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2022年河南省中考考前信息卷数学(word版含答案)
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这是一份2022年河南省中考考前信息卷数学(word版含答案)，共8页。试卷主要包含了实数2 022的绝对值是，下列运算正确的是，方程x2+2x=1的根的情况为，如图,点A,B是抛物线C1等内容，欢迎下载使用。
2022年河南省中考考前信息卷
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
第Ⅰ卷
一、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1.实数2 022的绝对值是( )
A．2 022 B．－2 022 C． D．－
2.《中国核能发展报告2021》蓝皮书显示,2020年我国核能发电量为3 662.43亿千瓦时,相当于造林77.14万公顷.已知1公顷=104平方米,则数据77.14万公顷用科学记数法表示为( )
A.77.14×104平方米 B.7.714×107平方米 C.77.14×108平方米 D.7.714×109平方米
3.下列图形中,既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A B C D
4.下列运算正确的是( )
A.(-m2n)3=-m6n3 B.m5-m3=m2 C.(m+2)2=m2+4 D.(12m4-3m)÷3m=4m3
5.小川统计了自己所在小组成员某天做家庭作业的时间,统计数据如下表所示,关于这组数据,以下说法中错误的是( )
时间/时
3
3.5
4
4.5
人 数
1
1
2
1
A.中位数是4 B.众数是4 C.平均数是3 D.这天做家庭作业的时间超过3.5小时的成员有3名
6.方程x2+2x=1的根的情况为( )
A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根
7.关于x的一次函数y=-9x+2k(k≠0)的图象不经过第一象限,点A(x1,y1)和点B(x2,y2)是反比例函数y=kx的图象上的两个点,若0y2>0 C.y1>0>y2 D.y1<0
A.y=12(x-5)2+1 B.y=12(x-2)2+4 C.y=12(x+1)2+1 D.y=12(x+2)2-2
9.如图,在Rt△ABC中,∠CAB=90°,∠ABC=30°,边BC在x轴上,顶点A在y轴上,且OA=3,按以下步骤作图:①以点C为圆心、适当长为半径作弧,分别交边CB,CA于点M,N;②分别以点M,N为圆心、大于12MN的长为半径作弧,两弧在∠ACB内交于点P;③作射线CP,交边AB于点E.则点E的坐标为( )
A.(3,2) B.(5,2) C.(3,2) D.(3,3)
10.如图,在扇形AOB中,∠AOB=90°,OB=2,点D是AO的中点,过点D作DE⊥AO,交弧AB于点E,点C是OB的中点,连接AC,CE,则图中阴影部分的面积为( )
A.23π+12 B.23π-12 C.π-12 D.23π-1
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11.请写出一个无理数,使它是大于-2的负数: .
12.如图,AD∥BC,∠DBC=43°,DB=BC,则∠ADC的度数为 .
13.不等式组5x+9>1,1-x>2x-8的整数解有 个
14.如图(1),点P从矩形ABCD的顶点B出发,沿射线BC的方向以每秒1个单位长度的速度运动,过点P作PG⊥AP交射线DC于点G.如图(2)是点P运动时CG的长度y随时间t变化的关系图象,其中点Q为第一段曲线(抛物线的一部分)的最高点,则AB的长度是 .
图(1) 图(2)
15.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,点D,E分别为AB,AC的中点,点M是射线DE上一动点,连接MB,作△MDB关于直线BM的轴对称图形△MD'B.当D'M与△ABC的一条边平行时,线段DM的长为 .
三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16.(10分)(1)计算:12+3tan 30°-|2-3|+(π-1)0+82 021×(-0.125)2 021.
(2)小敏与小霞两位同学解方程3(x-3)=(x-3)2的过程如下框:
小敏:两边同除以(x-3),得3=x-3,则x=6.
小霞: 移项,得3(x-3)-(x-3)2 =0,提取公因式,得(x-3)(3-x-3)=0,则x-3=0或3-x-3=0,解得x1=3,x2=0.
你认为他们的解法是否正确?若正确请在框内打“√”;若错误请在框内打“✕”,并写出你的解答过程.
17.(9分)某校开展了“禁毒”知识的宣传教育活动.为了解这次活动的效果,现随机抽取部分学生进行知识测试,并将所得数据绘制成如下不完整的统计图表.
等级
频数
频率
优秀
60
0.6
良好
a
0.25
合格
10
b
基本合格
5
0.05
合计
c
1
根据统计图表提供的信息,解答下列问题:
(1)a= ,b= ,c= .
(2)补全条形统计图.
(3)该学校共有1 600名学生,估计测试成绩等级在合格以上(包括合格)的学生有多少人.
(4)在这次测试中,九年级(3)班的甲、乙、丙、丁四位同学的成绩均为“优秀”,现班主任准备从这四名同学中随机选取两名同学出一期关于“禁毒”知识的黑板报,请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学同时被选中的概率.
18.(9分)请阅读以下材料,并完成相应的任务.
在《阿基米德全集》中的《引理集》中记述了伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出的六个有关圆的引理,其中一个引理是:如图(1),点P是AB上的任意一点,PC⊥AB于点C,点D在弦AB上且AC=CD,在AB上取一点Q,使PQ=PA,连接BQ,则有BQ=BD.
图(1) 图(2)
(1)如图(2),小明同学尝试证明“BQ=BD”,于是他连接了PA,PB,PD,PQ,请根据小明的思路完成后续证明过程;
(2)如图(3),以AB为直径的半圆O上有一点P,连接PA,PO,PB,AP=6,AB=10,直线l与半圆O相切于点P,过点B作BE⊥l于点E,交半圆O于点Q,则BQ= .
图(3)
19.(9分)如图,在平面直角坐标系xOy中,反比例函数y=mx(x>0)的图象经过点A(4,32),点B在y轴的负半轴上,直线AB交x轴于点C,且点C为线段AB的中点.
(1)填空:m= ,点C的坐标为 .
(2)若点D为线段AB上的一个动点(不与点A,B重合),过点D作DE∥y轴,交反比例函数y=mx(x>0)的图象于点E,连接OD,OE,求△ODE面积的最大值.
20.(9分)九年级数学兴趣小组的实践课题是“测量物体的高度”.小组成员小明与小红分别采用不同的方案测量同一个底座为正方体的旗杆的高度.以下是他们的报告的部分内容:
课题:测量旗杆AB的高度
小明的报告
小红的报告
测量
示意
图
测量
方案
与测
量数
据
在点D处用高度CD=1.6 m的测角仪测出旗杆顶端A的仰角α=55°,再用皮尺测得测角仪底部所在位置与旗杆底座正方体边缘的最短距离为10 m.
