第44-48讲 计数原理、随机变量的分布-【高考艺术生专用】2022年高考数学一轮复习讲义（基础版，全国通用版）

第46讲  超几何分布与二项分布

1. 二项分布

在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率是，此时称随机变量服从二项分布，记作，并称为成功概率

在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率()

2. 超几何分布：

在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件{}发生的概率即

其中，且，，

如果随机变量的分布列具有上表的形式，则称随机变量服从超几何分布.

题型一：超几何分布

1．（2021·全国高二课时练习）一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：

①表示取出的最大号码；

②表示取出的最小号码；

③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，表示取出的4个球的总得分；

④表示取出的黑球个数．

这四种变量中服从超几何分布的是(　　)

A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④

【答案】B

【详解】

对于①，当X表示最大号码，比如表示从黑球编号为中取3个黑球，

而表示从6个黑球和编号为的白球共7个球中取3个球，

故该随机变量不服从超几何分布，同理②中的随机变量不服从超几何分布.

对于③，的可能取值为，

表示取出4个白球；

表示取出3个白球1个黑球；

表示取出2个白球2个黑球；

表示取出1个白球3个黑球；

表示取出4个黑球；

因此服从超几何分布.

由超几何分布的概念知④符合，

故选：B.

2．（2021·全国高二课时练习）盒中有10个螺丝钉，其中3个是坏的.现从盒中随机抽取4个，则概率是的事件为（    ）

A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的

C．恰有2个是好的 D．至多有2个是坏的

【答案】C

【详解】

对于A，事件的概率为；

对于B，事件的概率为；

对于C，事件的概率为；

对于D，事件的概率为.

故选C.

3．（2021·全国高二课时练习）下列随机事件中的随机变量服从超几何分布的是（    ）

A．将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为

B．从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，记选出女生的人数为

C．某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为

D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为

【答案】B

【详解】

解：由超几何分布的定义可判断，只有B中的随机变量服从超几何分布.

故选：B.

4．（2021·全国高二课时练习）袋中有除颜色外完全相同的3个白球和2个红球，从中任取2个，那么下列事件中发生的概率为的是（    ）

A．都不是白球

B．恰有1个白球

C．至少有1个白球

D．至多有1个白球

【答案】D

【详解】

P(都不是白球)＝＝，P(恰有1个白球)＝＝，P(至少有1个白球)＝＝，P(至多有1个白球)＝＝.

故选：D.

5．（2021·全国高二单元测试）在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于的是（    ）

A．P(X＝2) B．P(X≤2)

C．P(X＝4) D．P(X≤4)

【答案】C

【详解】

X服从超几何分布，P(X＝k)＝，故k＝4，

故选：C.

6．（2021·全国）一个班级共有30名学生，其中有10名女生，现从中任选三人代表班级参加学校开展的某项活动，假设选出的3名代表中的女生人数为变量，男生的人数为变量，则等于

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】

由题得,

所以.

故选：C.

7．（2021·全国高二单元测试）某社区为积极配合消防宣传工作，准备成立由4名业主组成的志愿者招募宣传队，现初步选定5男4女共9名业主为候选人，每名候选人被选为志愿者招募宣传队队员的机会是相同的．记为女业主当选人数，求的分布列．

【答案】分布列见解析.

【详解】

由题意知，的取值为0，1，2，,3，4的超几何分布，

因此，，

，，

．

故的分布列为：

8．（2021·全国高二单元测试）某校高二年级某班的物理课外活动小组有5名男生，4名女生，从中选出3人参加物理竞赛考试，用表示其中男生的人数．

（1）请列出的分布列；

（2）求选出的3人中至少有2名男生的概率．

【答案】（1）分布列见解析；（2）.

【详解】

（1）依题意，得随机变量X服从参数为9，3，5的超几何分布，即，

因此，，，．

所以X的分布列为：

（2）由（1）中分布列可知，

故选出的3人中至少有2名男生的概率是．

9．（2021·全国高二课时练习）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取件，假设事件“取出的件产品都是二等品”的概率.

（1）求从该批产品中任取件是二等品的概率；

（2）若该批产品共件，从中任意抽取件，表示取出的件产品中二等品的件数，求的分布列．

【答案】（1）；（2）分布列见解析.

【详解】

（1）设任取一件产品是二等品的概率为，依题意有，

解得或（舍），

故从该批产品中任取件是二等品的概率为；

（2）若该批产品共件，由（1）知其二等品有（件），故的可能取值为、、，

，，，

所以，随机变量的分布列如下表所示：

题型二：二项分布

1．（2021·全国）如果，则使最大的值（    ）

A．3 B．4

C．4或5 D．3或4

【答案】D

【详解】

解：，得．

所以当时，，

当时，，

其中时，，

从而或4时，取得最大值，

故选：D

2．（2021·全国高二单元测试）已知随机变量服从二项分布，则＝（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

.

