当x＝＝18时，利润差最大，且为18050元；
当乙公司的利润大于甲公司时，37＜x≤50，
y＝y乙﹣y甲＝3500x﹣1850﹣[（50﹣x）×50+3000]x+200x
＝50x2﹣1800x﹣1850，
∵对称轴为直线x＝＝18，50＞0，
∴当37＜x≤50时，y随x的增大而增大，
∴当x＝50时，利润差最大，且为33150元，
综上：两公司月利润差的最大值为33150元；
（3）∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，
则利润差为y＝﹣50x2+1800x+1850﹣ax＝﹣50x2+（1800﹣a）x+1850，
对称轴为直线x＝，
∵x只能取整数，且当两公司租出的汽车均为17辆时，月利润之差最大，
∴16.5＜＜17.5，
解得：50＜a＜150．
10．（2017•扬州）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量n（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如表：
销售价格x（元/千克）
30
35
40
45
50
日销售量n（千克）
600
450
300
150
0
（1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定n与x之间的函数表达式，并直接写出n与x的函数表达式为 n＝﹣30x+1500 ；
（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？
（3）农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元（a＞0）的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a的值．（日获利＝日销售利润﹣日支出费用）
【解析】解：（1）假设n与x成一次函数关系，设n与x之间的函数表达式为n＝kx+b，
将（30，600），40，300）代入，得：
，
解得：，
∴n＝﹣30x+1500，
检验：当x＝35时，n＝450；当x＝45，n＝4150；当x＝50，n＝0，表中数据均符合上述一次函数解析式，
故答案为：n＝﹣30x+1500；
（2）设日销售利润为w元，由题意得：
w＝n（x﹣30）
＝（﹣30x+1500）（x﹣30）
＝﹣30x2+2400x﹣45000
＝﹣30（x﹣40）2+3000，
∵a＝﹣30＜0，抛物线开口向下，
∴当x＝40时，w有最大值3000．
∴这批农产品的销售价格定为40元/千克，才能使日销售利润最大；
（3）设日获利为W元，由题意得：
W＝n（x﹣30﹣a）
＝（﹣30x+1500）（x﹣30﹣a）
＝﹣30x2+（2400+30a）x﹣（1500a+45000），
对称轴为x＝﹣＝40+a．
①若a≥10，则当x＝45时，W有最大值，最大值为：
W＝﹣30×452+（2400+30×a）×45﹣（1500a+45000）
＝2250﹣150a＜2430，
∴x＝45不符合题意，舍去；
②若a＜10，则当x＝40+a时，W有最大值，将x＝40+a代入，得：
W＝30（a2﹣10a+100），
当W＝2430时，
2430＝30（a2﹣10a+100），
解得a1＝2，a2＝38（舍），
综上所述，a的值为2．
11．（2018•扬州）“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围．
【解析】解：（1）设y＝kx+b，
∵直线y＝kx+b经过点（40，300），（55，150），
∴，
解得：．
故y与x之间的函数关系式为：y＝﹣10x+700，
（2）由题意，得
﹣10x+700≥240，
解得x≤46，
∴30＜x≤46，
设利润为w＝（x﹣30）•y＝（x﹣30）（﹣10x+700），
w＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000，
∵﹣10＜0，
∴x＜50时，w随x的增大而增大，
∴x＝46时，w最大＝﹣10（46﹣50）2+4000＝3840，
答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元；
（3）w﹣150＝﹣10x2+1000x﹣21000﹣150＝3600，
﹣10（x﹣50）2＝﹣250，
x﹣50＝±5，
x1＝55，x2＝45，
如图所示，由图象得：
当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．
七．二次函数综合题（共2小题）
12．（2021•扬州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．
（1）b＝ ﹣2 ，c＝ ﹣3 ；
（2）若点D在该二次函数的图象上，且S△ABD＝2S△ABC，求点D的坐标；