在点D处用高度CD=1.6 m的测角仪测出旗杆顶端A的仰角α=29°,然后沿DB方向走20 m到达点F处,测出旗杆顶端A的仰角β=60°.
参考
数据
sin 55°≈0.82,cos 55°≈0.57,tan 55°≈1.43.
sin 29°≈0.48,cos 29°≈0.87,tan 29°≈0.55,3≈1.73.
计算
旗杆
高度
10×tan 55°+1.6≈15.9(m).
……
(1)写出小红的报告中“计算旗杆高度”的解答过程(结果精确到0.1 m);
(2)数学老师说小明的测量结果与旗杆实际高度偏差较大,超出了误差允许范围,请你针对小明的测量方案分析测量偏差较大的原因.
21.(9分)为了抗击新冠疫情,我市甲、乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨,乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨.这批防疫物资将运往A地240吨,B地260吨,运费如下表(单位:元/吨).
目的地
生产厂
A
B
甲
20
25
乙
15
24
(1)求甲、乙两厂各生产了这批防疫物资多少吨?
(2)设这批物资从乙厂运往A地x吨,全部运往A,B两地的总运费为y元.求y与x之间的函数关系式,并设计使总运费最少的调运方案;
(3)当每吨运费均降低m元(0
22. (10分)小星在学习中遇到这样一个问题:如图(1),在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=6 cm,AC=10 cm,点E在线段CB上,且EC=2 cm,点P是线段BE上一动点,连接AP,以点A为圆心,AP的长为半径画弧交线段AE于点Q,连接PQ,当BP是△PQE中某条边的1.5倍时,求BP的长.
图(1)
小星的探究过程如下:
(1)小星分析发现,有三种可能存在的情况,其中,当BP=1.5PE时,通过推理计算可得BP的长为 cm.但当他进一步研究其余两种情况时,发现很难通过常规的推理计算得到BP的长,于是尝试利用学习函数的经验解决问题.
(2)小星将线段BP的长度记为x,PQ和QE的长度分别记为y1,y2,并分别对函数y1,y2随着自变量x的变化规律进行探究.小星通过取点、画图、测量,得到了下表中的几组对应值:
x/cm
0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
y1/cm
4.59
3.71
2.91
2.15
1.42
0.71
0
y2/cm
2.40
2.16
1.78
1.27
0.68
0
①在探究过程中,小星发现当BP=0时,无须测量可以求出QE的长,此时QE的长约为 cm(结果精确到0.01.参考数据:2≈1.414).
②利用表格中的数据,小星已经在图(2)所示的平面直角坐标系中画出了y1关于x的函数图象,请你根据上表中y2和x的7组对应值在此平面直角坐标系中描点,并画出y2关于x的函数图象.
图(2)
(3)小星发现,想用函数图象彻底解决这个问题,还需要在平面直角坐标系内再画出一个函数的图象,请直接写出这个函数的解析式: ,并在上述平面直角坐标系中画出该函数的图象.
(4)请结合图象直接写出:当BP是PQ或QE的1.5倍时,BP的长约为 (结果精确到0.1 cm).
23.(10分)规定:有一角重合,且角的两边叠合在一起的两个相似四边形叫做“嵌套四边形”,如图,四边形ABCD和AMPN就是嵌套四边形.
(1)问题猜想:如图(1),嵌套四边形ABCD,AMPN都是正方形,现把正方形AMPN顺时针旋转150°得到正方形AM'P'N',连接BM',DN'交于点O,则BM'与DN'的数量关系为 ,位置关系为 .
(2)类比探究:如图(2),将(1)中的正方形换成菱形,且∠BAD=∠MAN=60°,其他条件不变,则(1)中的结论还成立吗?若成立,请说明理由;若不成立,请给出正确的结论,并说明理由.
(3)拓展延伸:如图(3),将(1)中的嵌套四边形ABCD和AMPN换成是长和宽之比为2∶1的矩形,旋转角换成α(90°<α<180°),其他条件不变,请直接写出BM'与DN'的数量关系和位置关系.
图(1) 图(2)
图(3)
2022年河南省中考考前信息卷
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
第Ⅰ卷
二、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1.实数2 022的绝对值是(B)
A．2 022 B．－2 022 C． D．－
2.《中国核能发展报告2021》蓝皮书显示,2020年我国核能发电量为3 662.43亿千瓦时,相当于造林77.14万公顷.已知1公顷=104平方米,则数据77.14万公顷用科学记数法表示为( D )
A.77.14×104平方米 B.7.714×107平方米 C.77.14×108平方米 D.7.714×109平方米
3.下列图形中,既是中心对称图形又是轴对称图形的是( A )
A B C D
4.下列运算正确的是( A )
A.(-m2n)3=-m6n3 B.m5-m3=m2 C.(m+2)2=m2+4 D.(12m4-3m)÷3m=4m3
5.小川统计了自己所在小组成员某天做家庭作业的时间,统计数据如下表所示,关于这组数据,以下说法中错误的是( C )
时间/时
3
3.5
4
4.5
人 数
1
1
2
1
A.中位数是4 B.众数是4 C.平均数是3 D.这天做家庭作业的时间超过3.5小时的成员有3名
6.方程x2+2x=1的根的情况为( B )
A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根
7.关于x的一次函数y=-9x+2k(k≠0)的图象不经过第一象限,点A(x1,y1)和点B(x2,y2)是反比例函数y=kx的图象上的两个点,若0y2>0 C.y1>0>y2 D.y1<0
A.y=12(x-5)2+1 B.y=12(x-2)2+4 C.y=12(x+1)2+1 D.y=12(x+2)2-2
9.如图,在Rt△ABC中,∠CAB=90°,∠ABC=30°,边BC在x轴上,顶点A在y轴上,且OA=3,按以下步骤作图:①以点C为圆心、适当长为半径作弧,分别交边CB,CA于点M,N;②分别以点M,N为圆心、大于12MN的长为半径作弧,两弧在∠ACB内交于点P;③作射线CP,交边AB于点E.则点E的坐标为( A )
A.(3,2) B.(5,2) C.(3,2) D.(3,3)
10.如图,在扇形AOB中,∠AOB=90°,OB=2,点D是AO的中点,过点D作DE⊥AO,交弧AB于点E,点C是OB的中点,连接AC,CE,则图中阴影部分的面积为( B )
A.23π+12 B.23π-12 C.π-12 D.23π-1
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11.请写出一个无理数,使它是大于-2的负数: 答案不唯一,如2-π,-2等 .
12.如图,AD∥BC,∠DBC=43°,DB=BC,则∠ADC的度数为 111.5° .
