【中考真题】2020-2021学年广东省潮州市饶平县英才实验中学中考数学模拟试卷（16）（含答案解析）

这是一份【中考真题】2020-2021学年广东省潮州市饶平县英才实验中学中考数学模拟试卷（16）（含答案解析），共23页。试卷主要包含了据江苏省统计局统计，反比例函数的图象经过点P等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年广东省潮州市饶平县英才实验中学中考数学模拟试卷（16）
一．选择题（共10小题）
1．下列实数0，，，π，其中，无理数共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．据江苏省统计局统计：2018年三季度南通市GDP总量为6172.89亿元，位于江苏省第4名，将这个数据用科学记数法表示为（　　）
A．6.17289×103亿元 B．61.7289×102亿元
C．6.17289×105亿元 D．6.17289×104亿元
4．若一元二次方程x2﹣8x+a＝0有一个根是x＝3，则方程的另一个根是（　　）
A．x＝﹣5 B．x＝5 C．x＝15 D．x＝﹣15
5．反比例函数的图象经过点P（3，﹣4），则这个反比例函数的解析式为（　　）
A． B． C． D．
6．为了了解我县七年级20000名学生的身高情况，从中抽取了200学生测量身高，在这个问题中，样本是（　　）
A．20000 B．20000名
C．200名学生的身高情况 D．200名学生
7．已知x2+kx+4可以用完全平方公式进行因式分解，则k的值为（　　）
A．﹣4 B．2 C．4 D．±4
8．某直角三角形的一直角边长为8，另一直角边长与斜边长的和为32，则斜边的长为（　　）
A．8 B．10 C．15 D．17
9．某校八年级共有学生160人，已知男生人数比女生人数的2倍少50人，设男生、女生的人数分别为x、y人，根据题意可列方程组是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中有菱形OABC，点A的坐标为（5，0），对角线OB、AC相交于点D，双曲线y＝（x＞0）经过AB的中点F，交BC于点E，且OB•AC＝40，有下列四个结论：
①双曲线的解析式为y＝（x＞0）；②直线OE的解析式为y＝x；③tan∠CAO＝；④AC+OB＝6；其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共6小题）
11．如果在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
12．已知x＝﹣1是方程3x﹣k（x+2）＝5的解，则k＝　 　．
13．已知点A（3+2a，3a﹣5），点A到两坐标轴的距离相等，点A的坐标为　 　．
14．已知α为锐角，tanα＝2sin30°，那么α＝　 　°．
15．已知关于x的分式方程的解是负数，则m的取值范围是　 　．
16．如图，在矩形ABCD中，连接AC，以点B为圆心，BA为半径画弧，交BC于点E，已知BE＝3，BC＝3，则图中阴影部分的面积为　 　（结果保留π）．

三．解答题（共9小题）
17．解方程组：
18．先化简，再求值：（x﹣2﹣）÷，其中x＝2﹣4．
19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°
（1）在BC上作出点D，使它到A，B两点的距离相等（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）若BD＝6，求CD长．

20．某商店购进一批旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个．商店为了适当增加销量，第二周决定降价销售．根据市场调研，单价每降低1元，一周可比原来多售出50个，这样两周共获利1400元，第二周每个纪念品的销售价格为多少元？
21．随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷，在一次购物中，张华和李红都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”、“现金”四种支付方式中选一种方式进行支付．
（1）张华用“微信”支付的概率是　 　．
（2）请用画树状图或列表法求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．（其中“微信”、“支付宝”、“银行卡”、“现金”分别用字母“A”“B”“C”“D”代替）
22．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．
（1）请画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A1B1C1；并写出A1、B1、C1三点的坐标．
（2）求出（1）中C点旋转到C1点所经过的路径长（结果保留π）．

23．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+5与y轴交于点A，与x轴交于点B．抛物线y＝﹣x2+bx+c过A、B两点．
（1）点A，B的坐标分别是A　 　，B　 　；
（2）求抛物线的解析式；
（3）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一动点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积．

24．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）求证：AB•CP＝BD•CD；
（3）当AB＝5cm，AC＝12cm时，求线段PC的长．

25．如图，抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C，直线y＝﹣x+3经过点C与x轴交于点D，抛物线的顶点坐标为（2，4）．
（1）请你直接写出CD的长及抛物线的函数关系式；
（2）求点B到直线CD的距离；
（3）若点P是抛物线位于第一象限部分上的一个动点，则当点P运动至何处时，恰好使∠PDC＝45°？请你求出此时的P点坐标．


