2021-2022学年河北省石家庄市栾城区石门实验学校八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年河北省石家庄市栾城区石门实验学校八年级（上）期末数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共16小题，共42.0分）

1. 下列电视台的台标，是中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

2. 小虎在下面的计算中只做对了一道题，他做对的题目是

A.  B.  C.  D.

3. 二次根式有意义，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

4. 如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是

A.
B.
C.
D.

5. 实数不能写成的形式是

A.  B.  C.  D.

6. 已知，，，若为整数且，则的值为

A.  B.  C.  D.

7. 如图，在中，，是边上的两点，，，，，则的度数为

A.
B.
C.
D.

8. 下面为张小亮的答卷，他的得分应是

A. 分 B. 分 C. 分 D. 分

9. 如图，已知，于点，于点，点是的中点，连接并延长交与点，，，则的长为

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在矩形中，，，点为上一点，把沿翻折，点恰好落在边上的处，则的长是

A.
B.
C.
D.

11. 已知：如图，在中，是上的点，，、分别是、的中点，，则的长度为

A.  B.  C.  D.

12. 如图是用个全等的直角三角形与个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为，小正方形面积为，若用，表示直角三角形的两直角边，请观察图案，指出以下关系式中不正确的是

A.  B.  C.  D.

13. 如图，直线，相交于点为这两直线外一点，且若点关于直线，的对称点分别是点，，则，之间的距离可能是

A.
B.
C.
D.

14. 如图，是等边三角形，是边上的高，是的中点，是上的一个动点，当与的和最小时，的度数是

A.
B.
C.
D.

15. 如图，某小区有一块直角三角形的绿地，量得两直角边，，考虑到这块绿地周围还有足够多的空余部分，于是打算将这块绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以为一直角边的直角三角形，则扩充方案共有

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

16. 如图，分别以的边，所在直线为对称轴作的对称图形和，，线段与相交于点，连接、、、有如下结论：
    ；；；；．
    其中，正确的结论个数是

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

17. 已知等腰三角行两条边的长分别是和，则它的周长等于______ ．
18. 如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接，则 ______

19. 如图，中，，，是的中线，过点作的平行线与的平分线交于点，则的长度为______．
20. 如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，，点，，在直线上，点，，，在轴的正半轴上，若，，，，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在轴上，已知点坐标是，则点的横坐标为______．

三、计算题（本大题共1小题，共9.0分）

21. 计算下列各式：
    ；
    ；
    ．

四、解答题（本大题共5小题，共37.0分）

22. 先化简再求值：，其中．
23. 在平面直角坐标系中，位置如图所示：
    写出点关于轴对称的点的坐标为______，点关于原点的对称点的坐标为______．
    将向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得，其中、、分别和、、对应，则点的坐标为______；将绕原点逆时针旋转得，其中、、分别和、、对应，则点的坐标为______；
    在轴上找一点，使得点到、两点的距离相等，则点的坐标为______；
    在轴上找一点，使得与的面积相等，求点的坐标．

24. 如图，于，于，若、．
    求证：平分；
    已知，，求的长．
     

25. 截至年月日，我国新冠疫苗接种总剂次数为全球第二．某社区有、两个接种点，接种点有个接种窗口，接种点有个接种窗口．每个接种窗口每小时的接种剂次相同．当两接种点独立完成剂次新冠疫苗接种时，接种点比接种点少用小时，求、两个接种点每小时接种剂次．

【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．
如图，是等边三角形，点是边下方一点，连结、、，且，探索线段、、之间的数量关系．
解题思路：延长到点，使，连接，根据，则，因为可证，易证得≌，得出是等边三角形，所以，从而探寻线段、、之间的数量关系．根据上述解题思路，请直接写出、、之间的数量关系是______；
【拓展延伸】
如图，在中，，若点是边下方一点，，探索线段、、之间的数量关系，并说明理由；
【知识应用】
如图，两块斜边长都为的一副三角板，把斜边重叠摆放在一起，则的长为______．
答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、不是中心对称图形，故A选项错误；
B、不是中心对称图形，故B选项错误；
C、不是中心对称图形，故C选项错误；
D、是中心对称图形，故D选项正确．
故选：．
根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：、，此选项错误；
B、，此选项错误；
C、，此选项正确；
D、，此选项错误．
故选C．
A、利用乘方的意义计算即可；
B、先通分再计算；
C、根据同底数幂的除法计算即可；
D、对分子提取公因数，再看能否约分．
本题考查了分式的混合运算，解题的关键是注意通分，以及指数的变化．
 