13.不等式组5x+9>1,1-x>2x-8的整数解有4个
14.如图(1),点P从矩形ABCD的顶点B出发,沿射线BC的方向以每秒1个单位长度的速度运动,过点P作PG⊥AP交射线DC于点G.如图(2)是点P运动时CG的长度y随时间t变化的关系图象,其中点Q为第一段曲线(抛物线的一部分)的最高点,则AB的长度是 3 .
图(1) 图(2)
15.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,点D,E分别为AB,AC的中点,点M是射线DE上一动点,连接MB,作△MDB关于直线BM的轴对称图形△MD'B.当D'M与△ABC的一条边平行时,线段DM的长为 12或52 .
三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16.(10分)(1)计算:12+3tan 30°-|2-3|+(π-1)0+82 021×(-0.125)2 021.
解:原式=23+3×33-(2-3)+1+[8×(-18)]2 021
=23+3-2+3+1-1
=43-2.
(2)小敏与小霞两位同学解方程3(x-3)=(x-3)2的过程如下框:
小敏:两边同除以(x-3),得3=x-3,则x=6. ✕
小霞: 移项,得3(x-3)-(x-3)2 =0,提取公因式,得(x-3)(3-x-3)=0,则x-3=0或3-x-3=0,解得x1=3,x2=0. ✕
你认为他们的解法是否正确?若正确请在框内打“√”;若错误请在框内打“✕”,并写出你的解答过程.
解:移项,得3(x-3)-(x-3)2=0,
提取公因式,得(x-3)[3-(x-3)]=0,
去括号,得(x-3)(3-x+3)=0,
则x-3=0或6-x=0,
解得x1=3,x2=6.
17.(9分)某校开展了“禁毒”知识的宣传教育活动.为了解这次活动的效果,现随机抽取部分学生进行知识测试,并将所得数据绘制成如下不完整的统计图表.
等级
频数
频率
优秀
60
0.6
良好
a
0.25
合格
10
b
基本合格
5
0.05
合计
c
1
根据统计图表提供的信息,解答下列问题:
(1)a= 25 ,b= 0.1 ,c= 100 .
(2)补全条形统计图.
(3)该学校共有1 600名学生,估计测试成绩等级在合格以上(包括合格)的学生有多少人.
(4)在这次测试中,九年级(3)班的甲、乙、丙、丁四位同学的成绩均为“优秀”,现班主任准备从这四名同学中随机选取两名同学出一期关于“禁毒”知识的黑板报,请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学同时被选中的概率.
解:(1)25 0.1 100
(2)补全条形统计图如图所示.
(3)1 600×10+25+60100=1 520(人).
答:估计测试成绩等级在合格以上(包括合格)的学生有1 520人.
(4)由题意列表如下:
甲
乙
丙
丁
甲
(乙,甲)
(丙,甲)
(丁,甲)
乙
(甲,乙)
(丙,乙)
(丁,乙)
丙
(甲,丙)
(乙,丙)
(丁,丙)
丁
(甲,丁)
(乙,丁)
(丙,丁)
由上表可知,共有12种等可能的结果,其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有2种,
故甲、乙两名同学同时被选中的概率为212=16.
18.(9分)请阅读以下材料,并完成相应的任务.
在《阿基米德全集》中的《引理集》中记述了伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出的六个有关圆的引理,其中一个引理是:如图(1),点P是AB上的任意一点,PC⊥AB于点C,点D在弦AB上且AC=CD,在AB上取一点Q,使PQ=PA,连接BQ,则有BQ=BD.
图(1) 图(2)
(1)如图(2),小明同学尝试证明“BQ=BD”,于是他连接了PA,PB,PD,PQ,请根据小明的思路完成后续证明过程;
(2)如图(3),以AB为直径的半圆O上有一点P,连接PA,PO,PB,AP=6,AB=10,直线l与半圆O相切于点P,过点B作BE⊥l于点E,交半圆O于点Q,则BQ= 145 .
图(3)
(1)证明:∵PC⊥AD,AC=CD, ∴PC垂直平分线段AD, ∴PA=PD, ∴∠PAC=∠PDC.
∵PQ=PA, ∴PQ=PA,∠QBP=∠DBP, ∴PQ=PD.
∵∠PDC+∠PDB=180°,∠PAC=∠PDC, ∴∠PAC+∠PDB=180°.
又∵∠PAC+∠PQB=180°, ∴∠PQB=∠PDB. ∴△PQB≌△PDB, ∴BQ=BD.
(2)145
解法提示:如图,过点P作PH⊥AB于点H,在HB上截取HG=AH,连接OQ.
∵AB为半圆O的直径,
∴∠APB=90°, ∴PB=AB2-AP2=102-62=8, ∴PH=6×810=245, ∴AH=62-(245)2=185.
∵PE是切线,∴OP⊥l.
又∵BE⊥l,∴OP∥BE, ∴∠OPB=∠PBE.
∵OB=OP,∴∠OPB=∠OBP,∴∠PBE=∠OBP, ∴∠POQ=∠AOP,∴AP=PQ.
根据题中结论,可知BQ=BG=AB-2AH=10-2×185=145.
19.(9分)如图,在平面直角坐标系xOy中,反比例函数y=mx(x>0)的图象经过点A(4,32),点B在y轴的负半轴上,直线AB交x轴于点C,且点C为线段AB的中点.
(1)填空:m= 6 ,点C的坐标为 (2,0) .
(2)若点D为线段AB上的一个动点(不与点A,B重合),过点D作DE∥y轴,交反比例函数y=mx(x>0)的图象于点E,连接OD,OE,求△ODE面积的最大值.
解:(1)6 (2,0)
(2)设直线AB的解析式为y=kx+b, 把A(4,32),C(2,0)分别代入,得4k+b=32,2k+b=0,解得k=34,b=-32,
故直线AB的解析式为y=34x-32.
∵点D为线段AB上的一个动点(不与点A,B重合), ∴设D(a,34a-32)(0
∴当a=1时,△ODE的面积最大,最大值为278.
20.(9分)九年级数学兴趣小组的实践课题是“测量物体的高度”.小组成员小明与小红分别采用不同的方案测量同一个底座为正方体的旗杆的高度.以下是他们的报告的部分内容:
课题:测量旗杆AB的高度
小明的报告
小红的报告
测量
示意
图
测量
方案
与测
量数
据
在点D处用高度CD=1.6 m的测角仪测出旗杆顶端A的仰角α=55°,再用皮尺测得测角仪底部所在位置与旗杆底座正方体边缘的最短距离为10 m.
在点D处用高度CD=1.6 m的测角仪测出旗杆顶端A的仰角α=29°,然后沿DB方向走20 m到达点F处,测出旗杆顶端A的仰角β=60°.
