2020-2021学年广东省潮州市饶平县英才实验中学八年级（下）期末数学复习试卷（27）

这是一份2020-2021学年广东省潮州市饶平县英才实验中学八年级（下）期末数学复习试卷（27），共31页。试卷主要包含了下列二次根式，最简二次根式是，下列计算正确的是，点A，下列命题中，真命题是等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年广东省潮州市饶平县英才实验中学八年级（下）期末数学复习试卷（27）
一．选择题（共12小题）
1．下列二次根式，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列各线段的长，能构成直角三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．5，12，13 C．4，6，9 D．5，11，13
4．点A（x1，y1）、B（x2，y2）都在直线y＝kx+2（k＜0）上，且x1＜x2，则y1、y2的大小关系是（　　）
A．y1 ＝y2 B．y1 ＜y2 C．y1 ＞y2 D．y1 ≥y2
5．下列命题中，真命题是（　　）
A．两对角线相等的四边形是矩形
B．两对角线互相垂直的四边形是菱形
C．两对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
D．一组对边相等另一组对边平行的四边形是平行四边形
6．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，若∠D＝120°，则∠C的度数为（　　）

A．60° B．70° C．80° D．90°
7．直角三角形两条直角边长分别是5和12，则第三边上的中线长为（　　）
A．5 B．6 C．6.5 D．12
8．在一次函数y＝ax﹣a中，y随x的增大而减小，则其图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
9．已知样本数据2，3，5，3，7，下列说法不正确的是（　　）
A．平均数是4 B．众数是3 C．中位数是5 D．方差是3.2
10．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，如果DE＝3，那么BC的长为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
11．下列函数中，是正比例函数的是（　　）
A．y＝3x2 B．y＝5x C． D．y＝x﹣1
12．已知A、B两地相距810千米，甲车从A地匀速前往B地，到达B地后停止．甲车出发1小时后，乙车从B地沿同一公路匀速前往A地，到达A地后停止．设甲乙两车之间的距离为y（千米），甲车出发的时间为x（小时），y与x的关系如图所示，对于以下说法：①乙车的速度为90千米/时；②点F的坐标为（10，540）；③图中a的值是13.5；④当甲乙两车相遇时，两车相遇地距A地的距离为360千米．其中正确的结论是（　　）

A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④
二．填空题（共9小题）
13．甲、乙两名同学参加“古诗词大赛”，五次比赛成绩的平均分都是 85 分，且方差分别为 s甲2＝16.7，s乙2＝28.3，那么成绩比较稳定的是　 　．（填“甲”或“乙”）
14．在函数中，自变量x的取值范围是　 　．
15．（2+）2014（﹣2）2015＝　 　．
16．如图，一次函数y＝﹣x﹣2与y＝2x+m的图象相交于点P（n，﹣4），则关于x的不等式组的解集为　 　．

17．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，若∠ADB＝36°，则∠E＝　 　°．

18．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前的高度是　 　．

19．直线y＝2x﹣1沿y轴向上平移3个单位，则平移后直线与x轴的交点坐标为　 　．
20．观察分析下列数据：0，﹣，，﹣3，2，﹣，3，…，根据数据排列的规律得到第13个数据应是　 　．
21．如图所示，正方形ABCD的边长为6，M在DC上，且DM＝4，N是AC上的动点，则DN+MN的最小值是　 　．

三．解答题（共9小题）
22．化简：．
23．为了解某校八年级学生科普知识竞赛的情况，现从中随机抽取部分学生的成绩，并用得到的数据绘制了统计图①和图②，请根据图中提供的信息，回答下列问题：

（Ⅰ）本次随机抽样调查的学生人数为　 　，图①中的m的值为　 　；
（Ⅱ）求本次抽样调查获取的样本数据的众数、中位数和平均数；
（Ⅲ）若该校八年级共有学生300人，如果竞赛成绩达到28分（含28分）及以上为优秀，请估计该校八年级学生在本次科普竞赛中成绩优秀的人数．
24．如图，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，CD＝12，AD＝13，点E是AD的中点，求CE的长．