3.【答案】

【解析】解：由题意得，
解得，，
故选：．
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：由图可得，三角形已知一个锐角和一个直角，以及两角的夹边，
所以根据证明三角形全等，
故选：．
根据证明全等解答即可．
此题考查直角三角形的全等，关键是根据全等三角形的判定方法解答．
 

5.【答案】

【解析】解：、，故不符合题意；
B、，故不符合题意；
C、，故符合题意；
D、，故不符合题意；
故选：．
根据算术平方根的概念解答即可．
此题考查的是算术平方根，一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根．
 

6.【答案】

【解析】解：，
，
，
故选：．
先写出所在的范围，再写的范围，即可得到的值．
本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：如图，，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
的度数为，
故选：．
先由推导出，再证明≌，则，再求出的度数，进而求出的度数．
此题考查三角形的内角和定理及其推论、全等三角形的判定与性质等知识，证明≌是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：答卷中只有：的倒数是      ，错误，的倒数是．
故他的得分应是分．
故选：．
直接利用绝对值以及倒数、相反数、立方根、平方根的定义分别分析得出答案．
此题主要考查了绝对值以及倒数、相反数、立方根、平方根的定义，正确掌握相关定义是解题关键．
 

9.【答案】

【解析】解：点是的中点，
，
，，
，
，
在与中，
，
≌，
，，
，
在中，，
，
故选：．
由“”可证≌，可得，，由勾股定理可求的长，即可求的长．
本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明全等三角形是本题的关键．
 

10.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质以及勾股定理是解题的关键．
设 ，则 由折叠性质可知， ， ，求出 ， ，在 中， ，即 ，即可求解．
【解答】
解：设 ，则 ．
由折叠性质可知， ， ．
在 中， ， ．
．
．
在 中， ．
即 ．
解得 ．
故选 D ．   

11.【答案】

【解析】解：连接，
，是的中点，
，
在中，是的中点，
，
故选：．
连接，根据等腰三角形的性质得到，再根据直角三角形的性质计算，得到答案．
本题考查的是等腰三角形的性质、直角三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：由题意，
可得，
，
得，
，
正确，错误．
故选：．
由题意，可得记为，得到由此即可判断．
本题考查勾股定理，二元二次方程组等知识，解题的关键学会利用方程的思想解决问题，学会整体恒等变形的思想，属于中考常考题型．
 

13.【答案】

【解析】解：连接，，，
点关于直线，的对称点分别是点，，
，，
，
，

故选：．
由对称得，，再根据三角形任意两边之和大于第三边，即可得出结果．
本题考查线段垂直平分线的性质，解本题的关键熟练掌握对称性和三角形边长的关系．
 

14.【答案】

【解析】解：如连接，与交于点，此时最小，

是等边三角形，，
，
，
即就是的最小值，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
连接，则的长度即为与和的最小值．再利用等边三角形的性质可得，即可解决问题．
本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
 

15.【答案】

【解析】【解答】
此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，关键是正确进行分类讨论．
由于扩充所得的等腰三角形腰和底不确定，若设扩充所得的三角形是，则应分为，，，种情况进行讨论．
【解答】
解：如图所示：

故选：．
 

16.【答案】

【解析】解：和是的对称图形，
，
，故正确；
，
由翻折的性质得，，
在和中，，故正确；
点、、、四点共圆，
，故正确；也可以证明∽，再证明∽得出结论，或利用角平分线的判定定理，证明平分也可
只有时，，才有，故错误；
在和中，，，，，
，故错误；
综上所述，结论正确的是共个．
故选：．
根据轴对称的性质可得，再根据周角等于列式计算即可求出，判断出正确；再求出，根据翻折可得，利用三角形的内角和定理可得，判断出正确；求出点、、、四点共圆，再根据同弧所对的圆周角相等可得，判断出正确；无法求出，判断出错误；判断出和不全等，从而得到，判断出错误．
本题考查了全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键，难点在于和的判断．
 