2020-2021学年广东省潮州市饶平县英才实验中学中考数学模拟试卷（16）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列实数0，，，π，其中，无理数共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据无理数的定义解答即可．
【解答】解：下列实数0，，，π，其中，无理数有，π，
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样无限不循环小数．
2．剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项正确；
D、是轴对称图形，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．据江苏省统计局统计：2018年三季度南通市GDP总量为6172.89亿元，位于江苏省第4名，将这个数据用科学记数法表示为（　　）
A．6.17289×103亿元 B．61.7289×102亿元
C．6.17289×105亿元 D．6.17289×104亿元
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：6172.89亿＝6.17289×103亿，
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．若一元二次方程x2﹣8x+a＝0有一个根是x＝3，则方程的另一个根是（　　）
A．x＝﹣5 B．x＝5 C．x＝15 D．x＝﹣15
【分析】利用根与系数的关系求得方程的另一根．
【解答】解：设方程的另一根为x，
则x+3＝8，
解得x＝5．
故选：B．
【点评】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解的定义．在利用根与系数的关系x1+x2＝﹣时，一定要弄清楚公式中字母a、b所表示的意义．
5．反比例函数的图象经过点P（3，﹣4），则这个反比例函数的解析式为（　　）
A． B． C． D．
【分析】把已知点的坐标代入函数解析式可求出k值，即得到反比例函数的解析式．
【解答】解：∵反比例函数的图象经过点P（3，﹣4），
∴k＝﹣4×3＝﹣12，
∴反比例函数解析式为y＝﹣．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
6．为了了解我县七年级20000名学生的身高情况，从中抽取了200学生测量身高，在这个问题中，样本是（　　）
A．20000 B．20000名
C．200名学生的身高情况 D．200名学生
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【解答】解：由题意知，在这个问题中，样本是200名学生的身高情况，
故选：C．
【点评】此题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
7．已知x2+kx+4可以用完全平方公式进行因式分解，则k的值为（　　）
A．﹣4 B．2 C．4 D．±4
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．
【解答】解：∵x2+kx+4＝x2+kx+22，
∴kx＝±2x•2，
解得k＝±4．
故选：D．
【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
8．某直角三角形的一直角边长为8，另一直角边长与斜边长的和为32，则斜边的长为（　　）
A．8 B．10 C．15 D．17
【分析】设直角三角形的斜边长为x，根据勾股定理列方程，解方程得到答案．
【解答】解：设直角三角形的斜边长为x，
由勾股定理得，x2＝82+（32﹣x）2，
解得，x＝17，
故选：D．
【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
9．某校八年级共有学生160人，已知男生人数比女生人数的2倍少50人，设男生、女生的人数分别为x、y人，根据题意可列方程组是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】设男生、女生的人数分别为x、y人，根据男女生共160人且男生人数比女生人数的2倍少50人，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：设男生、女生的人数分别为x，y人，
依题意，得：．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10．如图，在平面直角坐标系中有菱形OABC，点A的坐标为（5，0），对角线OB、AC相交于点D，双曲线y＝（x＞0）经过AB的中点F，交BC于点E，且OB•AC＝40，有下列四个结论：
①双曲线的解析式为y＝（x＞0）；②直线OE的解析式为y＝x；③tan∠CAO＝；④AC+OB＝6；其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①过F作FG⊥x轴于点G，过B作BM⊥x轴于点M，由菱形的性质可求得BM的长度，在Rt△ABM中，可求得AM，结合三角形中位线定理可以得到点F的坐标，则可求得双曲线解析式；
②设E（x，4）．将其代入反比例函数解析式求得点E的横坐标，利用待定系数法求得直线OE表达式；
③过C作CH⊥x轴于点H，则HM＝BC，可求得OH，可求得C点坐标和sin∠CAO；
④在Rt△OBM中，由勾股定理可求得OB，结合条件可求得AC，则可求得AC+OB，可得出答案．
【解答】解：如图，过F作FG⊥x轴于点G，过B作BM⊥x轴于点M，
∵A（5，0），
∴OA＝5，
∴S菱形OABC＝OA•BM＝AC•OB＝×40＝20，即5BM＝20，
∴BM＝4，
在Rt△ABM中，AB＝5，BM＝4，由勾股定理可得AM＝3，
∵F为AB中点，
∴FG是△ABM的中位线，
∴FG＝BM＝2，MG＝AM＝
∴F（，2）
∵双曲线过点F，
∴k＝xy＝×2＝7，
∴双曲线解析式为y＝（x＞0），
故①正确；