（3）若点P是该二次函数图象上位于x轴上方的一点，且S△APC＝S△APB，直接写出点P的坐标．
【解析】解：（1）∵点A和点B在二次函数y＝x2+bx+c图象上，
则，解得：，
故答案为：﹣2，﹣3；
（2）连接BC，由题意可得：
A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），y＝x2﹣2x﹣3，
∴S△ABC＝＝6，
∵S△ABD＝2S△ABC，设点D（m，m2﹣2m﹣3），
∴|yD|＝2×6，即×4×|m2﹣2m﹣3|＝2×6，
解得：m＝或，代入y＝x2﹣2x﹣3，
可得：y值都为6，
∴D（，6）或（，6）；
（3）设P（n，n2﹣2n﹣3），
∵点P在抛物线位于x轴上方的部分，
∴n＜﹣1或n＞3，
当点P在点A左侧时，即n＜﹣1，
可知点C到AP的距离小于点B到AP的距离，
∴S△APC＜S△APB，不成立；
当点P在点B右侧时，即n＞3，
∵△APC和△APB都以AP为底，若要面积相等，
则点B和点C到AP的距离相等，即BC∥AP，
设直线BC的解析式为y＝kx+p，
则，解得：，
则设直线AP的解析式为y＝x+q，将点A（﹣1，0）代入，
则﹣1+q＝0，解得：q＝1，
则直线AP的解析式为y＝x+1，将P（n，n2﹣2n﹣3）代入，
即n2﹣2n﹣3＝n+1，
解得：n＝4或n＝﹣1（舍），
n2﹣2n﹣3＝5，
∴点P的坐标为（4，5）．
13．（2018•扬州）如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，6），点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A运动，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止．设运动时间为t秒．
（1）当t＝2时，线段PQ的中点坐标为 （，2） ；
（2）当△CBQ与△PAQ相似时，求t的值；
（3）当t＝1时，抛物线y＝x2+bx+c经过P，Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K，如图2所示，问该抛物线上是否存在点D，使∠MQD＝∠MKQ？若存在，求出所有满足条件的D的坐标；若不存在，说明理由．
【解析】解：（1）如图1，∵点A的坐标为（3，0），
∴OA＝3，
当t＝2时，OP＝t＝2，AQ＝2t＝4，
∴P（2，0），Q（3，4），
∴线段PQ的中点坐标为：（，），即（，2）；
故答案为：（，2）；
（2）如图1，∵当点P与点A重合时运动停止，且△PAQ可以构成三角形，
∴0＜t＜3，
∵四边形OABC是矩形，
∴∠B＝∠PAQ＝90°，
∴当△CBQ与△PAQ相似时，存在两种情况：
①当△PAQ∽△QBC时，，
∴，
4t2﹣15t+9＝0，
（t﹣3）（t﹣）＝0，
t1＝3（舍），t2＝，
②当△PAQ∽△CBQ时，，
∴，
t2﹣9t+9＝0，
t＝，
∵＞3，
∴t＝不符合题意，舍去，
综上所述，当△CBQ与△PAQ相似时，t的值是或；
（3）当t＝1时，P（1，0），Q（3，2），
把P（1，0），Q（3，2）代入抛物线y＝x2+bx+c中得：
，解得：，
∴抛物线：y＝x2﹣3x+2＝（x﹣）2﹣，
∴顶点K（，﹣），
∵Q（3，2），M（0，2），
∴MQ∥x轴，
作抛物线对称轴，交MQ于E，设DQ交y轴于H，
∴KM＝KQ，KE⊥MQ，
∴∠MKE＝∠QKE＝∠MKQ，
如图2，∠MQD＝∠MKQ＝∠QKE，
∴tan∠MQD＝tan∠QKE＝，
即，MH＝2，
∴H（0，4），
易得HQ的解析式为：y＝﹣x+4，
则，
x2﹣3x+2＝﹣x+4，
解得：x1＝3（舍），x2＝﹣，
∴D（﹣，）；
同理，在M的下方，y轴上存在点H，如图3，使∠HQM＝∠MKQ＝∠QKE，
由对称性得：H（0，0），
易得OQ的解析式：y＝x，
则，
x2﹣3x+2＝x，
解得：x1＝3（舍），x2＝，
∴D（，）；
综上所述，点D的坐标为：D（﹣，）或（，）．
八．三角形综合题（共3小题）
14．（2017•扬州）我们规定：三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在△ABC中，AO是BC边上的中线，AB与AC的“极化值”就等于AO2﹣BO2的值，可记为AB△AC＝AO2﹣BO2．
（1）在图1中，若∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，AO是BC边上的中线，则AB△AC＝ 0 ，OC△OA＝ 7 ；
（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，求AB△AC、BA△BC的值；
（3）如图3，在△ABC中，AB＝AC，AO是BC边上的中线，点N在AO上，且ON＝AO．已知AB△AC＝14，BN△BA＝10，求△ABC的面积．