参考
数据
sin55°≈0.82,
cos55°≈0.57,
tan 55°≈1.43.
sin 29°≈0.48,cos 29°≈0.87,tan 29°≈0.55,3≈1.73.
计算
旗杆
高度
10×tan 55°+1.6≈15.9(m).
……
(1)写出小红的报告中“计算旗杆高度”的解答过程(结果精确到0.1 m);
(2)数学老师说小明的测量结果与旗杆实际高度偏差较大,超出了误差允许范围,请你针对小明的测量方案分析测量偏差较大的原因.
解:(1)过点E作EH⊥AB于点H,连接CE,
则C,E,H三点共线,且四边形CDFE和四边形EFBH均为矩形,
∴BH=EF=CD=1.6 m,CE=DF=20 m.
在Rt△ACH中,CH=AH÷tan α,
在Rt△AEH中,EH=AH÷tan β.
∵CH-EH=CE=20 m,∴AH÷tan α-AH÷tan β=20 m, ∴AH=20tanα·tanβtanβ-tanα≈20×0.55×1.731.73-0.55≈16.13(m), ∴AB=AH+BH=16.13+1.6≈17.7(m).
∴旗杆的高度约为17.7 m.
(2)原因:小明测量的只是测角仪底部所在位置与旗杆底座正方体边缘的最短距离,不是测量测角仪底部所在位置与点B的距离.
21.(9分)为了抗击新冠疫情,我市甲、乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨,乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨.这批防疫物资将运往A地240吨,B地260吨,运费如下表(单位:元/吨).
目的地
生产厂
A
B
甲
20
25
乙
15
24
(1)求甲、乙两厂各生产了这批防疫物资多少吨?
(2)设这批物资从乙厂运往A地x吨,全部运往A,B两地的总运费为y元.求y与x之间的函数关系式,并设计使总运费最少的调运方案;
(3)当每吨运费均降低m元(0
则a+b=500,2a-b=100,
解得a=200,b=300.
答:这批防疫物资甲厂生产了200吨,乙厂生产了300吨.
(2)如表,甲、乙两厂调往A,B两地的数量如下:
生产厂
目的地
A/吨
B/吨
合计/吨
甲
240-x
x-40
200
乙
x
300-x
300
合计/吨
240
260
500
∴y=20(240-x)+25(x-40)+15x+24(300-x)=-4x+11 000.
∵x≥0,240-x≥0,300-x≥0,x-40≥0, ∴40≤x≤240. 当x=240时运费最小,
∴甲厂200吨全部运往B地;乙厂运往A地240吨,运往B地60吨时总运费最少.
(3)当每吨运费降低m元时,y=-4x+11 000-500m.
当x=240时, y最小=-4×240+11 000-500m=10 040-500m, ∴10 040-500m≤5 200, ∴m≥9.68, ∴m的最小值为10.
22. (10分)小星在学习中遇到这样一个问题:如图(1),在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=6 cm,AC=10 cm,点E在线段CB上,且EC=2 cm,点P是线段BE上一动点,连接AP,以点A为圆心,AP的长为半径画弧交线段AE于点Q,连接PQ,当BP是△PQE中某条边的1.5倍时,求BP的长.
图(1)
小星的探究过程如下:
(1)小星分析发现,有三种可能存在的情况,其中,当BP=1.5PE时,通过推理计算可得BP的长为 3.6 cm.但当他进一步研究其余两种情况时,发现很难通过常规的推理计算得到BP的长,于是尝试利用学习函数的经验解决问题.
(2)小星将线段BP的长度记为x,PQ和QE的长度分别记为y1,y2,并分别对函数y1,y2随着自变量x的变化规律进行探究.小星通过取点、画图、测量,得到了下表中的几组对应值:
x/cm
0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
y1/cm
4.59
3.71
2.91
2.15
1.42
0.71
0
y2/cm
2.40
2.16
1.78
1.27
0.68
0
①在探究过程中,小星发现当BP=0时,无须测量可以求出QE的长,此时QE的长约为 2.48 cm(结果精确到0.01.参考数据:2≈1.414).
②利用表格中的数据,小星已经在图(2)所示的平面直角坐标系中画出了y1关于x的函数图象,请你根据上表中y2和x的7组对应值在此平面直角坐标系中描点,并画出y2关于x的函数图象.
图(2)
(3)小星发现,想用函数图象彻底解决这个问题,还需要在平面直角坐标系内再画出一个函数的图象,请直接写出这个函数的解析式: y=23x ,并在上述平面直角坐标系中画出该函数的图象.
(4)请结合图象直接写出:当BP是PQ或QE的1.5倍时,BP的长约为 2.8 cm或3.1 cm (结果精确到0.1 cm).
解:(1)3.6
解法提示:在Rt△ABC中,∵∠B=90°,AB=6,AC=10,
∴BC=AC2-AB2=8.
又CE=2,∴BE=6.
∵BP=1.5PE,∴1.5PE+PE =6,∴PE=2.4,
∴BP=3.6.
(2)①2.48
解法提示:在Rt△ABE中,AB=BE=6,∴AE=62.
当点P与点B重合时,AQ=AP=6,∴QE=62-6≈2.48.
②如图所示.
(3)y=23x
如图所示.
(4)2.8 cm或3.1 cm(在误差允许范围内均可)
23.(10分)规定:有一角重合,且角的两边叠合在一起的两个相似四边形叫做“嵌套四边形”,如图,四边形ABCD和AMPN就是嵌套四边形.
(1)问题猜想:如图(1),嵌套四边形ABCD,AMPN都是正方形,现把正方形AMPN顺时针旋转150°得到正方形AM'P'N',连接BM',DN'交于点O,则BM'与DN'的数量关系为 BM'=DN' ,位置关系为 BM'⊥DN' .
(2)类比探究:如图(2),将(1)中的正方形换成菱形,且∠BAD=∠MAN=60°,其他条件不变,则(1)中的结论还成立吗?若成立,请说明理由;若不成立,请给出正确的结论,并说明理由.
(3)拓展延伸:如图(3),将(1)中的嵌套四边形ABCD和AMPN换成是长和宽之比为2∶1的矩形,旋转角换成α(90°<α<180°),其他条件不变,请直接写出BM'与DN'的数量关系和位置关系.
图(1) 图(2)
图(3)
解:(1)BM'=DN' BM'⊥DN'
(2)BM'=DN'成立,BM'⊥DN'不成立,BM'与DN'相交,且夹角为60°.
理由:设AB,DN'交于点E,
由旋转的性质可得∠BAM'=∠DAN'=150°.
∵四边形ABCD,AM'P'N'都是菱形,
∴AB=AD,AM'=AN',
∴△ABM'≌△ADN',
∴BM'=DN',∠ABM'=∠ADN'.