故选：C

3．（2021·全国）已知随机变量服从二项分布，当时，的最大值是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

解：因为随机变量服从二项分布，

所以，

所以，

，

，

，

∴，

故选：B．

4．（2021·福建上杭一中）《乘风破浪的姐姐》是一档深受观众喜爱的电视节目，节目采用组团比赛的方式进行，参赛选手需要全部参加完五场公开比赛，其中五场中有四场获胜，就能取得参加决赛的资格.若某参赛选手每场比赛获胜的概率是，则这名选手能参加决赛的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

由题意可知五场中获胜的场次，

所求选手能参加决赛的概率.

故选：D

5．（2021·福清西山学校高二期中）某篮球运动员每次投篮投中的概率是，每次投篮的结果相互独立，那么在他10次投篮中，记最有可能投中的次数为，则的值为（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】D

【详解】

记投篮命中的次数为随机变量，

由题意，，

则投篮命中次的概率为，

由得，即，即，

解得，又，

因此时，取最大值.

即该运动员10次投篮中，最有可能投中的次数为次.

故选：D.

6．（2021·全国高二专题练习）下列说法正确的个数是

①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数是一个随机变量，且；

②某福彩中奖概率为，某人一次买了8张，中奖张数是一个随机变量，且；

③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数是随机变量，且

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】C

【详解】

①某同学投篮的命中率为0.6，该同学投篮10次，是一个独立重复试验，所以他10次投篮中命中的次数是一个随机变量，且，所以该命题正确；

②某福彩中奖概率为，某人一次买了8张，相当于买了8次，每次中奖的概率都为，相当于做了8次独立重复试验，中奖张数是一个随机变量，且，所以该命题正确；

 ③从装有5个红球、5个白球的袋中，由于它是有放回地摸球，直到摸出白球为止，所以它不是一个独立重复性试验，因为当时，概率为，当时，概率为，当时，概率为，依次类推，即每次试验摸到白球的概率不相等，所以它不是独立重复性试验，所以不服从,所以该命题错误.

故选：C

7．（2021·全国高二课时练习）若，则使最大的的值是（    ）

A．2 B．3 C．2或3 D．4

【答案】B

【详解】

解：，

则，得，

所以当时，，

当时，，

从而时，取得最大值．

故选：B．

8．（2021·全国（文））将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入袋中的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

由于小球每次遇到黑色障碍物时，有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时，小球将落入A袋，所以．

故选：C．

9．（2021·北京延庆·高二期中）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球次均命中的概率为．

（1）求甲投球次，命中次的概率；

（2）若乙投球次，设命中的次数为，求的分布列．

【答案】（1）；（2）答案见解析．

【详解】

解：（1）设“甲投球一次命中”为事件，

则，

故甲投球次命中次的概率为

（2） 设“乙投球一次命中”为事件．

由题意得， 解得，

所以，

由题意得服从，则

10．（2021·浙江丽水·高二课时练习）某单位举办2020年杭州亚运会知识宣传活动，进行现场抽奖，盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“亚运会会徽”或“五环”图案；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“五环”卡即可获奖，否则，均为不获奖.卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行.

（Ⅰ）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“五环”卡？主持人答：我只知道，从盒中抽取两张都是“会徽”卡的概率是，求抽奖者获奖的概率；

（Ⅱ）现有甲、乙、丙、丁四人依次抽奖，用表示获奖的人数，求的分布列及的值.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析

【详解】

（Ⅰ）设“会徽”卡有张，因为从盒中抽取两张都是“会徽”卡的概率是，所以有，，所以“五环”图案卡片的张数为4，故抽奖者获奖的概率为；

（Ⅱ）由题意可知本题中的离散型随机变量服从二项分布，即，

，，

，，

，的分布列为：

.

11．（2021·全国高二单元测试）我校高一年级研究性学习小组共有9名学生，其中有3名男生和6名女生.在研究性学习过程中，要进行两次汇报活动（即开题汇报和结题汇报），每次汇报都从这9名学生中随机选1 人作为代表发言.设每人每次被选中与否均互不影响.

（1）求两次汇报活动都由小组成员甲发言的概率；

（2）设为男生发言次数与女生发言次数之差的绝对值，求的分布列和数学期望.

【答案】（1）.    （2）见解析.

解析：

（1）记“两次回报活动都是由小组成员甲发言”为事件.由题意，得事件的概率，即两次汇报活动都是由小组成员甲发言的槪率为.  

（2）由题意，的可能取值为2，0，每次汇报时，男生被选为代表的概率为，女生被选为代表的概率为.；，所以，的分布列为：

 的数学期望.