【解析】解：①∵∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，
∴BC＝10，
∵点O是BC的中点，
∴OA＝OB＝OC＝BC＝5，
∴AB△AC＝AO2﹣BO2＝25﹣25＝0，
②如图1，取AC的中点D，连接OD，
∴CD＝AC＝3，
∵OA＝OC＝5，
∴OD⊥AC，
在Rt△COD中，OD＝＝4，
∴OC△OA＝OD2﹣CD2＝16﹣9＝7，
故答案为0，7；
（2）①如图2，取BC的中点O，连接AO，
∵AB＝AC，
∴AO⊥BC，
在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝30°，
在Rt△AOB中，AB＝4，∠ABC＝30°，
∴AO＝2，OB＝2，
∴AB△AC＝AO2﹣BO2＝4﹣12＝﹣8，
②取AC的中点D，连接BD，
∴AD＝CD＝AC＝2，
过点B作BE⊥AC交CA的延长线于E，
在Rt△ABE中，∠BAE＝180°﹣∠BAC＝60°，
∴∠ABE＝30°，
∵AB＝4，
∴AE＝2，BE＝2，
∴DE＝AD+AE＝4，
在Rt△BED中，根据勾股定理得，BD＝＝＝2，
∴BA△BC＝BD2﹣CD2＝24；
（3）如图3，
设ON＝x，OB＝OC＝y，
∴BC＝2y，OA＝3x，
∵AB△AC＝14，
∴OA2﹣OB2＝14，
∴9x2﹣y2＝14①，
取AN的中点F，连接BF，
∴AF＝FN＝AN＝×OA＝ON＝x，
∴OF＝ON+FN＝2x，
在Rt△BOF中，BF2＝OB2+OF2＝y2+4x2，
∵BN△BA＝10，
∴BF2﹣FN2＝10，
∴y2+4x2﹣x2＝10，
∴3x2+y2＝10②
联立①②得，或（舍），
∴BC＝4，OA＝3，
∴S△ABC＝BC×AO＝6．
15．（2019•扬州）如图，平面内的两条直线l1、l2，点A，B在直线l1上，点C、D在直线l2上，过A、B两点分别作直线l2的垂线，垂足分别为A1，B1，我们把线段A1B1叫做线段AB在直线l2上的正投影，其长度可记作T（AB，CD）或T，特别地线段AC在直线l2上的正投影就是线段A1C．
请依据上述定义解决如下问题：
（1）如图1，在锐角△ABC中，AB＝5，T（AC，AB）＝3，则T（BC，AB）＝ 2 ；
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，T（AC，AB）＝4，T（BC，AB）＝9，求△ABC的面积；
（3）如图3，在钝角△ABC中，∠A＝60°，点D在AB边上，∠ACD＝90°，T（AD，AC）＝2，T（BC，AB）＝6，求T（BC，CD），
【解析】解：（1）如图1中，作CH⊥AB．
∵T（AC，AB）＝3，
∴AH＝3，
∵AB＝5，
∴BH＝5﹣3＝2，
∴T（BC，AB）＝BH＝2，
故答案为2．
（2）如图2中，作CH⊥AB于H．
∵T（AC，AB）＝4，T（BC，AB）＝9，
∴AH＝4，BH＝9，
∵∠ACB＝∠CHA＝∠CHB＝90°，
∴∠A+∠ACH＝90°，∠ACH+∠BCH＝90°，
∴∠A＝∠BCH，
∴△ACH∽△CBH，
∴＝，
∴＝，
∴CH＝6，
∴S△ABC＝•AB•CH＝×13×6＝39．
（3）如图3中，作CH⊥AD于H，BK⊥CD于K．
∵∠ACD＝90°，T（AD，AC）＝2，
∴AC＝2，
∵∠A＝60°，
∴∠ADC＝∠BDK＝30°，
∴CD＝AC＝2，AD＝2AC＝4，AH＝AC＝1，DH＝AD﹣AH＝3，
∵T（BC，AB）＝6，CH⊥AB，
∴BH＝6，
∴DB＝BH﹣DH＝3，
在Rt△BDK中，∵∠K＝90°，BD＝3，∠BDK＝30°，
∴DK＝BD•cos30°＝，
∴CK＝CD+DK＝2+＝，
∴T（BC，CD）＝CK＝．
16．（2018•扬州）问题呈现
如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点D，N和E，C，DN和EC相交于点P，求tan∠CPN的值．
方法归纳
求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点M，N，可得MN∥EC，则∠DNM＝∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变换到Rt△DMN中．
问题解决
（1）直接写出图1中tan∠CPN的值为 2 ；
（2）如图2，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，求cos∠CPN的值；
思维拓展
（3）如图3，AB⊥BC，AB＝4BC，点M在AB上，且AM＝BC，延长CB到N，使BN＝2BC，连接AN交CM的延长线于点P，用上述方法构造网格求∠CPN的度数．
【解析】解：（1）如图1中，
∵EC∥MN，
∴∠CPN＝∠DNM，
∴tan∠CPN＝tan∠DNM，
∵∠DMN＝90°，
∴tan∠CPN＝tan∠DNM＝＝＝2，