25．小亮步行上山游玩，设小亮出发xmin后行走的路程为ym图中的折线表示小亮在整个行走过程中y与x的函数关系．
（1）小亮行走的总路程是　 　m，他途中休息了　 　min．
（2）当50≤x≤80时，求y与x的函数关系式．

26．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，点E是菱形外一点，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形DECO是矩形；
（2）连接AE交BD于点F，当∠ADB＝30°，DE＝4时，求AF的长度．

27．观察下列等式：回答问题：
①＝1+﹣＝1
②＝1+﹣＝1
③＝1+﹣＝1，…
（1）根据上面三个等式的信息，猜想＝　 　；
（2）请按照上式反应的规律，试写出用n表示的等式；
（3）验证你的结果．
28．如图，已知△ABC，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于点E，连接CE，过点C作CF∥BA交PQ于点F，连接AF．
（1）求证：△AED≌△CFD；
（2）求证：四边形AECF是菱形．
（3）若ED＝6，AE＝10，则菱形AECF的面积是多少？

29．长方形纸片OABC中，AB＝10cm，BC＝8cm，把这张长方形纸片OABC如图放置在平面直角坐标系中，在边OA上取一点E，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在OC边上的点F处．
（1）点E的坐标是　 　，点F的坐标是　 　；
（2）在AB上找一点P，使EP+PF最小，求点P坐标；
（3）在（2）的条件下，点Q（x，y）是直线PF上一个动点，设△OCQ的面积为S，求S与x的函数关系式．

30．如图，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于点A（4，0）、B（0，4），点P在x轴上运动，连接PB，将△OBP沿直线BP折叠，点O的对应点记为O′．
（1）求k、b的值；
（2）若点O′恰好落在直线AB上，求△OBP的面积；
（3）将线段PB绕点P顺时针旋转45°得到线段PC，直线PC与直线AB的交点为Q，在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得△PBQ为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．


2020-2021学年广东省潮州市饶平县英才实验中学八年级（下）期末数学复习试卷（27）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．下列二次根式，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：A、被开方数含开的尽的因数，故A不符合题意；
B、被开方数含分母，故B不符合题意；
C、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故C符合题意；
D、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】A、B根据合并同类二次根式的法则计算，
C、根据二次根式的除法计算，
D、根据二次根式的乘方计算．
【解答】解：A、不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
B、不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
C、÷＝＝3，此选项正确；
D、（）2＝2，此选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握同类二次根式的概念，以及掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则．
3．下列各线段的长，能构成直角三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．5，12，13 C．4，6，9 D．5，11，13
【分析】根据勾股定理的逆定理，可以判断各个选项中的线段的长，能否构成直角三角形．
【解答】解：∵22+32≠42，故选项A中的三条选段的长不能构成直角三角形；
∵52+122＝132，故选项B中的三条选段的长能构成直角三角形；
∵42+62≠92，故选项C中的三条选段的长不能构成直角三角形；
∵52+112≠132，故选项D中的三条选段的长不能构成直角三角形；
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．
4．点A（x1，y1）、B（x2，y2）都在直线y＝kx+2（k＜0）上，且x1＜x2，则y1、y2的大小关系是（　　）
A．y1 ＝y2 B．y1 ＜y2 C．y1 ＞y2 D．y1 ≥y2
【分析】根据直线系数k＜0，可知y随x的增大而减小，x1＜x2时，y1＞y2．
【解答】解：∵直线y＝kx+b中k＜0，
∴函数y随x的增大而减小，
∴当x1＜x2时，y1＞y2．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是一次函数的性质．解答此题要熟知一次函数y＝kx+b：当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
5．下列命题中，真命题是（　　）
A．两对角线相等的四边形是矩形
B．两对角线互相垂直的四边形是菱形
C．两对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
D．一组对边相等另一组对边平行的四边形是平行四边形
【分析】根据矩形的判定方法对A进行判断；根据菱形的判定方法对B进行判断；根据正方形的判定方法对C进行判断；根据平行四边形的判定方法对D进行判断．
【解答】解：A、两对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项为假命题；
B、两对角线互相垂直平分的四边形是菱形，所以B选项为假命题；
C、两对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以C选项为真命题；
D、一组对边相等另一组对边也相等的四边形是平行四边形，所以D选项为假命题；
故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
6．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，若∠D＝120°，则∠C的度数为（　　）