又∵∠BEO=∠DEA,∴∠BOD=∠BAD=60°,
故BM'与DN'相交,且夹角为60°.
(3)BM'=2DN',BM'⊥DN'.
2022年河南省中考考前信息卷
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
第Ⅰ卷
一、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1.实数2 022的绝对值是( )
A．2 022 B．－2 022 C． D．－
2.《中国核能发展报告2021》蓝皮书显示,2020年我国核能发电量为3 662.43亿千瓦时,相当于造林77.14万公顷.已知1公顷=104平方米,则数据77.14万公顷用科学记数法表示为( )
A.77.14×104平方米 B.7.714×107平方米 C.77.14×108平方米 D.7.714×109平方米
3.下列图形中,既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A B C D
4.下列运算正确的是( )
A.(-m2n)3=-m6n3 B.m5-m3=m2 C.(m+2)2=m2+4 D.(12m4-3m)÷3m=4m3
5.小川统计了自己所在小组成员某天做家庭作业的时间,统计数据如下表所示,关于这组数据,以下说法中错误的是( )
时间/时
3
3.5
4
4.5
人 数
1
1
2
1
A.中位数是4 B.众数是4 C.平均数是3 D.这天做家庭作业的时间超过3.5小时的成员有3名
6.方程x2+2x=1的根的情况为( )
A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根
7.关于x的一次函数y=-9x+2k(k≠0)的图象不经过第一象限,点A(x1,y1)和点B(x2,y2)是反比例函数y=kx的图象上的两个点,若0
A.y=12(x-5)2+1 B.y=12(x-2)2+4 C.y=12(x+1)2+1 D.y=12(x+2)2-2
9.如图,在Rt△ABC中,∠CAB=90°,∠ABC=30°,边BC在x轴上,顶点A在y轴上,且OA=3,按以下步骤作图:①以点C为圆心、适当长为半径作弧,分别交边CB,CA于点M,N;②分别以点M,N为圆心、大于12MN的长为半径作弧,两弧在∠ACB内交于点P;③作射线CP,交边AB于点E.则点E的坐标为( )
A.(3,2) B.(5,2) C.(3,2) D.(3,3)
10.如图,在扇形AOB中,∠AOB=90°,OB=2,点D是AO的中点,过点D作DE⊥AO,交弧AB于点E,点C是OB的中点,连接AC,CE,则图中阴影部分的面积为( )
A.23π+12 B.23π-12 C.π-12 D.23π-1
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11.请写出一个无理数,使它是大于-2的负数: .
12.如图,AD∥BC,∠DBC=43°,DB=BC,则∠ADC的度数为 .
13.不等式组5x+9>1,1-x>2x-8的整数解有 个
14.如图(1),点P从矩形ABCD的顶点B出发,沿射线BC的方向以每秒1个单位长度的速度运动,过点P作PG⊥AP交射线DC于点G.如图(2)是点P运动时CG的长度y随时间t变化的关系图象,其中点Q为第一段曲线(抛物线的一部分)的最高点,则AB的长度是 .
图(1) 图(2)
15.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,点D,E分别为AB,AC的中点,点M是射线DE上一动点,连接MB,作△MDB关于直线BM的轴对称图形△MD'B.当D'M与△ABC的一条边平行时,线段DM的长为 .
三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16.(10分)(1)计算:12+3tan 30°-|2-3|+(π-1)0+82 021×(-0.125)2 021.
(2)小敏与小霞两位同学解方程3(x-3)=(x-3)2的过程如下框:
小敏:两边同除以(x-3),得3=x-3,则x=6.
小霞: 移项,得3(x-3)-(x-3)2 =0,提取公因式,得(x-3)(3-x-3)=0,则x-3=0或3-x-3=0,解得x1=3,x2=0.
你认为他们的解法是否正确?若正确请在框内打“√”;若错误请在框内打“✕”,并写出你的解答过程.
17.(9分)某校开展了“禁毒”知识的宣传教育活动.为了解这次活动的效果,现随机抽取部分学生进行知识测试,并将所得数据绘制成如下不完整的统计图表.
等级
频数
频率
优秀
60
0.6
良好
a
0.25
合格
10
b
基本合格
5
0.05
合计
c
1
根据统计图表提供的信息,解答下列问题:
(1)a= ,b= ,c= .
(2)补全条形统计图.
(3)该学校共有1 600名学生,估计测试成绩等级在合格以上(包括合格)的学生有多少人.
(4)在这次测试中,九年级(3)班的甲、乙、丙、丁四位同学的成绩均为“优秀”,现班主任准备从这四名同学中随机选取两名同学出一期关于“禁毒”知识的黑板报,请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学同时被选中的概率.
18.(9分)请阅读以下材料,并完成相应的任务.
在《阿基米德全集》中的《引理集》中记述了伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出的六个有关圆的引理,其中一个引理是:如图(1),点P是AB上的任意一点,PC⊥AB于点C,点D在弦AB上且AC=CD,在AB上取一点Q,使PQ=PA,连接BQ,则有BQ=BD.
图(1) 图(2)
(1)如图(2),小明同学尝试证明“BQ=BD”,于是他连接了PA,PB,PD,PQ,请根据小明的思路完成后续证明过程;
(2)如图(3),以AB为直径的半圆O上有一点P,连接PA,PO,PB,AP=6,AB=10,直线l与半圆O相切于点P,过点B作BE⊥l于点E,交半圆O于点Q,则BQ= .
图(3)
19.(9分)如图,在平面直角坐标系xOy中,反比例函数y=mx(x>0)的图象经过点A(4,32),点B在y轴的负半轴上,直线AB交x轴于点C,且点C为线段AB的中点.
(1)填空:m= ,点C的坐标为 .
(2)若点D为线段AB上的一个动点(不与点A,B重合),过点D作DE∥y轴,交反比例函数y=mx(x>0)的图象于点E,连接OD,OE,求△ODE面积的最大值.
20.(9分)九年级数学兴趣小组的实践课题是“测量物体的高度”.小组成员小明与小红分别采用不同的方案测量同一个底座为正方体的旗杆的高度.以下是他们的报告的部分内容:
课题:测量旗杆AB的高度
小明的报告
小红的报告
测量
示意
图
测量
方案
与测
量数
据
在点D处用高度CD=1.6 m的测角仪测出旗杆顶端A的仰角α=55°,再用皮尺测得测角仪底部所在位置与旗杆底座正方体边缘的最短距离为10 m.
在点D处用高度CD=1.6 m的测角仪测出旗杆顶端A的仰角α=29°,然后沿DB方向走20 m到达点F处,测出旗杆顶端A的仰角β=60°.