故答案为2．
（2）如图2中，取格点D，连接CD，DM．
∵CD∥AN，
∴∠CPN＝∠DCM，
∵△DCM是等腰直角三角形，
∴∠DCM＝∠D＝45°，
∴cos∠CPN＝cos∠DCM＝．
（3）如图3中，如图取格点H，连接AH、HN．
∵PC∥HN，
∴∠CPN＝∠ANH，
∵AH＝HN，∠AHN＝90°，
∴∠ANH＝∠HAN＝45°，
∴∠CPN＝45°．
九．平行四边形的性质（共1小题）
17．（2019•扬州）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，已知CE＝6，BE＝8，DE＝10．
（1）求证：∠BEC＝90°；
（2）求cos∠DAE．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB，AD＝BC，DC∥AB，
∴∠DEA＝∠EAB，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠EAB，
∴∠DAE＝∠DEA
∴AD＝DE＝10，
∴BC＝10，AB＝CD＝DE+CE＝16，
∵CE2+BE2＝62+82＝100＝BC2，
∴△BCE是直角三角形，∠BEC＝90°；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠BEC＝90°，
∴AE＝＝＝8，
∴cos∠DAE＝cos∠EAB＝＝＝．
一十．菱形的判定与性质（共1小题）
18．（2018•扬州）如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．
（1）求证：四边形AEBD是菱形；
（2）若DC＝，tan∠DCB＝3，求菱形AEBD的面积．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CE，
∴∠DAF＝∠EBF，
∵∠AFD＝∠EFB，AF＝FB，
∴△AFD≌△BFE，
∴AD＝EB，∵AD∥EB，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵BD＝AD，
∴四边形AEBD是菱形．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠DCB，
∴tan∠ABE＝tan∠DCB＝3，
∵四边形AEBD是菱形，
∴AB⊥DE，AF＝FB，EF＝DF，
∴tan∠ABE＝＝3，
∵BF＝，
∴EF＝，
∴DE＝3，
∴S菱形AEBD＝•AB•DE＝•3＝15．
一十一．四边形综合题（共3小题）
19．（2020•扬州）如图1，已知点O在四边形ABCD的边AB上，且OA＝OB＝OC＝OD＝2，OC平分∠BOD，与BD交于点G，AC分别与BD、OD交于点E、F．
（1）求证：OC∥AD；
（2）如图2，若DE＝DF，求的值；
（3）当四边形ABCD的周长取最大值时，求的值．
【解析】（1）证明：∵AO＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
∵OC平分∠BOD，
∴∠DOC＝∠COB，
又∵∠DOC+∠COB＝∠OAD+∠ADO，
∴∠ADO＝∠DOC，
∴CO∥AD；
（2）解：如图1，
∵OA＝OB＝OD，
∴∠ADB＝90°，
设∠DAC＝α，则∠ACO＝∠DAC＝α．
∵OA＝OD，DA∥OC，
∴∠ODA＝∠OAD＝2α，
∴∠DFE＝3α，
∵DF＝DE，
∴∠DEF＝∠DFE＝3α，
∴4α＝90°，
∴α＝22.5°，
∴∠DAO＝45°，
∴△AOD和△ABD为等腰直角三角形，
∴AD＝AO，
∴，
∵DE＝DF，
∴∠DFE＝∠DEF，
∵∠DFE＝∠AFO，
∴∠AFO＝∠AED，
又∠ADE＝∠AOF＝90°，
∴△ADE∽△AOF，
∴．
（3）解：如图2，
∵OD＝OB，∠BOC＝∠DOC，
∴△BOC≌△DOC（SAS），
∴BC＝CD，
设BC＝CD＝x，CG＝m，则OG＝2﹣m，
∵OB2﹣OG2＝BC2﹣CG2，
∴4﹣（2﹣m）2＝x2﹣m2，
解得：m＝，
∴OG＝2﹣，
∵OD＝OB，∠DOG＝∠BOG，
∴G为BD的中点，
又∵O为AB的中点，
∴AD＝2OG＝4﹣，
∴四边形ABCD的周长为2BC+AD+AB＝2x+4﹣+4＝﹣+2x+8＝﹣+10，
∵﹣＜0，
∴x＝2时，四边形ABCD的周长有最大值为10．
∴BC＝2，
∴△BCO为等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∵OC∥AD，
∴∠DAO＝∠COB＝60°，
∴∠ADF＝∠DOC＝60°，∠DAE＝30°，
∴∠AFD＝90°，
∴，DF＝DA，
∴．
20．（2019•扬州）如图，四边形ABCD是矩形，AB＝20，BC＝10，以CD为一边向矩形外部作等腰直角△GDC，∠G＝90°．点M在线段AB上，且AM＝a，点P沿折线AD﹣DG运动，点Q沿折线BC﹣CG运动（与点G不重合），在运动过程中始终保持线段PQ∥AB．设PQ与AB之间的距离为x．