A．60° B．70° C．80° D．90°
【分析】由AB＝CD，BC＝AD，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，证得四边形ABCD是平行四边形；根据平行四边形的对边平行，易得∠C+∠D＝180°，由∠D＝120°，即可求得∠C的度数为60°．
【解答】解：∵AB＝CD，BC＝AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠C+∠D＝180°，
∵∠D＝120°，
∴∠C＝60°．
故选：A．
【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质．两组对边分别平行的四边形是平行四边形；平行四边形的对边平行．注意平行四边形的邻角互补．
7．直角三角形两条直角边长分别是5和12，则第三边上的中线长为（　　）
A．5 B．6 C．6.5 D．12
【分析】根据勾股定理列式求出斜边的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【解答】解：∵直角三角形两条直角边长分别是5和12，
∴斜边＝＝13，
∴第三边上的中线长为×13＝6.5．
故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键．
8．在一次函数y＝ax﹣a中，y随x的增大而减小，则其图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据y＝kx+b，k＜0时，y随x的增大而减小，可得答案．
【解答】解：在y＝ax﹣a中，y随x的增大而减小，得a＜0，﹣a＞0，
故B正确．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象，利用一次函数的性质是解题关键．
9．已知样本数据2，3，5，3，7，下列说法不正确的是（　　）
A．平均数是4 B．众数是3 C．中位数是5 D．方差是3.2
【分析】根据众数、中位数、平均数、方差的定义和计算公式分别进行分析即可．
【解答】解：样本数据2，3，5，3，7中平均数是4，中位数是3，众数是3，方差是S2＝[（2﹣4）2+（3﹣4）2+（5﹣4）2+（3﹣4）2+（7﹣4）2]＝3.2．
故选：C．
【点评】本题考查方差、众数、中位数、平均数．关键是掌握各种数的定义，熟练记住方差公式是解题的关键．
10．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，如果DE＝3，那么BC的长为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】根据三角形的中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”，有DE＝BC，从而求出BC．
【解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点．
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC＝2DE，
∵DE＝3，
∴BC＝2×3＝6．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．
11．下列函数中，是正比例函数的是（　　）
A．y＝3x2 B．y＝5x C． D．y＝x﹣1
【分析】根据正比例函数的定义解答．
【解答】解：A、该函数属于二次函数，故本选项错误；
B、该函数属于正比例函数，故本选项正确；
C、是分式，不是函数，故本选项错误；
D、该函数属于一次函数，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了正比例函数的定义，注意区分：正比例函数的一般形式是y＝kx（k≠0），反比例函数的一般形式是（k≠0）．
12．已知A、B两地相距810千米，甲车从A地匀速前往B地，到达B地后停止．甲车出发1小时后，乙车从B地沿同一公路匀速前往A地，到达A地后停止．设甲乙两车之间的距离为y（千米），甲车出发的时间为x（小时），y与x的关系如图所示，对于以下说法：①乙车的速度为90千米/时；②点F的坐标为（10，540）；③图中a的值是13.5；④当甲乙两车相遇时，两车相遇地距A地的距离为360千米．其中正确的结论是（　　）