参考
数据
sin 55°≈0.82,cos 55°≈0.57,tan 55°≈1.43.
sin 29°≈0.48,cos 29°≈0.87,tan 29°≈0.55,3≈1.73.
计算
旗杆
高度
10×tan 55°+1.6≈15.9(m).
……
(1)写出小红的报告中“计算旗杆高度”的解答过程(结果精确到0.1 m);
(2)数学老师说小明的测量结果与旗杆实际高度偏差较大,超出了误差允许范围,请你针对小明的测量方案分析测量偏差较大的原因.
21.(9分)为了抗击新冠疫情,我市甲、乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨,乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨.这批防疫物资将运往A地240吨,B地260吨,运费如下表(单位:元/吨).
目的地
生产厂
A
B
甲
20
25
乙
15
24
(1)求甲、乙两厂各生产了这批防疫物资多少吨?
(2)设这批物资从乙厂运往A地x吨,全部运往A,B两地的总运费为y元.求y与x之间的函数关系式,并设计使总运费最少的调运方案;
(3)当每吨运费均降低m元(0
22. (10分)小星在学习中遇到这样一个问题:如图(1),在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=6 cm,AC=10 cm,点E在线段CB上,且EC=2 cm,点P是线段BE上一动点,连接AP,以点A为圆心,AP的长为半径画弧交线段AE于点Q,连接PQ,当BP是△PQE中某条边的1.5倍时,求BP的长.
图(1)
小星的探究过程如下:
(1)小星分析发现,有三种可能存在的情况,其中,当BP=1.5PE时,通过推理计算可得BP的长为 cm.但当他进一步研究其余两种情况时,发现很难通过常规的推理计算得到BP的长,于是尝试利用学习函数的经验解决问题.
(2)小星将线段BP的长度记为x,PQ和QE的长度分别记为y1,y2,并分别对函数y1,y2随着自变量x的变化规律进行探究.小星通过取点、画图、测量,得到了下表中的几组对应值:
x/cm
0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
y1/cm
4.59
3.71
2.91
2.15
1.42
0.71
0
y2/cm
2.40
2.16
1.78
1.27
0.68
0
①在探究过程中,小星发现当BP=0时,无须测量可以求出QE的长,此时QE的长约为 cm(结果精确到0.01.参考数据:2≈1.414).
②利用表格中的数据,小星已经在图(2)所示的平面直角坐标系中画出了y1关于x的函数图象,请你根据上表中y2和x的7组对应值在此平面直角坐标系中描点,并画出y2关于x的函数图象.
图(2)
(3)小星发现,想用函数图象彻底解决这个问题,还需要在平面直角坐标系内再画出一个函数的图象,请直接写出这个函数的解析式: ,并在上述平面直角坐标系中画出该函数的图象.
(4)请结合图象直接写出:当BP是PQ或QE的1.5倍时,BP的长约为 (结果精确到0.1 cm).
23.(10分)规定:有一角重合,且角的两边叠合在一起的两个相似四边形叫做“嵌套四边形”,如图,四边形ABCD和AMPN就是嵌套四边形.
(1)问题猜想:如图(1),嵌套四边形ABCD,AMPN都是正方形,现把正方形AMPN顺时针旋转150°得到正方形AM'P'N',连接BM',DN'交于点O,则BM'与DN'的数量关系为 ,位置关系为 .
(2)类比探究:如图(2),将(1)中的正方形换成菱形,且∠BAD=∠MAN=60°,其他条件不变,则(1)中的结论还成立吗?若成立,请说明理由;若不成立,请给出正确的结论,并说明理由.
(3)拓展延伸:如图(3),将(1)中的嵌套四边形ABCD和AMPN换成是长和宽之比为2∶1的矩形,旋转角换成α(90°<α<180°),其他条件不变,请直接写出BM'与DN'的数量关系和位置关系.
图(1) 图(2)
图(3)
2022年河南省中考考前信息卷
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
第Ⅰ卷
二、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1.实数2 022的绝对值是(B)
A．2 022 B．－2 022 C． D．－
2.《中国核能发展报告2021》蓝皮书显示,2020年我国核能发电量为3 662.43亿千瓦时,相当于造林77.14万公顷.已知1公顷=104平方米,则数据77.14万公顷用科学记数法表示为( D )
A.77.14×104平方米 B.7.714×107平方米 C.77.14×108平方米 D.7.714×109平方米
3.下列图形中,既是中心对称图形又是轴对称图形的是( A )
A B C D
4.下列运算正确的是( A )
A.(-m2n)3=-m6n3 B.m5-m3=m2 C.(m+2)2=m2+4 D.(12m4-3m)÷3m=4m3
5.小川统计了自己所在小组成员某天做家庭作业的时间,统计数据如下表所示,关于这组数据,以下说法中错误的是( C )
时间/时
3
3.5
4
4.5
人 数
1
1
2
1
A.中位数是4 B.众数是4 C.平均数是3 D.这天做家庭作业的时间超过3.5小时的成员有3名
6.方程x2+2x=1的根的情况为( B )
A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根
7.关于x的一次函数y=-9x+2k(k≠0)的图象不经过第一象限,点A(x1,y1)和点B(x2,y2)是反比例函数y=kx的图象上的两个点,若0
A.y=12(x-5)2+1 B.y=12(x-2)2+4 C.y=12(x+1)2+1 D.y=12(x+2)2-2
9.如图,在Rt△ABC中,∠CAB=90°,∠ABC=30°,边BC在x轴上,顶点A在y轴上,且OA=3,按以下步骤作图:①以点C为圆心、适当长为半径作弧,分别交边CB,CA于点M,N;②分别以点M,N为圆心、大于12MN的长为半径作弧,两弧在∠ACB内交于点P;③作射线CP,交边AB于点E.则点E的坐标为( A )
A.(3,2) B.(5,2) C.(3,2) D.(3,3)
10.如图,在扇形AOB中,∠AOB=90°,OB=2,点D是AO的中点,过点D作DE⊥AO,交弧AB于点E,点C是OB的中点,连接AC,CE,则图中阴影部分的面积为( B )
A.23π+12 B.23π-12 C.π-12 D.23π-1
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11.请写出一个无理数,使它是大于-2的负数: 答案不唯一,如2-π,-2等 .
12.如图,AD∥BC,∠DBC=43°,DB=BC,则∠ADC的度数为 111.5° .
13.不等式组5x+9>1,1-x>2x-8的整数解有4个
14.如图(1),点P从矩形ABCD的顶点B出发,沿射线BC的方向以每秒1个单位长度的速度运动,过点P作PG⊥AP交射线DC于点G.如图(2)是点P运动时CG的长度y随时间t变化的关系图象,其中点Q为第一段曲线(抛物线的一部分)的最高点,则AB的长度是 3 .