（1）若a＝12．
①如图1，当点P在线段AD上时，若四边形AMQP的面积为48，则x的值为 3 ；
②在运动过程中，求四边形AMQP的最大面积；
（2）如图2，若点P在线段DG上时，要使四边形AMQP的面积始终不小于50，求a的取值范围．
【解析】（1）解：①P在线段AD上，PQ＝AB＝20，AP＝x，AM＝12，
四边形AMQP的面积＝（12+20）x＝48，
解得：x＝3；
故答案为：3；
②当P，在AD上运动时，P到D点时四边形AMQP面积最大，四边形AMQP为直角梯形，
∴0＜x≤10时，四边形AMQP面积的最大值＝（12+20）10＝160，
当P在DG上运动，10＜x＜20，四边形AMQP为不规则梯形，
作PK⊥AB于K，交CD于N，作GE⊥CD于E，交AB于F，如图2所示：
则PK＝x，PN＝x﹣10，EF＝BC＝10，
∵△GDC是等腰直角三角形，
∴DE＝CE，GE＝CD＝10，
∴GF＝GE+EF＝20，
∴GH＝20﹣x，
由题意得：PQ∥CD，
∴△GPQ∽△GDC，
∴＝，
即＝，
解得：PQ＝40﹣2x，
∴梯形AMQP的面积＝（12+40﹣2x）×x＝﹣x2+26x＝﹣（x﹣13）2+169，
∴当x＝13时，四边形AMQP的面积最大＝169；
（2）解：P在DG上，则10≤x＜20，AM＝a，PQ＝40﹣2x，
梯形AMQP的面积S＝（a+40﹣2x）×x＝﹣x2+x，对称轴为：x＝10+，
∵0≤a≤20，
∴10≤10+≤15，对称轴在10和15之间，
∵10≤x＜20，二次函数图象开口向下，
∴当x无限接近于20时，S最小，
∴﹣202+×20≥50，
∴a≥5；
综上所述，a的取值范围为5≤a≤20．
21．（2017•扬州）如图，将△ABC沿着射线BC方向平移至△A'B'C'，使点A'落在∠ACB的外角平分线CD上，连接AA'．
（1）判断四边形ACC'A'的形状，并说明理由；
（2）在△ABC中，∠B＝90°，AB＝24，cos∠BAC＝，求CB'的长．
【解析】解：（1）四边形ACC'A'是菱形．理由如下：
由平移的性质得到：AC∥A′C′，且AC＝A′C′，
则四边形ACC'A'是平行四边形．
∴∠ACC′＝∠AA′C′，
又∵CD平分∠ACB的外角，即CD平分∠ACC′，
∴CD也平分∠AA′C′，
∴四边形ACC'A'是菱形．
（2）∵在△ABC中，∠B＝90°，AB＝24，cos∠BAC＝，
∴cos∠BAC＝＝，即＝，
∴AC＝26．
∴由勾股定理知：BC＝＝＝10．
又由（1）知，四边形ACC'A'是菱形，
∴AC＝AA′＝26．
由平移的性质得到：AB∥A′B′，AB＝A′B′，则四边形ABB′A′是平行四边形，
∴AA′＝BB′＝26，
∴CB′＝BB′﹣BC＝26﹣10＝16．
一十二．直线与圆的位置关系（共1小题）
22．（2017•扬州）如图，已知平行四边形OABC的三个顶点A、B、C在以O为圆心的半圆上，过点C作CD⊥AB，分别交AB、AO的延长线于点D、E，AE交半圆O于点F，连接CF．
（1）判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由；
（2）①求证：CF＝OC；
②若半圆O的半径为12，求阴影部分的周长．
【解析】解：（1）结论：DE是⊙O的切线．
理由：∵CD⊥AD，
∴∠D＝90°，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AD平行OC，
∴∠D＝∠OCE＝90°，
∴CO⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．
（2）①连接BF．
∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC∥AF，AB＝OC，
∴∠AFB＝∠CBF，
∴＝，
∴AB＝CF，
∴CF＝OC．
②∵CF＝OC＝OF，
∴△COF是等边三角形，
∴∠COF＝60°，
在Rt△OCE中，∵OC＝12，∠COE＝60°，∠OCE＝90°，
∴OE＝2OC＝24，EC＝12，
∵OF＝12，
∴EF＝12，
∴的长＝＝4π，
∴阴影部分的周长为4π+12+12．
一十三．切线的判定与性质（共2小题）
23．（2019•扬州）如图，AB是⊙O的弦，过点O作OC⊥OA，OC交AB于P，CP＝BC．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）已知∠BAO＝25°，点Q是上的一点．
①求∠AQB的度数；
②若OA＝18，求的长．
【解析】（1）证明：连接OB，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵PC＝CB，
∴∠CPB＝∠PBC，
∵∠APO＝∠CPB，
∴∠APO＝∠CBP，
∵OC⊥OA，