A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④
【分析】根据图象可知甲车1小时行驶60千米，得出甲车行驶的速度为60千米/时．设乙车的速度为x千米/时，根据相遇时甲车行驶的路程+乙车行驶的路程＝全程列出方程，求出乙车的速度，即可判断①；根据图象可知F点时乙车从B地到达A地，求出F点横坐标，进而求出纵坐标，即可判断②；根据图象可知a的值是甲车从A地匀速前往B地的时间，由时间＝路程÷速度即可判断③；当甲乙两车相遇时，两车相遇地距A地的距离即为甲车行驶的路程，根据图象可知甲车行驶6小时与乙车相遇，用甲车速度乘以6，即可判断④．
【解答】解：①∵甲车1小时行驶810﹣750＝60千米，
∴甲车行驶的速度为60千米/时．
设乙车的速度为x千米/时，
根据题意得，6×60+5x＝810，
解得x＝90．
即乙车的速度为90千米/时．故结论①正确；
②∵乙车从B地到达A地的时间为：810÷90＝9（小时），
∴F点横坐标为：9+1＝10，
∵甲车10小时行驶的路程为：60×10＝600（千米），
∴点F的坐标为（10，600）．故结论②错误；
③∵甲车从A地匀速前往B地的时间为：810÷60＝13.5（小时），
∴a＝13.5．故结论③正确；
④当甲乙两车相遇时，甲车行驶了6小时，
行驶的路程为：60×6＝360（千米）．故结论④正确．
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，掌握路程、速度、时间之间的关系，属于中考常考题型．
二．填空题（共9小题）
13．甲、乙两名同学参加“古诗词大赛”，五次比赛成绩的平均分都是 85 分，且方差分别为 s甲2＝16.7，s乙2＝28.3，那么成绩比较稳定的是　甲　．（填“甲”或“乙”）
【分析】根据方差的意义即可求得答案．
【解答】解：
∵S甲2＝16.7，S乙2＝28.3，
∴S甲2＜S乙2，
∴甲的成绩比较稳定，
故答案为：甲．
【点评】本题主要考查方差的意义，掌握方差的意义是解题的关键，即方差越大其数据波动越大，即成绩越不稳定．
14．在函数中，自变量x的取值范围是　x≤1且x≠﹣2　．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
【解答】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：1﹣x≥0且x+2≠0，
解得：x≤1且x≠﹣2．
故答案为：x≤1且x≠﹣2．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
15．（2+）2014（﹣2）2015＝　﹣2　．
【分析】根据积的乘方得到原式＝[（+2）（﹣2）]2014•（﹣2），然后利用平方差公式计算．
【解答】解：原式＝[（+2）（﹣2）]2014•（﹣2）
＝（5﹣4）2014•（﹣2）
＝﹣2．
故答案为﹣2．
【点评】本题考查了二次根式的混合计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
16．如图，一次函数y＝﹣x﹣2与y＝2x+m的图象相交于点P（n，﹣4），则关于x的不等式组的解集为　﹣2＜x＜2　．

【分析】先将点P（n，﹣4）代入y＝﹣x﹣2，求出n的值，再找出直线y＝2x+m落在y＝﹣x﹣2的下方且都在x轴下方的部分对应的自变量的取值范围即可．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣x﹣2的图象过点P（n，﹣4），
∴﹣4＝﹣n﹣2，解得n＝2，
∴P（2，﹣4），
又∵y＝﹣x﹣2与x轴的交点是（﹣2，0），
∴关于x的不等式组的解集为：﹣2＜x＜2．
故答案为：﹣2＜x＜2．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法，准确确定出n的值，是解答本题的关键．
17．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，若∠ADB＝36°，则∠E＝　18　°．

【分析】连接AC，由矩形性质可得∠E＝∠DAE、BD＝AC＝CE，知∠E＝∠CAE，而∠ADB＝∠CAD＝36°，可得∠E度数．
【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE，AC＝BD，且∠ADB＝∠CAD＝36°，
∴∠E＝∠DAE，
又∵BD＝CE，
∴CE＝CA，
∴∠E＝∠CAE，
∵∠CAD＝∠CAE+∠DAE，
∴∠E+∠E＝36°，
∴∠E＝18°．
故答案为：18