②由①知，BM＝4，故设E（x，4）．
将其代入双曲线y＝（x＞0），得4＝，
∴x＝
∴E（，4）．
易得直线OE解析式为：y＝x，
故②正确；

③过C作CH⊥x轴于点H，
可知四边形CHMB为矩形，
∴HM＝BC＝5，
∵AM＝3，
∴OM＝5﹣3＝2，
∴OH＝5﹣OM＝3，
∴AH＝5+3＝8
且CH＝BM＝4，
∴tan∠CAO＝＝＝，
故③正确；

④在直角△OBM中，OM＝2，BM＝4，由勾股定理得到：OB＝＝＝2．
∵OB•AC＝40，
∴AC＝＝4，
∴AC+OB＝6，
故④正确．
综上所述，正确的结论由4个，
故选：D．

【点评】本题主要考查反比例函数综合题，涉及待定系数法、菱形的性质、直角三角形、菱形的面积等知识．利用菱形的面积求得B到x轴的距离是解题的关键，注意菱形两个面积公式的灵活运用．本题考查知识点较基础，综合性很强，但难度不大．
二．填空题（共6小题）
11．如果在实数范围内有意义，则x的取值范围是　x≥﹣8　．
【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数即可确定二次根式被开方数中字母的取值范围．
【解答】解：∵在实数范围内有意义，
∴x+8≥0，
∴x的取值范围是x≥﹣8，
故答案为：x≥﹣8．
【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数．
12．已知x＝﹣1是方程3x﹣k（x+2）＝5的解，则k＝　﹣8　．
【分析】把x＝﹣1代入方程3x﹣k（x+2）＝5得到关于k的一元一次方程，解之即可．
【解答】解：把x＝﹣1代入方程3x﹣k（x+2）＝5得：
﹣3﹣k＝5，
解得：
k＝﹣8，
故答案为：﹣8．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．
13．已知点A（3+2a，3a﹣5），点A到两坐标轴的距离相等，点A的坐标为　（19，19）或（，﹣）　．
【分析】根据点A到两坐标轴的距离相等，分两种情况讨论：3+2a与3a﹣5相等；3+2a与3a﹣5互为相反数．
【解答】解：根据题意，分两种情况讨论：
①3+2a＝3a﹣5，解得：a＝8，
∴3+2a＝3a﹣5＝19，
∴点A的坐标为（19，19）；
②3+2a+3a﹣5＝0，解得：a＝，
∴3+2a＝，3a﹣5＝﹣，
∴点A的坐标为（，﹣）．
故点A的坐标为，
故答案为．
【点评】本题考查了点的坐标，解决本题的关键是根据点A到两坐标轴的距离相等，分两种情况讨论．
14．已知α为锐角，tanα＝2sin30°，那么α＝　45　°．
【分析】根据30°的正弦值为和45°的正切值是1解答．
【解答】解：tanα＝2sin30°＝2×＝1，
∴α＝45°，
故答案为：45．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
15．已知关于x的分式方程的解是负数，则m的取值范围是　m＜3且m≠2　．
【分析】分式方程去分母转化为整式，由分式方程的解是负数确定出m的范围即可．
【解答】解：去分母得：m﹣2＝x+1，
解得：x＝m﹣3，
由分式方程的解为负数，得到m﹣3＜0，且m﹣3≠﹣1，
解得：m＜3且m≠2，
故答案为：m＜3且m≠2
【点评】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．如图，在矩形ABCD中，连接AC，以点B为圆心，BA为半径画弧，交BC于点E，已知BE＝3，BC＝3，则图中阴影部分的面积为　﹣　（结果保留π）．

【分析】连接BF，作BH⊥AC于H，根据正切的定义得到∠BAC＝60°，根据等边三角形的性质得到∠ABF＝60°，AF＝AB＝3，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，
【解答】解：如图，连接BF，作BH⊥AC于H，
由题意得，BA＝BE＝3，
tan∠BAC＝＝，
则∠BAC＝60°，又BA＝BF，
∴△ABF是等边三角形，
∴∠ABF＝60°，AF＝AB＝3，
则BH＝AB×sin∠BAC＝，
∴图中阴影部分的面积＝﹣×3×＝﹣，
故答案为：﹣．