∴∠AOP＝90°，
∴∠OAP+∠APO＝90°，
∴∠CBP+∠ABO＝90°，
∴∠CBO＝90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：①∵∠BAO＝25°，
∴∠ABO＝25°，∠APO＝65°，
∴∠POB＝∠APO﹣∠ABO＝40°，
∴∠AQB＝（∠AOP+∠POB）＝130°＝65°；
②∵∠AQB＝65°，
∴∠AOB＝130°，
∴弧AQB的度数＝360°﹣130°＝230°，
∵m在弧AB上，
∴的长＝的长＝＝23π．
24．（2018•扬州）如图，在△ABC中，AB＝AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE为半径作半圆，交AO于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点F是OA的中点，OE＝3，求图中阴影部分的面积；
（3）在（2）的条件下，点P是BC边上的动点，当PE+PF取最小值时，直接写出BP的长．
【解析】（1）证明：作OH⊥AC于H，如图，
∵AB＝AC，AO⊥BC于点O，
∴AO平分∠BAC，
∵OE⊥AB，OH⊥AC，
∴OH＝OE，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：∵点F是AO的中点，
∴AO＝2OF＝6，
而OE＝3，
∴∠OAE＝30°，∠AOE＝60°，
∴AE＝OE＝3，
∴图中阴影部分的面积＝S△AOE﹣S扇形EOF＝×3×3﹣＝；
（3）解：作F点关于BC的对称点F′，连接EF′交BC于P，如图，
∵PF＝PF′，
∴PE+PF＝PE+PF′＝EF′，此时EP+FP最小，
∵OF′＝OF＝OE，
∴∠F′＝∠OEF′，
而∠AOE＝∠F′+∠OEF′＝60°，
∴∠F′＝30°，
∴∠F′＝∠EAF′，
∴EF′＝EA＝3，
即PE+PF最小值为3，
在Rt△OPF′中，OP＝OF′＝，
在Rt△ABO中，OB＝OA＝×6＝2，
∴BP＝2﹣＝，
即当PE+PF取最小值时，BP的长为．
一十四．圆的综合题（共2小题）
25．（2021•扬州）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：
已知线段BC＝2，使用作图工具作∠BAC＝30°，尝试操作后思考：
（1）这样的点A唯一吗？
（2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？
“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外），…．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．
（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．
①该弧所在圆的半径长为 2 ；
②△ABC面积的最大值为 ；
（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为A′，请你利用图1证明∠BA′C＞30°．
（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形ABCD的边长AB＝2，BC＝3，点P在直线CD的左侧，且tan∠DPC＝．
①线段PB长的最小值为 ；
②若S△PCD＝S△PAD，则线段PD长为 ．
【解析】解：（1）①设O为圆心，连接BO，CO，
∵∠BAC＝30°，
∴∠BOC＝60°，又OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝OC＝BC＝2，即半径为2；
②∵△ABC以BC为底边，BC＝2，
∴当点A到BC的距离最大时，△ABC的面积最大，
如图，过点O作BC的垂线，垂足为E，延长EO，交圆于D，
∴BE＝CE＝1，DO＝BO＝2，
∴OE＝，
∴DE＝，
∴△ABC的最大面积为＝；
（2）如图，延长BA′，交圆于点D，连接CD，
∵点D在圆上，
∴∠BDC＝∠BAC，
∵∠BA′C＝∠BDC+∠A′CD，
∴∠BA′C＞∠BDC，
∴∠BA′C＞∠BAC，即∠BA′C＞30°；
（3）①如图，当点P在BC上，且PC＝时，
∵∠PCD＝90°，AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，
∴tan∠DPC＝，为定值，
连接PD，设点Q为PD中点，以点Q为圆心，PD为半径画圆，
∴当点P在优弧CPD上时，tan∠DPC＝，连接BQ，与圆Q交于P′，
此时BP′即为BP的最小值，过点Q作QE⊥BE，垂足为E，
∵点Q是PD中点，
∴点E为PC中点，即QE＝CD＝1，PE＝CE＝PC＝，
∴BE＝BC﹣CE＝3﹣＝，
∴BQ＝，
∵PD＝，
∴圆Q的半径为，
∴BP′＝BQ﹣P′Q＝，即BP的最小值为；