【点评】本题主要考查矩形性质，熟练掌握矩形对角线相等且互相平分、对边平行是解题关键．
18．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前的高度是　18m　．

【分析】根据勾股定理两个直角边的平方和等于斜边的平方．此题要求斜边和直角边的长度，解直角三角形即可．
【解答】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为12m，旗杆离地面5m折断，且旗杆与地面是垂直的，
所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．
根据勾股定理，折断的旗杆为＝13m，
所以旗杆折断之前高度为13m+5m＝18m．
故答案为18m．
【点评】本题考查的是勾股定理的正确应用，找出可以运用勾股定理的直角三角形是关键．
19．直线y＝2x﹣1沿y轴向上平移3个单位，则平移后直线与x轴的交点坐标为　（﹣1，0）　．
【分析】利用一次函数平移规律，上加下减进而得出平移后函数解析式，再求出图象与坐标轴交点即可．
【解答】解：直线y＝2x﹣1沿y轴向上平移3个单位，
则平移后直线解析式为：y＝2x﹣1+3＝2x+2，
当y＝0时，则x＝﹣1，
故平移后直线与x轴的交点坐标为：（﹣1，0）．
故答案为：（﹣1，0）．
【点评】此题主要考查了一次函数平移变换，正确记忆一次函数平移规律是解题关键．
20．观察分析下列数据：0，﹣，，﹣3，2，﹣，3，…，根据数据排列的规律得到第13个数据应是　6　．
【分析】通过观察可知，规律是根号外的符号以及根号下的被开方数依次是：（﹣1）1+1×0，（﹣1）2+1，（﹣1）3+1…（﹣1）n+1），可以得到第13个的答案．
【解答】解：由题意知道：题目中的数据可以整理为：（﹣1）1+1，（﹣1）2+1，…（﹣1）n+1），
∴第13个答案为：（﹣1）13+1＝6．
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了学生的分析、总结、归纳能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律．
21．如图所示，正方形ABCD的边长为6，M在DC上，且DM＝4，N是AC上的动点，则DN+MN的最小值是　2　．

【分析】连BD，BM，BM交AC于N′，根据正方形的性质得到B点与D点关于AC对称，则有N′D+N′M＝BM，利用两点之间线段最短得到BM为DN+MN的最小值，然后根据勾股定理计算即可．
【解答】解：连BD，BM，BM交AC于N′，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴B点与D点关于AC对称，
∴N′D＝N′B，
∴N′D+N′M＝BM，
∴当N点运动到N′时，它到D点与M点的距离之和最小，最小距离等于MB的长，
而BC＝CD＝6，DM＝4，
∴MC＝2，
∴BM＝＝2．
故答案为：2．

【点评】此题考查了轴对称﹣最短路线问题：通过轴对称，把两条线段转化为一条线段，利用两点之间线段最短得到最短路线，然后根据勾股定理进行计算．也考查了正方形的性质．
三．解答题（共9小题）
22．化简：．
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝3﹣5﹣（4﹣4+3）
＝3﹣5﹣4+4﹣3
＝2﹣7；
【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
23．为了解某校八年级学生科普知识竞赛的情况，现从中随机抽取部分学生的成绩，并用得到的数据绘制了统计图①和图②，请根据图中提供的信息，回答下列问题：