【点评】本题考查的是矩形的性质、扇形面积计算、等边三角形的判定和性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．
三．解答题（共9小题）
17．解方程组：
【分析】利用代入消元法求解可得．
【解答】解：，
①代入②，得：2（y+5）﹣y＝8，
解得：y＝﹣2，
将y＝﹣2代入①，得：x＝﹣2+5＝3，
则方程组的解为．
【点评】本题考查二元一次方程组解法，有加减法和代入法两种，一般选用加减法解二元一次方程组较简单．
18．先化简，再求值：（x﹣2﹣）÷，其中x＝2﹣4．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（x﹣2﹣）÷
＝÷
＝•
＝x+4，
当x＝2﹣4时，
原式＝2﹣4+4＝2．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°
（1）在BC上作出点D，使它到A，B两点的距离相等（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）若BD＝6，求CD长．

【分析】（1）作线段AB的垂直平分线，与BC的交点即为所求；
（2）连接AD，由作图知AD＝BD，∠B＝∠BAD＝30°，再由∠CAD＝60°知∠CAD＝30°，从而依据CD＝AD可得答案．
【解答】解：（1）如图所示，点D即为所求．

（2）如图，连接AD，
由作图知，BD＝AD＝6，
∵Rt△ABC中，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°，
∵BD＝AD，
∴∠B＝∠BAD＝30°，
∴∠CAD＝30°，
则CD＝AD＝3．
【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握线段中垂线的尺规作图和中垂线的性质及等腰三角形和直角三角形的性质．
20．某商店购进一批旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个．商店为了适当增加销量，第二周决定降价销售．根据市场调研，单价每降低1元，一周可比原来多售出50个，这样两周共获利1400元，第二周每个纪念品的销售价格为多少元？
【分析】设第二周每个纪念品降价x元销售，则第二周售出（200+50x）个旅游纪念品，根据总利润＝每个利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设第二周每个纪念品降价x元销售，则第二周售出（200+50x）个旅游纪念品，
根据题意得：（10﹣6）×200+（10﹣6﹣x）（200+50x）＝1400，
整理得：x2﹣4＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣2（不符题意，舍去），
∴10﹣x＝8．
答：第二周每个纪念品的销售价格为8元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21．随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷，在一次购物中，张华和李红都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”、“现金”四种支付方式中选一种方式进行支付．
（1）张华用“微信”支付的概率是　　．
（2）请用画树状图或列表法求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．（其中“微信”、“支付宝”、“银行卡”、“现金”分别用字母“A”“B”“C”“D”代替）
【分析】（1）直接利用概率公式求解可得．
（2）首先根据题意列表，然后列表求得所有等可能的结果与两人恰好选择同一种支付方式的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）张华用“微信”支付的概率是，
故答案为：；

（2）列表如下：

A
B
C
D
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，C）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
（D，D）
由列表或树状图可知，共有16种结果，且每种结果的可能性相同，其中两人恰好选择同一种支付方式的有4种，
故P（两人恰好选择同一种支付方式）＝．
【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率．注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．
（1）请画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A1B1C1；并写出A1、B1、C1三点的坐标．
（2）求出（1）中C点旋转到C1点所经过的路径长（结果保留π）．

【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A1、B1、C1，然后写出它们的坐标；
（2）先计算出OC的长，然后根据弧长公式计算C点旋转到C1点所经过的路径长．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，A1、B1、C1三点的坐标分别为（﹣4，2），（﹣1，1），（﹣3，4）；

（2）OC＝＝5，
所以C点旋转到C1点所经过的路径长＝＝π．
【点评】本题考查了作图：旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
23．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+5与y轴交于点A，与x轴交于点B．抛物线y＝﹣x2+bx+c过A、B两点．
（1）点A，B的坐标分别是A　（0，5）　，B　（5，0）　；
（2）求抛物线的解析式；
（3）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一动点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积．