②∵AD＝3，CD＝2，S△PCD＝S△PAD，
则，
∴△PAD中AD边上的高＝△PCD中CD边上的高，
即点P到AD的距离和点P到CD的距离相等，
则点P到AD和CD的距离相等，即点P在∠ADC的平分线上，如图，
过点C作CF⊥PD，垂足为F，
∵PD平分∠ADC，
∴∠ADP＝∠CDP＝45°，
∴△CDF为等腰直角三角形，又CD＝2，
∴CF＝DF＝，
∵tan∠DPC＝，
∴PF＝，
∴PD＝DF+PF＝．
解法二：如图，作直径DG，连接PG，
∵△CDF为等腰直角三角形，又CD＝2，
∴∠CDF＝∠CED＝45°，
∴CD＝CE＝2，
∴DE＝2，
∵∠DPC＝∠GDC，
∴tan∠DGC＝tan∠DPC＝＝，
∴CG＝1.5，EG＝0.5，
∵DG是直径，
∴∠DPG＝∠EPG＝90°，
∴PE＝EG＝，
∴PD＝DE﹣PE＝2﹣＝．
26．（2017•扬州）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以 PE为边作正方形PEFG，顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O．
（1）若AP＝1，则AE＝ ；
（2）①求证：点O一定在△APE的外接圆上；
②当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；
（3）在点P从点A到点B的运动过程中，△APE的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到AB边的距离的最大值．
【解析】（1）解：∵四边形ABCD、四边形PEFG是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠EPG＝90°，PF⊥EG，AB＝BC＝4，∠OEP＝45°，
∴∠AEP+∠APE＝90°，∠BPC+∠APE＝90°，
∴∠AEP＝∠BPC，
∴△APE∽△BCP
∴，即，
解得：AE＝；
故答案为：；
（2）①证明：如图3，
取PE的中点Q，连接AQ，OQ，
∵∠POE＝90°，
∴OQ＝PE，
∵△APE是直角三角形，
∴点Q是Rt△APE外接圆的圆心，
∴AQ＝PE，
∴OQ＝AQ，
∴点O一定在△APE的外接圆上；（到圆心的距离等于半径的点必在此圆上）
②解：连接OA、AC，如图1所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，∠BAC＝45°，
∴AC＝＝4，
∵A、P、O、E四点共圆，
∴∠OAP＝∠OEP＝45°，
∴点O在AC上，
当P运动到点B时，O为AC的中点，OA＝AC＝2，
即点O经过的路径长为2；
（3）解：设△APE的外接圆的圆心为M，作MN⊥AB于N，如图2所示：
则MN∥AE，
∵ME＝MP，
∴AN＝PN，
∴MN＝AE，
设AP＝x，则BP＝4﹣x，
由（1）得：△APE∽△BCP，
∴，即，
解得：AE＝x﹣x2＝﹣（x﹣2）2+1，
∴x＝2时，AE的最大值为1，此时MN的值最大＝×1＝，
即△APE的圆心到AB边的距离的最大值为．
一十五．几何变换综合题（共1小题）
27．（2019•扬州）如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）．直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B′．
（1）如图1，当PB＝4时，若点B′恰好在AC边上，则AB′的长度为 4或0 ；
（2）如图2，当PB＝5时，若直线l∥AC，则BB′的长度为 5 ；
（3）如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线l始终垂直于AC，△ACB′的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；
（4）当PB＝6时，在直线l变化过程中，求△ACB′面积的最大值．
【解析】解：（1）如图1中，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，AB＝BC＝AC＝8，
∵PB＝4，
∴PB′＝PB＝PA＝4，
∵∠A＝60°，
∴△APB′是等边三角形，
∴AB′＝AP＝4．
当直线l经过C时，点B′与A重合，此时AB′＝0
故答案为4或0．
（2）如图2中，设直线l交BC于点E．连接BB′交PE于O．
∵PE∥AC，
∴∠BPE＝∠A＝60°，∠BEP＝∠C＝60°，
∴△PEB是等边三角形，
∵PB＝5，
∴∵B，B′关于PE对称，
∴BB′⊥PE，BB′＝2OB
∴OB＝PB•sin60°＝，
∴BB′＝5．
故答案为5．
（3）如图3中，结论：面积不变．
∵B，B′关于直线l对称，
∴BB′⊥直线l，
∵直线l⊥AC，
∴AC∥BB′，
∴S△ACB′＝S△ACB＝×8××8＝16．