（Ⅰ）本次随机抽样调查的学生人数为　50　，图①中的m的值为　24　；
（Ⅱ）求本次抽样调查获取的样本数据的众数、中位数和平均数；
（Ⅲ）若该校八年级共有学生300人，如果竞赛成绩达到28分（含28分）及以上为优秀，请估计该校八年级学生在本次科普竞赛中成绩优秀的人数．
【分析】（Ⅰ）得“26分”的有9人，占调查人数的18%，可求出调查人数，进而计算得“27分”的所占的百分比，确定m的值；
（Ⅱ）根据平均数、中位数、众数的意义和求法，分别计算即可；
（Ⅲ）样本估计总体，用300人去乘样本中优秀所占的百分比即可．
【解答】解：（Ⅰ）9÷18%＝50（人），12÷50＝24%；
故答案为：50，24；
（Ⅱ）∵在这组数据中，28出现14次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是28；
将这组数据从小到大排列后，处在第25、26位的两个数都是28，因此中位数是28；
＝＝27.8；
答：平均数为27.8，中位数是28，众数是28；
（Ⅲ）300×＝174人，
答：该校八年级学生在本次科普竞赛中成绩优秀的人数为174人．
【点评】本题考查扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法，理解两个统计图中数量之间的关系是正确计算的前提．
24．如图，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，CD＝12，AD＝13，点E是AD的中点，求CE的长．

【分析】先由勾股定理求得AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判定△ADC是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，
∵AB＝4，BC＝3，
∴，
∵CD＝12，AD＝13，
∵AC2+CD2＝52+122＝169，
AD2＝169，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴∠C＝90°，
∴△ACD是直角三角形，
∵点E是AD的中点，
∴CE＝．
【点评】本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理及直角三角形的性质，能根据勾股定理的逆定理判断出△ADC是直角三角形是解答此题的关键．
25．小亮步行上山游玩，设小亮出发xmin后行走的路程为ym图中的折线表示小亮在整个行走过程中y与x的函数关系．
（1）小亮行走的总路程是　3600　m，他途中休息了　20　min．
（2）当50≤x≤80时，求y与x的函数关系式．

【分析】（1）由函数图象可以直接得出小亮行走的路程是3600米，途中休息了20分钟；
（2）设当50≤x≤80时，y与x的函数关系式为y＝kx+b，由待定系数法求出其解即可．
【解答】解：（1）由函数图象，得
小亮行走的总路程是3600米，途中休息了20分钟．
故答案为：3600，20；

（2）设当50≤x≤80时，y与x的函数关系式为y＝kx+b，由题意，

解得：
∴当50≤x≤80时，y与x的函数关系式为：y＝55x﹣800．
【点评】本题考查了时间＝路程÷速度的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，解答时由待定系数法求出一次函数的解析式是关键，认真分析函数图象的含义是重点．
26．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，点E是菱形外一点，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形DECO是矩形；
（2）连接AE交BD于点F，当∠ADB＝30°，DE＝4时，求AF的长度．

【分析】（1）先证四边形DECO是平行四边形，再根据菱形的性质求出∠DOC＝90°，即可得出结论；
（2）证△AFO≌△EFD（AAS），得OF＝DF，由直角三角形的性质得OD＝AO＝4，则OF＝OD＝2，再根据勾股定理求出AF即可．
【解答】（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形DECO是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC＝90°，
∴四边形DECO是矩形；
（2）解：如图，∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝OC，AC⊥BD，
∵四边形DECO是矩形，
∴OC＝DE＝4，
∴AO＝4，
∵DE∥AC，
∴∠FAO＝∠DEF，
在△AFO和△EFD中，，
∴△AFO≌△EFD（AAS），
∴OF＝DF，
∵∠ADB＝30°，
∴OD＝AO＝4，
∴OF＝OD＝2，
∴AF＝＝＝2．