图(1) 图(2)
15.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,点D,E分别为AB,AC的中点,点M是射线DE上一动点,连接MB,作△MDB关于直线BM的轴对称图形△MD'B.当D'M与△ABC的一条边平行时,线段DM的长为 12或52 .
三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16.(10分)(1)计算:12+3tan 30°-|2-3|+(π-1)0+82 021×(-0.125)2 021.
解:原式=23+3×33-(2-3)+1+[8×(-18)]2 021
=23+3-2+3+1-1
=43-2.
(2)小敏与小霞两位同学解方程3(x-3)=(x-3)2的过程如下框:
小敏:两边同除以(x-3),得3=x-3,则x=6. ✕
小霞: 移项,得3(x-3)-(x-3)2 =0,提取公因式,得(x-3)(3-x-3)=0,则x-3=0或3-x-3=0,解得x1=3,x2=0. ✕
你认为他们的解法是否正确?若正确请在框内打“√”;若错误请在框内打“✕”,并写出你的解答过程.
解:移项,得3(x-3)-(x-3)2=0,
提取公因式,得(x-3)[3-(x-3)]=0,
去括号,得(x-3)(3-x+3)=0,
则x-3=0或6-x=0,
解得x1=3,x2=6.
17.(9分)某校开展了“禁毒”知识的宣传教育活动.为了解这次活动的效果,现随机抽取部分学生进行知识测试,并将所得数据绘制成如下不完整的统计图表.
等级
频数
频率
优秀
60
0.6
良好
a
0.25
合格
10
b
基本合格
5
0.05
合计
c
1
根据统计图表提供的信息,解答下列问题:
(1)a= 25 ,b= 0.1 ,c= 100 .
(2)补全条形统计图.
(3)该学校共有1 600名学生,估计测试成绩等级在合格以上(包括合格)的学生有多少人.
(4)在这次测试中,九年级(3)班的甲、乙、丙、丁四位同学的成绩均为“优秀”,现班主任准备从这四名同学中随机选取两名同学出一期关于“禁毒”知识的黑板报,请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学同时被选中的概率.
解:(1)25 0.1 100
(2)补全条形统计图如图所示.
(3)1 600×10+25+60100=1 520(人).
答:估计测试成绩等级在合格以上(包括合格)的学生有1 520人.
(4)由题意列表如下:
甲
乙
丙
丁
甲
(乙,甲)
(丙,甲)
(丁,甲)
乙
(甲,乙)
(丙,乙)
(丁,乙)
丙
(甲,丙)
(乙,丙)
(丁,丙)
丁
(甲,丁)
(乙,丁)
(丙,丁)
由上表可知,共有12种等可能的结果,其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有2种,
故甲、乙两名同学同时被选中的概率为212=16.
18.(9分)请阅读以下材料,并完成相应的任务.
在《阿基米德全集》中的《引理集》中记述了伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出的六个有关圆的引理,其中一个引理是:如图(1),点P是AB上的任意一点,PC⊥AB于点C,点D在弦AB上且AC=CD,在AB上取一点Q,使PQ=PA,连接BQ,则有BQ=BD.
图(1) 图(2)
(1)如图(2),小明同学尝试证明“BQ=BD”,于是他连接了PA,PB,PD,PQ,请根据小明的思路完成后续证明过程;
(2)如图(3),以AB为直径的半圆O上有一点P,连接PA,PO,PB,AP=6,AB=10,直线l与半圆O相切于点P,过点B作BE⊥l于点E,交半圆O于点Q,则BQ= 145 .
图(3)
(1)证明:∵PC⊥AD,AC=CD, ∴PC垂直平分线段AD, ∴PA=PD, ∴∠PAC=∠PDC.
∵PQ=PA, ∴PQ=PA,∠QBP=∠DBP, ∴PQ=PD.
∵∠PDC+∠PDB=180°,∠PAC=∠PDC, ∴∠PAC+∠PDB=180°.
又∵∠PAC+∠PQB=180°, ∴∠PQB=∠PDB. ∴△PQB≌△PDB, ∴BQ=BD.
(2)145
解法提示:如图,过点P作PH⊥AB于点H,在HB上截取HG=AH,连接OQ.
∵AB为半圆O的直径,
∴∠APB=90°, ∴PB=AB2-AP2=102-62=8, ∴PH=6×810=245, ∴AH=62-(245)2=185.
∵PE是切线,∴OP⊥l.
又∵BE⊥l,∴OP∥BE, ∴∠OPB=∠PBE.
∵OB=OP,∴∠OPB=∠OBP,∴∠PBE=∠OBP, ∴∠POQ=∠AOP,∴AP=PQ.
根据题中结论,可知BQ=BG=AB-2AH=10-2×185=145.
19.(9分)如图,在平面直角坐标系xOy中,反比例函数y=mx(x>0)的图象经过点A(4,32),点B在y轴的负半轴上,直线AB交x轴于点C,且点C为线段AB的中点.
(1)填空:m= 6 ,点C的坐标为 (2,0) .
(2)若点D为线段AB上的一个动点(不与点A,B重合),过点D作DE∥y轴,交反比例函数y=mx(x>0)的图象于点E,连接OD,OE,求△ODE面积的最大值.
解:(1)6 (2,0)
(2)设直线AB的解析式为y=kx+b, 把A(4,32),C(2,0)分别代入,得4k+b=32,2k+b=0,解得k=34,b=-32,
故直线AB的解析式为y=34x-32.
∵点D为线段AB上的一个动点(不与点A,B重合), ∴设D(a,34a-32)(0
∴当a=1时,△ODE的面积最大,最大值为278.
20.(9分)九年级数学兴趣小组的实践课题是“测量物体的高度”.小组成员小明与小红分别采用不同的方案测量同一个底座为正方体的旗杆的高度.以下是他们的报告的部分内容:
课题:测量旗杆AB的高度
小明的报告
小红的报告
测量
示意
图
测量
方案
与测
量数
据
在点D处用高度CD=1.6 m的测角仪测出旗杆顶端A的仰角α=55°,再用皮尺测得测角仪底部所在位置与旗杆底座正方体边缘的最短距离为10 m.
在点D处用高度CD=1.6 m的测角仪测出旗杆顶端A的仰角α=29°,然后沿DB方向走20 m到达点F处,测出旗杆顶端A的仰角β=60°.
参考
数据
sin55°≈0.82,
cos55°≈0.57,
tan 55°≈1.43.
sin 29°≈0.48,cos 29°≈0.87,tan 29°≈0.55,3≈1.73.
计算
旗杆
高度
10×tan 55°+1.6≈15.9(m).