【分析】（1）y＝﹣x+5，令y＝0，则x＝5，令y＝0，则x＝5，即可求解；
（2）将点A、B的坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（3）利用S四边形APCD＝×AC×PD，即可求解．
【解答】解：（1）y＝﹣x+5，令y＝0，则x＝5，令y＝0，则x＝5，
即点A、B的坐标分别为（0，5）、（5，0），
故：答案为（0，5）和（5，0）；
（2）将点A、B的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
即抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x+5；
（3）抛物线的对称轴为x＝﹣＝2，则点C的坐标为（4，5），
设点P的坐标为（x，﹣x2+4x+5），则点D坐标为（x，﹣x+5）
∵AC⊥PD，∴S四边形APCD＝×AC×PD＝2（﹣x2+4x+5+x﹣5）＝﹣2x2+10x，
∵a＝﹣2＜0，∴S四边形APCD有最大值，
当x＝时，其最大值为：，此时点P的坐标（，）．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
24．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）求证：AB•CP＝BD•CD；
（3）当AB＝5cm，AC＝12cm时，求线段PC的长．

【分析】（1）想办法证明OD⊥PD即可．
（2）证明△BAD∽△CDP，即可解决问题．
（3）利用勾股定理求出BC，BD，CD，再利用（2）中结论即可解决问题．
【解答】（1）证明：连接OD．

∵∠BAD＝∠CAD，
∴＝，
∴∠BOD＝∠COD＝90°，
∵BC∥PA，
∴∠ODP＝∠BOD＝90°，
∴OD⊥PA，
∴PD是⊙O的切线．

（2）证明：∵BC∥PD，
∴∠PDC＝∠BCD．
∵∠BCD＝∠BAD，
∴∠BAD＝∠PDC，
∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠PCD＝180°，
∴∠ABD＝∠PCD，
∴△BAD∽△CDP，
∴＝，
∴AB•CP＝BD•CD．

（3）解：∵BC是直径，
∴∠BAC＝∠BDC＝90°，
∵AB＝5，AC＝12，
∴BC＝＝13，
∴BD＝CD＝，
∵AB•CP＝BD•CD．
∴PC＝＝．
【点评】本题属于圆综合题，考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
25．如图，抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C，直线y＝﹣x+3经过点C与x轴交于点D，抛物线的顶点坐标为（2，4）．
（1）请你直接写出CD的长及抛物线的函数关系式；
（2）求点B到直线CD的距离；
（3）若点P是抛物线位于第一象限部分上的一个动点，则当点P运动至何处时，恰好使∠PDC＝45°？请你求出此时的P点坐标．

【分析】（1）求出点C，D的坐标，再用勾股定理求得CD的长；设抛物线为y＝a（x﹣2）2+4，将点C坐标代入求得a，即可得出抛物线的函数表达式；
（2）过点B直线CD的垂线，垂足为H，在Rt△BDH中，利用锐角三角函数即可求得点B到直线CD的距离；
（3）把点C（0，3）向上平移4个单位，向右平移3个单位得到点E（3，7），可得△OCD≌△FEC，则△DEC为等腰直角三角形，且∠EDC＝45°，所以直线ED与抛物线的交点即为所求的点P．
【解答】解：（1）∵，
∴C（0，3），D（4，0），
∵∠COD＝90°，
∴CD＝．
设抛物线为y＝a（x﹣2）2+4，将点C（0，3）代入抛物线，
得3＝4a+4，
∴，
∴抛物线的函数关系式为；
（2）解：过点B作BH⊥CD于H，
由，
可得x1＝﹣2，x2＝6，
∴点B的坐标为（6，0），
∵OC＝3，OD＝4，CD＝5，
∴OB＝6，从而BD＝2，
在Rt△DHB中，
∵BH＝BD•sin∠BDH＝BD•sin∠CDO＝2×，
∴点B到直线CD的距离为．
（3）把点C（0，3）向上平移4个单位，向右平移3个单位得到点E（3，7），
∵CF＝OD＝4，EF＝OC＝3，∠CFE＝∠DOC＝90°，
∴△OCD≌△FEC，
∴∠FCE＝∠ODC，EC＝DC，
∴∠ECD＝180°﹣（∠FCE+∠OCD）＝180°﹣（∠ODC+∠OCD）＝180°﹣90°＝90°，
∴△DEC为等腰直角三角形，且∠EDC＝45°，
因而，ED与抛物线的交点即为所求的点P．
由E（3，7），D（4，0），可得直线ED的解析式为：y＝﹣7x+28，
由
得 （另一组解不合题意，已舍去．）
所以，此时P点坐标为（，）．

【点评】本题考查学生将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题的能力
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日期：2021/11/14 23:19:15；用户：张家港二中；邮箱：zjg2z@xyh.com；学号：41479226

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