【点评】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质和菱形的性质是解此题的关键．
27．观察下列等式：回答问题：
①＝1+﹣＝1
②＝1+﹣＝1
③＝1+﹣＝1，…
（1）根据上面三个等式的信息，猜想＝　1　；
（2）请按照上式反应的规律，试写出用n表示的等式；
（3）验证你的结果．
【分析】根据观察，可得规律：＝1+﹣．
【解答】解：（1）根据上面三个等式的信息，猜想＝1，
故答案为：1；
（2）＝1+﹣．
（3）＝
＝
＝
＝
＝1+﹣．
【点评】本题考查了算术平方根，观察等式发现规律是解题关键．
28．如图，已知△ABC，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于点E，连接CE，过点C作CF∥BA交PQ于点F，连接AF．
（1）求证：△AED≌△CFD；
（2）求证：四边形AECF是菱形．
（3）若ED＝6，AE＝10，则菱形AECF的面积是多少？

【分析】（1）由PQ为线段AC的垂直平分线得到AE＝CE，AD＝CD，然后根据CF∥AB得到∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED，利用ASA证得两三角形全等即可；
（2）根据全等得到AE＝CF，然后根据EF为线段AC的垂直平分线，得到EC＝EA，FC＝FA，从而得到EC＝EA＝FC＝FA，利用四边相等的四边形是菱形判定四边形AECF为菱形；
（3）由菱形的性质和勾股定理求出AD，得出AC的长，由菱形的面积公式即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵PQ为线段AC的垂直平分线，
，∴AE＝CE，AD＝CD，
∵CF∥AB，
∴∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED，
在△AED与△CFD中，
∴△AED≌△CFD（AAS）；
（2）证明：∵△AED≌△CFD，
∴AE＝CF，
∵EF为线段AC的垂直平分线，
∴EC＝EA，FC＝FA，
∴EC＝EA＝FC＝FA，
∴四边形AECF为菱形；
（3）解：∵四边形AECF是菱形，
∴AC⊥EF，
∵ED＝6，AE＝10，
∴EF＝2ED＝12，AD＝＝8．
∴AC＝2AD＝16，
∴菱形AECF的面积＝AC•EF＝×16×12＝96．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、全等的判定与性质、盖棺定论、基本作图、线段垂直平分线的性质，解题的关键是了解通过作图能得到直线的垂直平分线．
29．长方形纸片OABC中，AB＝10cm，BC＝8cm，把这张长方形纸片OABC如图放置在平面直角坐标系中，在边OA上取一点E，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在OC边上的点F处．
（1）点E的坐标是　（0，3）　，点F的坐标是　（﹣4，0）　；
（2）在AB上找一点P，使EP+PF最小，求点P坐标；
（3）在（2）的条件下，点Q（x，y）是直线PF上一个动点，设△OCQ的面积为S，求S与x的函数关系式．

【分析】（1）根据勾股定理求出CF，得到OF，求出点F的坐标，根据勾股定理得到点E的坐标；
（2）根据轴对称﹣最短路径问题确定点P，根据待定系数法求出直线FE′的解析式，根据一次函数的性质求出点P坐标；
（3）分Q在x轴上方和Q在x轴下方两种情况，根据三角形的面积公式计算．
【解答】解：（1）设OE＝x，则AE＝8﹣x，
由折叠知BA＝BF＝10，EF＝AE＝8﹣x，
∵四边形OABC是长方形，
∴∠BCO＝90°，
∴CF＝＝6，
∴OF＝OC﹣CF＝10﹣6＝4，
∴点F的坐标为（﹣4，0），
在Rt△EOF中，EF2＝OF2+OE2，即（8﹣x）2＝42+x2，
解得，x＝3，
∴点E的坐标为（0，3），
∴点E的坐标为（0，3），点F的坐标为（﹣4，0）．
故答案为（0，3），（﹣4，0）．

（2）作E关于AB的对称点E′，连接FE′，交AB于P，则PE+PF最小最小，
∵点E的坐标为（0，3），
∴AE＝8﹣3＝5，
∵点E与点E′关于AB对称，
∴AE′＝AE＝5，
∴OE′＝5+8＝13，
∴点E′的坐标为（0，13），
设直线FE′的解析式为y＝kx+b，
则，
解得，k＝，b＝13，
则直线FE′的解析式为y＝x+13，
当y＝8时，x+13＝8，
解得，x＝﹣，
∴点P的坐标为（﹣，8）；
（3）设点Q的坐标为（x，x+13），
当Q在x轴上方时，即x＞﹣4时，S＝×10×（x+13）＝x+65，
当Q在x轴下方时，即x＜﹣4时，S＝×10×（﹣x﹣13）＝﹣x﹣65，
综上所述，S＝．