……
(1)写出小红的报告中“计算旗杆高度”的解答过程(结果精确到0.1 m);
(2)数学老师说小明的测量结果与旗杆实际高度偏差较大,超出了误差允许范围,请你针对小明的测量方案分析测量偏差较大的原因.
解:(1)过点E作EH⊥AB于点H,连接CE,
则C,E,H三点共线,且四边形CDFE和四边形EFBH均为矩形,
∴BH=EF=CD=1.6 m,CE=DF=20 m.
在Rt△ACH中,CH=AH÷tan α,
在Rt△AEH中,EH=AH÷tan β.
∵CH-EH=CE=20 m,∴AH÷tan α-AH÷tan β=20 m, ∴AH=20tanα·tanβtanβ-tanα≈20×0.55×1.731.73-0.55≈16.13(m), ∴AB=AH+BH=16.13+1.6≈17.7(m).
∴旗杆的高度约为17.7 m.
(2)原因:小明测量的只是测角仪底部所在位置与旗杆底座正方体边缘的最短距离,不是测量测角仪底部所在位置与点B的距离.
21.(9分)为了抗击新冠疫情,我市甲、乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨,乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨.这批防疫物资将运往A地240吨,B地260吨,运费如下表(单位:元/吨).
目的地
生产厂
A
B
甲
20
25
乙
15
24
(1)求甲、乙两厂各生产了这批防疫物资多少吨?
(2)设这批物资从乙厂运往A地x吨,全部运往A,B两地的总运费为y元.求y与x之间的函数关系式,并设计使总运费最少的调运方案;
(3)当每吨运费均降低m元(0
则a+b=500,2a-b=100,
解得a=200,b=300.
答:这批防疫物资甲厂生产了200吨,乙厂生产了300吨.
(2)如表,甲、乙两厂调往A,B两地的数量如下:
生产厂
目的地
A/吨
B/吨
合计/吨
甲
240-x
x-40
200
乙
x
300-x
300
合计/吨
240
260
500
∴y=20(240-x)+25(x-40)+15x+24(300-x)=-4x+11 000.
∵x≥0,240-x≥0,300-x≥0,x-40≥0, ∴40≤x≤240. 当x=240时运费最小,
∴甲厂200吨全部运往B地;乙厂运往A地240吨,运往B地60吨时总运费最少.
(3)当每吨运费降低m元时,y=-4x+11 000-500m.
当x=240时, y最小=-4×240+11 000-500m=10 040-500m, ∴10 040-500m≤5 200, ∴m≥9.68, ∴m的最小值为10.
22. (10分)小星在学习中遇到这样一个问题:如图(1),在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=6 cm,AC=10 cm,点E在线段CB上,且EC=2 cm,点P是线段BE上一动点,连接AP,以点A为圆心,AP的长为半径画弧交线段AE于点Q,连接PQ,当BP是△PQE中某条边的1.5倍时,求BP的长.
图(1)
小星的探究过程如下:
(1)小星分析发现,有三种可能存在的情况,其中,当BP=1.5PE时,通过推理计算可得BP的长为 3.6 cm.但当他进一步研究其余两种情况时,发现很难通过常规的推理计算得到BP的长,于是尝试利用学习函数的经验解决问题.
(2)小星将线段BP的长度记为x,PQ和QE的长度分别记为y1,y2,并分别对函数y1,y2随着自变量x的变化规律进行探究.小星通过取点、画图、测量,得到了下表中的几组对应值:
x/cm
0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
y1/cm
4.59
3.71
2.91
2.15
1.42
0.71
0
y2/cm
2.40
2.16
1.78
1.27
0.68
0
①在探究过程中,小星发现当BP=0时,无须测量可以求出QE的长,此时QE的长约为 2.48 cm(结果精确到0.01.参考数据:2≈1.414).
②利用表格中的数据,小星已经在图(2)所示的平面直角坐标系中画出了y1关于x的函数图象,请你根据上表中y2和x的7组对应值在此平面直角坐标系中描点,并画出y2关于x的函数图象.
图(2)
(3)小星发现,想用函数图象彻底解决这个问题,还需要在平面直角坐标系内再画出一个函数的图象,请直接写出这个函数的解析式: y=23x ,并在上述平面直角坐标系中画出该函数的图象.
(4)请结合图象直接写出:当BP是PQ或QE的1.5倍时,BP的长约为 2.8 cm或3.1 cm (结果精确到0.1 cm).
解:(1)3.6
解法提示:在Rt△ABC中,∵∠B=90°,AB=6,AC=10,
∴BC=AC2-AB2=8.
又CE=2,∴BE=6.
∵BP=1.5PE,∴1.5PE+PE =6,∴PE=2.4,
∴BP=3.6.
(2)①2.48
解法提示:在Rt△ABE中,AB=BE=6,∴AE=62.
当点P与点B重合时,AQ=AP=6,∴QE=62-6≈2.48.
②如图所示.
(3)y=23x
如图所示.
(4)2.8 cm或3.1 cm(在误差允许范围内均可)
23.(10分)规定:有一角重合,且角的两边叠合在一起的两个相似四边形叫做“嵌套四边形”,如图,四边形ABCD和AMPN就是嵌套四边形.
(1)问题猜想:如图(1),嵌套四边形ABCD,AMPN都是正方形,现把正方形AMPN顺时针旋转150°得到正方形AM'P'N',连接BM',DN'交于点O,则BM'与DN'的数量关系为 BM'=DN' ,位置关系为 BM'⊥DN' .
(2)类比探究:如图(2),将(1)中的正方形换成菱形,且∠BAD=∠MAN=60°,其他条件不变,则(1)中的结论还成立吗?若成立,请说明理由;若不成立,请给出正确的结论,并说明理由.
(3)拓展延伸:如图(3),将(1)中的嵌套四边形ABCD和AMPN换成是长和宽之比为2∶1的矩形,旋转角换成α(90°<α<180°),其他条件不变,请直接写出BM'与DN'的数量关系和位置关系.
图(1) 图(2)
图(3)
解:(1)BM'=DN' BM'⊥DN'
(2)BM'=DN'成立,BM'⊥DN'不成立,BM'与DN'相交,且夹角为60°.
理由:设AB,DN'交于点E,
由旋转的性质可得∠BAM'=∠DAN'=150°.
∵四边形ABCD,AM'P'N'都是菱形,
∴AB=AD,AM'=AN',
∴△ABM'≌△ADN',
∴BM'=DN',∠ABM'=∠ADN'.
又∵∠BEO=∠DEA,∴∠BOD=∠BAD=60°,
故BM'与DN'相交,且夹角为60°.
(3)BM'=2DN',BM'⊥DN'.
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