（4）如图4中，当B′P⊥AC时，△ACB′的面积最大，
设直线PB′交AC于E，
在Rt△APE中，∵PA＝2，∠PAE＝60°，
∴PE＝PA•sin60°＝，
∴B′E＝6+，
∴S△ACB′的最大值＝×8×（6+）＝4+24．
解法二：如图5中，过点P作PH垂直于AC，
由题意可得：B′在以P为圆心半径长为6的圆上运动，
当PH的延长线交圆P于点B′时面积最大，
此时BH＝6+，S△ACB′的最大值＝×8×（6+）＝4+24．
一十六．频数（率）分布直方图（共1小题）
28．（2019•扬州）扬州市“五个一百工程“在各校普遍开展，为了了解某校学生每天课外阅读所用的时间情况，从该校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将结果绘制成如图不完整的频数分布表和频数分布直方图．
每天课外阅读时间t/h
频数
频率
0＜t≤0.5
24
0.5＜t≤1
36
0.3
1＜t≤1.5
0.4
1.5＜t≤2
12
b
合计
a
1
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中a＝ 120 ，b＝ 0.1 ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若该校有学生1200人，试估计该校学生每天课外阅读时间超过1小时的人数．
【解析】解：（1）a＝36÷0.3＝120，b＝12÷120＝0.1，
故答案为：120，0.1；
（2）1＜t≤1.5的人数为120×0.4＝48，
补全图形如下：
（3）估计该校学生每天课外阅读时间超过1小时的人数为1200×（0.4+0.1）＝600（人）．
一十七．条形统计图（共1小题）
29．（2017•扬州）“富春包子”是扬州特色早点，富春茶社为了了解顾客对各种早点的喜爱情况，设计了如右图的调查问卷，对顾客进行了抽样调查．根据统计数据绘制了如下尚不完整的统计图．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）条形统计图中“汤包”的人数是 48人 ，扇形统计图中“蟹黄包”部分的圆心角为 72 °；
（2）根据抽样调查结果，请你估计富春茶社1000名顾客中喜欢“汤包”的有多少人？
【解析】解：（1）8÷5%＝160（人），
160×30%＝48（人），
32÷160×360°
＝0.2×360°
＝72°．
故条形统计图中“汤包”的人数是48人，扇形统计图中“蟹黄包”部分的圆心角为72°；
故答案为：48人，72．
（2）30%×1000＝300（人）．
故估计富春茶社1000名顾客中喜欢“汤包”的有300人．
一十八．列表法与树状图法（共3小题）
30．（2019•扬州）只有1和它本身两个因数且大于1的正整数叫做素数．我国数学家陈景润从哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是：“每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和”．如20＝3+17．
（1）若从7、11、19、23这4个素数中随机抽取一个，则抽到的数是7的概率是 ；
（2）从7、11、19、23这4个素数中随机抽取1个数，再从余下的3个数中随机抽取1个数，再用画树状图或列表的方法，求抽到的两个素数之和等于30的概率．
【解析】解：（1）从7、11、19、23这4个素数中随机抽取一个，则抽到的数是7的概率是．
故答案为．
（2）树状图如图所示：
共有12种可能，满足条件的有4种可能，
所以抽到的两个素数之和等于30的概率＝＝
31．（2018•扬州）4张相同的卡片分别写着数字﹣1、﹣3、4、6，将卡片的背面朝上，并洗匀．
（1）从中任意抽取1张，抽到的数字是奇数的概率是 ；
（2）从中任意抽取1张，并将所取卡片上的数字记作一次函数y＝kx+b中的k；再从余下的卡片中任意抽取1张，并将所取卡片上的数字记作一次函数y＝kx+b中的b．利用画树状图或列表的方法，求这个一次函数的图象经过第一、二、四象限的概率．
【解析】解：（1）从中任意抽取1张，抽到的数字是奇数的概率＝；
故答案为；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中k＜0，b＞0有4种结果，
所以这个一次函数的图象经过第一、二、四象限的概率＝＝．
32．（2017•扬州）车辆经过润扬大桥收费站时，4个收费通道 A、B、C、D中，可随机选择其中的一个通过．
（1）一辆车经过此收费站时，选择 A通道通过的概率是 ；
（2）求两辆车经过此收费站时，选择不同通道通过的概率．
【解析】解：（1）选择 A通道通过的概率＝，
故答案为：，
（2）设两辆车为甲，乙，
如图，两辆车经过此收费站时，会有16种可能的结果，其中选择不同通道通过的有12种结果，
∴选择不同通道通过的概率＝＝．
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