【点评】本题考查的是正方形的性质，轴对称﹣最短路径问题，待定系数法求一次函数解析式，正确作出使PE+PF最小时点P的位置，灵活运用待定系数法是解题的关键．
30．如图，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于点A（4，0）、B（0，4），点P在x轴上运动，连接PB，将△OBP沿直线BP折叠，点O的对应点记为O′．
（1）求k、b的值；
（2）若点O′恰好落在直线AB上，求△OBP的面积；
（3）将线段PB绕点P顺时针旋转45°得到线段PC，直线PC与直线AB的交点为Q，在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得△PBQ为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）用待定系数法直接求出；
（2）分P在x轴的正半轴和负半轴：①当P在x轴的正半轴时，求OP＝O'P＝AO'＝4﹣4，根据三角形面积公式可得结论；②当P在x轴的负半轴时，同理可得结论；
（3）分4种情况：分别以P、B、Q三点所成的角为顶角讨论：
①当BQ＝QP时，如图2，P与O重合，②当BP＝PQ时，如图3，③当PB＝PQ时，如图4，此时Q与C重合④当PB＝BQ时，如图5，此时Q与A重合，则P与A关于y轴对称，根据图形和等腰三角形的性质可计算对应点P的坐标．
【解答】解：（1）∵点A（4，0）、B（0，4）在直线y＝kx+b上，
∴，
解得：k＝﹣1，b＝4；

（2）存在两种情况：
①如图1，当P在x轴的正半轴上时，点O′恰好落在直线AB上，则OP＝O'P，∠BO'P＝∠BOP＝90°，
∵OB＝OA＝4，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴AB＝4，∠OAB＝45°，
由折叠得：∠OBP＝∠O'BP，BP＝BP，
∴△OBP≌△O'BP（AAS），
∴O'B＝OB＝4，
∴AO'＝4﹣4，
Rt△PO'A中，O'P＝AO'＝4﹣4＝OP，
∴S△BOP＝OB•OP＝＝8﹣8；
②如图所示：当P在x轴的负半轴时，

由折叠得：∠PO'B＝∠POB＝90°，O'B＝OB＝4，
∵∠BAO＝45°，
∴PO'＝PO＝AO'＝4+4，
∴S△BOP＝OB•OP＝＝8+8；

（3）分4种情况：
①当BQ＝QP时，如图2，P与O重合，此时点P的坐标为（0，0）；
②当BP＝PQ时，如图3，

∵∠BPC＝45°，
∴∠PQB＝∠PBQ＝22.5°，
∵∠OAB＝45°＝∠PBQ+∠APB，
∴∠APB＝22.5°，
∴∠ABP＝∠APB，
∴AP＝AB＝4，
∴OP＝4+4，
∴P（4+4，0）；
③当PB＝PQ时，如图4，此时Q与C重合，
∵∠BPC＝45°，
∴∠PBA＝∠PCB＝67.5°，
△PCA中，∠APC＝22.5°，
∴∠APB＝45+22.5°＝67.5°，
∴∠ABP＝∠APB，
∴AB＝AP＝4，
∴OP＝4﹣4，
∴P（4﹣4，0）；
④当PB＝BQ时，如图5，此时Q与A重合，则P与A关于y轴对称，
∴此时P（﹣4，0）；
综上，点P的坐标是（0，0）或（4+4，0）或（4﹣4，0）或（﹣4，0）．




【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式及等腰三角形的判定，并注意运用数形结合的思想和分类讨论的思想解决问题．