17.【答案】

【解析】解：等腰三角形的两边长分别是和，
当腰为时，三角形的周长为：；
当腰为时，，三角形不成立；
此等腰三角形的周长是．
故答案为．
分两种情况讨论：当是腰时或当是腰时．根据三角形的三边关系，知，，不能组成三角形，应舍去．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．此类题不要漏掉一种情况，同时注意看是否符合三角形的三边关系．
 

18.【答案】

【解析】解：，，
，
，
，
由作图过程可知：是的垂直平分线，
，
，
，
故答案为：．
由等腰三角形的性质与三角形内角和定理求出，由作图过程可得是的垂直平分线，得到，再根据等腰三角形的性质求出，由三角形外角的性质即可求得．
本题考查了作图基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，能由作图过程判断出是的垂直平分线是解决问题的关键．
 

19.【答案】

【解析】解：，
，
是底边上的中线，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
根据等腰三角形三线合一的性质可得，根据所对的直角边等于斜边的一半得出，再根据平行线的性质求得，进而求得，从而得出的长．
本题考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形的角所对的直角边等于斜边的一半的性质，平行线的性质，等角对等边的性质，熟记性质是解题的在关键．
 

20.【答案】

【解析】解：由题意得，
，
，，
，，，
，，，
的横坐标为，
故答案为．
先求出、、的坐标，探究规律后，即可根据规律解决问题．
本题考查规律型：点的坐标、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．
 

21.【答案】解：



；


；


．

【解析】先算括号里面的，再算除法；
先利用完全平方公式计算，再计算的立方根和，最后算加减；
先利用平方差公式计算，再计算、并化简绝对值，最后算加减．
本题考查了实数的混合运算，掌握负整数指数幂的意义，会运用乘法公式是解决本题的关键．
 

22.【答案】解：原式

，
当时，原式．

【解析】先把分式的分子、分母因式分解，再约分，根据分式的除法法则计算，把原式化简，把的值代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
 

23.【答案】       

【解析】解：，
点关于轴对称点的坐标是；
，
点关于原点对称点的坐标是，
故答案为：，；

如图，，即为所求．，；

故答案为：，；

如图，点即为所求，；
故答案为：；

如图，点，点即为所求，，．
根据关于轴、轴对称的点的坐标规律可直接写出答案；
利用平移变换，旋转变换的性质分别作出图形，可得结论；
线段的垂直平分线与轴的交点即为所求；
利用等高模型以及轴对称的性质作出点即可解决问题．
本题考查作图平移变换，旋转变换，三角形的面积，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，旋转变换的性质，属于中考常考题型．
 

24.【答案】证明：于点，于点，
，
在和中，

≌，
，
在和中，
，
≌，
，，
平分．
解：，
，
，
，
，
，，
，
．

【解析】先证明≌，得，再证明≌，得，即可证明平分；
由≌可得，再根据，即可推出，求出的长．
此题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义等知识，找到两个三角形的对应边和对应角是解题的关键．
 

25.【答案】解：设每个接种窗口每小时接种剂次，则接种点每小时接种剂次，接种点每小时接种剂次，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则，，
答：接种点每小时接种剂次，接种点每小时接种剂次

【解析】设每个接种窗口每小时的接种剂次，则接种点每小时接种剂次，接种点每小时接种剂次，由题意：两接种点独立完成剂次新冠疫苗接种时，接种点比接种点少用小时．列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，列出分式方程和组是解题的关键．
 

26.【答案】 

【解析】解：如图，延长到点，使，连接，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
是等边三角形，
，
；
故答案为：；
，
理由如下：延长到点，使，连接，
，，
，
，
，
，，
≌，
，，
，
，
，
；
如图，连接，
，，
，
，
由可得：，
解得：，
故答案为：．
由“”可证≌，根据全等三角形的性质得到，，证明是等边三角形根据等边三角形的性质计算，得到答案；
延长到点，使，连接，证明≌，得到，，据此可得，根据勾股定理计算即可；
根据直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，利用中的结论计算，得到答案．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．